2016年四川高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2016 年四川高考文科数学真题及答案第 I 卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1.设 i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 2.设集合 A={x11≤x≤5},Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 3.抛物线 y2=4x 的焦点坐标是 (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数 y=sin 的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点 (  ) x 3  3  3 (A)向左平行移动个单位长度 (B) 向右平行移动 (C) 向上平行移动个单位长度 (D) 向下平行移动  3  3 个单位长度个单位长度 5.设 p:实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，q: 实数 x，y 满足 x+y>2，则 p 是 q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 6.已知 a 函数 f(x)=x3-12x 的极小值点，则 a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为

(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9 9.已知正三角形 ABC 的边长为 32 ，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 uuur AP  uuur uuur ， PM MC 1 ，则 2 uuur BM 的最大值是 (A) 43 4 (B) 49 4 (C) 36 37  4 (D) 33 37  2 4 10. 设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)= ln ,0 x  ln , x x  x   1,    1, 图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 第 II 卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11、 sin 750 0 = 。 12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是。

13、从 2、3、8、9 任取两个不同的数字，分别记为 a、b，则 loga b 为整数的概率= 。 14、若函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0

（I）求直方图中的 a 值；（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。 17、（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°， BC CD   1 2 AD 。（I）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PAB，并说明理由；（II）证明：平面 PAB⊥平面 PBD。 18、（本题满分 12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且（I）证明：sinAsinB=sinC； A  cos a B cos b  C sin c 。 2 b （II）若 6 5 19、（本小题满分 12 分）    a 2 c 2 bc ，求 tanB。已知数列{ na }的首项为 1， nS 为数列{ }na 的前 n 项和， 1 n   S qS n 1  ，其中 q>0， n N * . （Ⅰ）若 2 , a a a 2 , 3 a 成等差数列，求{ }na 的通项公式； 3 （Ⅱ）设双曲线 2 x  2 y 2 a n  的离心率为 ne ，且 2 1 e  ，求 2 e 1 2  2 e 2    2 e n . 20、（本小题满分 13 分）已知椭圆 E： x2 a2 + у2 b2 椭圆 E 上。 =1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P( 3 ， 1 2 )在 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)设不过原点 O且斜率为 1 2 的直线 l与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭

圆 E 交于 C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳ 21、（本小题满分 14 分） 1 设函数 f(x)=ax2－a－lnx，g(x)= x － e ex （Ⅰ）讨论 f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当 x＞1 时，g(x)＞0；，其中 a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。（Ⅲ）确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题 1.C 2.B 3.D 4. A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A 二、填空题 11. 1 2 12. 3 3 13. 1 6 三、解答题 16.（本小题满分 12 分） 14.-2 15.②③ （Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为 0.08×0.5=0.04. 同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为 0.08，0.21，0.25,0.06， 0.04，0.02. 由 1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得 a=0.30. （Ⅱ）由（Ⅰ），100 位居民月均水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300000×0.13=36000. （Ⅲ）设中位数为 x吨. 因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以 2≤x<2.5. 由 0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得 x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨. 17.（本小题满分 12 分）（I）取棱 AD的中点 M(M∈平面 PAD)，点 M即为所求的一个点.理由如下：

因为 AD∥BC,BC= 1 2 AD，所以 BC∥AM, 且 BC=AM. 所以四边形 AMCB是平行四边形，从而 CM‖∥AB. 又 AB 平面 PAB,CM  平面 PAB, 所以 CM∥平面 PAB. (说明：取棱 PD的中点 N,则所找的点可以是直线 MN上任意一点) （II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD, 因为 AD∥BC,BC= 1 2 AD，所以直线 AB与 CD相交，所以 PA ⊥平面 ABCD. 从而 PA ⊥ BD. 1 2 因为 AD∥BC,BC= AD，所以 BC∥MD,且 BC=MD. 所以四边形 BCDM是平行四边形. 所以 BM=CD= 1 2 AD，所以 BD⊥AB. 又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD 平面 PBD, 所以平面 PAB⊥平面 PBD. 18.（本小题满分 12 分）（Ⅰ）根据正弦定理，可设 a sin A  b sin B  c sin C  ( k k  0) 则 a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC. 代入 A  cos a cos sin k A A k  cos sin  B C cos b B B k sin c sin C sin C  中，有，可变形得 sin A sin B=sin Acos B+cosAsinB=sin (A+B). 在△ABC中，由 A+B+C=π，有 sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，所以 sin A sin B=sin C.

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2= 6 5 bc，根据余弦定理，有 cos A  b 2 2 a c   2 2 bc  . 3 5 所以 sin A= 1 cos  2 A  4 5 . 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B， sin B，所以 4 5 sin B= 故 tan B= sin cos cos B+ 3 5 =4. 4 5 B B 19.（本小题满分 12 分）（Ⅰ）由已知， 1 + S n = qS n + 1, S n + 2 = qS n + 1 + 两式相减得到 2 + a n 1, = qa n + 1, n 1 ³ . S 又由 2 qS= 1 a + 得到 2 1 = ，故 1n qa 1 + = 对所有 1 n ³ 都成立. qa n a 所以，数列{ }na 是首项为 1，公比为 q的等比数列. 从而 1 na q - . = n a 由 2 ，， a 3 3+ a a 2 成等差数列，可得 3 2 =a a 2 + a 2 a + ，所以 3 a 3 2=2 , a ，故 =2q . 所以 na = 1 n 2 ( n- * Î N . ) （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， na = 1n q - . 所以双曲线 2 x - 2 y a n 2 = 的离心率 1 e n = 1 + 2 a n = 1 + 2( n q - 1) . 由 e 2 = 1 + 2 q = 解得 2 q = 3 .所以， q 2 (1+ ) 2 q q + n [1 + 鬃� + n - - 1 1 2 2( n 1) - q ] ， 2 e 1 + 2 e 2 + 鬃� = e 2 n (1 1) + + 2 q + 鬃� q 2( n - 1) ] = = n + = n + + [1 1 (3 2 n - 1). 20.（本小题满分 13 分）（I）由已知，a=2b.

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