时间序列分析实验报告.doc-资料库

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Harbin Institute Harbin Institute ofof Technology Technology 实验报告实验报告课程名称：时间序列分析设计题目：某工厂月生产量预测模型院班系：级：设计者：学号：指导教师：设计时间：

一．实验题目本时间序列分析实验题目选取建立预测模型实验，选取的实际题目如下：某工厂 2009 年 2 月至 2013 年 3 月的每月生产量资料为例，以某工厂 2009 年 2 月至 2013 年 3 月 50 个月的月生产量序列作为样本，建立线性时间序列模型并预测 2013 年 4 月的生产状态与生产量，并与 2013 年 4 月的实际数据比较说明本模型的具体应用及预测效果。资料数据见附录表 1。二．实验原理 2.1 模型表示均值为 0，具有有理谱密度的平稳时间序列的线性随机模型的三种形式， 2 2 t t 1 t 1      )  AR p 自回归模型：描述如下： 1、 (    t t p   2、 ( )MA q 滑动平均模型：      t  ARMA p q 混和模型：   1  , )    2 t  , ) p ARMA p q 混和模型由 1 (  1  ( 3、  由     1 t 2 2 2 t t   t  p 由 2p  个参数刻画；  t q  q 由 2q  个参数刻画； t       t  2 t p  p q  个参数刻画；  3  1  1 2 t t     t q  q 2.2 自相关函数 k 和偏自相关函数 kk 1、自相关函数 k 刻画了任意两个时刻之间的关系，表 2 三种线性模型下相关函数性质模 k   0 k  / 型函数 k kk ( AR p ) ( )MA q , ) ARMA p q ( 拖尾 p 截尾 k k q 截尾拖尾拖尾拖尾 2 、偏相关函数 kk 刻画了平稳序列任意一个长 1k  的片段在中间值 - 1 -

t 1 固定的条件下，两端 t， t k 的线性联系密切程度。 ,     1 t k 3、 k 、 kk 决定了三种线性模型下相关函数的性质。 2.3 模型识别通常平稳时间序列 tZ ， 0, 1 t    仅进行有限 n 次测量 ( n  ，得到一个 50) 样本函数，且利用平稳序列各态历经性：   Z 1 n   做变换， t n Z j 1  j tZ  ，   ，将 1, 1, Z t n { , 0, 1 } t t    的随机线性模型。 Z 样本换算成为样本 1, , n   ，然后再确定平稳时间序列 , n 2.3.1 样本自相关函数平稳序列  函数： ,      2 , , , , 2 1 0 1    ， ( tE   ，对于样本，定义自协方差 ) 0   k  1  1 2 k ˆ  k       n n k  2  n ˆk   ， ˆk k  一般取 50,  n k k 2.3.2 确定模型类别和阶数 n k  1   n n  k 1 j  / 4  j 。常取 k n /10 。，  j ˆ ˆ/ k   0 k  ˆ 。同时为了保证在实际应用中，我们常用有一个样本算出的 ˆk k  ，ˆ   判别 k ， kk kk kk 是拖尾还是截尾的。随机线性模型的三种形式的判别分别如下： 1、若 k 拖尾， kk 截尾在 k 以用的点图判断，只要样本自相关函数的绝对值愈变愈小；当 k 20 个样本偏相关函数中至多有一个使 ˆ p 处，则线性模型为 ( AR p 模型。 k 拖尾可 p 时，平均 p 处。 p 处截尾，那么线性模型为 ( )MA q 滑动平均模型。，则认为 kk 截尾在 k 2、若 kk 截尾， k 在 k   kk 2 / n ) kk 拖尾可以根据样本偏相关函数的点图判断，只要 ˆ 若平均 20 个样本自相关函数中至多有一个使 ˆ 2 /   k n 。 kk 愈变愈小。当 k q 时， 3、若样本自相关函数和样本偏相关函数都是拖尾的，则线性模型可以看成混和模型。 2.4 模型参数估计 - 2 -

) 1、 ( AR p 模型有 2p  个参数： ) AR p 模型参数估计： ( p 2 ,     1  ,p , , , 2 。利用 Yule-Walker 方程，利 AR p 模型 ) 用 Toeplitz 矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数 kk 。 ( 的参数值不必作专门的计算，只要在样本偏相关函数计算的记录中取出样本参    , 都已经确定了，经过推理我们可以得到：数值即可。此时 1  。   0  j 2,  , , 2 p p j j 1  2、 ( )MA q 滑动平均模型参数估计： ˆ ˆ  ˆ (1 2 2 2        2 1  ˆ ˆ ˆ ˆ ( 2         1 k k  ˆ ˆ ˆ ˆ 2 可得 1q  个方程，求 ,q      1 2 ˆ  k  +1 , ˆ 2 ), k    q ˆ ˆ ),1    q k q    0 k q ，即解这个非线性方程组。 ( 3、对于满足一个条件： ARMA p q 混和模型参数估计 ...   , ) t 1 , , , ˆ 2 ˆ p  t p  ˆ    ，在计算计算 1  ˆ 的方法，具体如下：1）可利用 Toeplitz 2 ˆ ˆ    。2）令 ' ,     矩阵和作矩阵乘法的方法求出 1 1 p t t t p p   这是关于 ' t的 ( )MA q 模型，用 ' 和模型化为： ' ... t的样    t   1 t  ˆ ˆ ˆ 2 ,q      1 , , ˆ 2  p 采用先 ...   a t q  ...   a t q   p   1 混 a t a t     1  , 1 p t 本协方差函数估计的值。  1 a a 1 t t  ˆ ˆ ˆ 2 , ,q      1  ˆ 2 三. 实验步骤课程设计采用 MATLAB 处理数据。 1、对一个时间序列做 n 次测量得到一个样本函数 1 Z Z , , Z 。实验采用附 n 2 录中表 1 中的生产量数据， 50 n  。 2、数据预先处理：做变换 t   tZ  ，其中 Z Z - 3 - 50 1   50 1  j Z j

图 1 某工厂时间 50 个月的生产量时间序列图 2 将时间序列变为期望为 0 的平稳时间序列 3、计算样本自协方差函数 k ，样本自方差函数 k 。 k  0,1,2,3,4,5 ， ˆ  k    k  1  1 k 2      n n k  2  n n k  1   n j  k 1  j 得：随着 k 的增大， k 越来越小，具有拖尾性。 - 4 - ˆ ˆ/ k   0 k  ˆ ，其中。由图-3 数据可  j

图 3 计算样本自相关函数接下来计算偏相关函数 kk ( 1k  )。利用 Yule-Walker 方程，利用 Toeplitz ，由图 4  时，只有一个偏相关函数大于 0.283。所以确定阶矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数 kk 。 2 / 50 得到的数据可得，数为： 2 p  。 0.283 p 2  k 图 4 计算偏相关函数 5、由上综述：确定模型为 (2) ˆ ˆ   1 11 AR 模型。下面进行 (2) AR 模型参数的估计。     ，由图-3 的， 0ˆ 163.2045 ，由公式 0.0190   0.1695 ˆ ˆ   ， 2 22  得： 2ˆ    j p j 158.5497 2   0  j 1  图 5 噪声方差的计算 - 5 -

由上可知模型为：  t  0.1695  1 t   0.0190   t  ，又知 2  t j  Z Z  40.282 1 n  n  1 j 40.282 0.1695(   AR 模型为： Z Z 最后确定 (2)  Z Z 1  t t 40.282) 0.0190(  Z t  2  40.282)  ， 2ˆ  t   158.5497 。 t t  0.0190 0.1695 47.875 6、通过确定的模型估计 2013 年 4 月的生产量  一步估计公式： Z  t t 1)    0.1695 ˆ ( Z k (1) Z    1  2  ˆ Z k k ， 2ˆ   158.5497 0.0190 ˆ Z  1 k  47.875 。其中， 2013 年 2 月的生产量为 23.44 万件，2013 年 3 月的生产量为 38.96 万件。 Z 2002   0.1695*23.44 0.0190*38.96 47.875 43.162    万件一步预报误差为 2ˆ2   7.966 万件，而 2013 年 4 月实际生产量为 487.3 万件。为了提高预报准确度，可以提供更多样本点，进行预报估计。 - 6 -

附录 1 生产量(万件) 时段生产量(万件) 36.90 34.83 46.92 22.81 33.88 54.61 35.89 23.71 42.33 25.74 23.44 38.96 48.73 2012.4 2012.5 2012.6 2012.7 2012.8 2012.9 2012.10 2012.11 2012.12 2013.1 2013.2 2013.3 2013.4 表 1 某工厂时间 51 个月的生产量时间序列生产量(万件) 时段 38.33 23.88 42.30 23.71 33.07 44.59 51.89 49.26 49.03 25.70 40.06 34.75 36.83 41.15 35.62 38.12 31.80 47.30 37.33 2010.9 2010.10 2010.11 2010.12 2011.1 2011.2 2011.3 2011.4 2011.5 2011.6 2011.7 2011.8 2011.9 2011.10 2011.11 2011.12 2012.1 2012.2 2012.3 26.16 48.64 63.15 25.90 56.80 39.82 47.96 69.76 39.77 64.04 24.71 38.77 69.42 21.14 32.26 65.66 32.53 60.38 42.48 时段 2009.2 2009.3 2009.4 2009.5 2009.6 2009.7 2009.8 2009.9 2009.10 2009.11 2009.12 2010.1 2010.2 2010.3 2010.4 2010.5 2010.6 2010.7 2010.8 - 7 -

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