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《现代概率论基础(第二版)》汪嘉冈编著习题参考答案 sysy.edu.cn/guo

目录第一章可测空间第二章测度与积分第三章独立随机变量序列第四章条件期望与鞅 1 29 65 67 i sysy.edu.cn/guo

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证明 (1) 若 An 递增，则 lim n An = An = lim n 故 lim n (2) 若 An 递减，则 An = lim n An = n=1 An , An递增 n=1 An , An递减 ∪∞ ∩∞  ∞∩ ∞∪ ∞∪ ∞∩ n=k k=1 ∞∪ ∞∩ ∞∩ ∞∪ k=1 n=k ∞∪ ∞∩ ∞∪ k=1 n=1 ∞∩ ∞∩ ∞∪ k=1 ∞∪ ∞∪ n=1 ∞∩ ∞∩ n=1 An = An = An ; An = An = Ak = k=1 n=1 lim n ∪∞ k=1 n=k n=1 An，即 lim n An 存在且 lim n An = n=1 An. An . ∪∞ lim n An = An = Ak = An ; 第一章可测空间习题 1.1 若 {An, n ≥ 1} 为单调集合序列，证明 limn An 存在，且 An = lim n An = An = k=1 n=k k=1 n=1 n=1 ∩∞ An . ∩∞ n=1 An. 故 limn An = limn An = An = 习题 1.2 若 Ω 为实直线，An = (−∞, an), n ≥ 1．试问 lim n=1 An，即 lim n An 存在且 lim n An 和 lim n An 是什么集 n 合？解由集合的上下极限的定义，有 ∞∩ ∞∪ ∞∩ ∞∪ lim n An = An = ∞∩ k=1 (−∞, sup n≥k an) (−∞, inf n≥k an) k=1 n=k (−∞, an) = an) = (−∞, lim ∞∪ ∞∩ (−∞, an) = an) = (−∞, lim n=k n k=1 an) ; ∞∪ k=1 an) . k=1 n=k = (−∞, inf ∞∪ ∞∩ k≥1 sup n≥k An = k=1 n=k = (−∞, sup k≥1 inf n≥k An = lim n n 1 sysy.edu.cn/guo

习题 1.3 若 {An, n ≥ 1} 为互不相交的集合序列，证明 limn→∞ 2 证明由于 { ∞∪ ∪∞ 且 lim n→∞ j=n Aj = j=n 《现代概率论基础(第二版)》 ∪∞ ∪∞ j=n Aj = ∅. ∞∩ ∞∪ Aj, n ≥ 1} 是递减序列，根据习题1.1的结论可知 lim n→∞ ∞∩ ∞∪ Aj ̸= ∅, 则存在 ω0 ∈ ∞∩ Aj = {ω : ∀n ≥ 1,∃j(ω) > n, 使得 ω ∈ Aj(!)}. Aj．而 ∞∪ n=1 n=1 j=n j=n ∞∩ ∞∪ 假设 n=1 j=n 取n1, n2 ≥ 1, 存在 jk(ω0) > nk, 使得 ω0 ∈ Ajk(!0), k = 1, 2, 即 ω0 ∈ Aj1(!0) 这与 {An, n ≥ 1} 为互不相交的集合序列矛盾. 因此，limn→∞ Aj = ∅. n=1 j=n Aj, 即对∀n ≥ 1,∃j(ω0) > n, 使得 ω0 ∈ Aj(!0). Aj2(!0). ∩ j=n Aj 存在 ∞∪ ∪ ∪ Ac n ; j=n 习题 1.4 证明：(1) (lim n An)c = lim n (2) lim n (An Bn) = lim n An lim n Bn ; 证明 (1) 由集合的运算法则，有 (3) lim n (4) lim n An lim n (AnBn) = (lim n Bn ⊂ lim ∞∪ n An)c = ( (lim n n=k (2) 由集合的运算法则，有 k=1 ∪ lim n (An Bn) = k=1 (3) 由集合的运算法则，有 (AnBn) = lim n An lim n Bn . n k=1 An)c = An)(lim Bn) ; n (AnBn) ⊂ lim ∞∩ ∞∩ ∪ ∞∩ ∪ ∞∩ ∞∩ ∞∩ ∞∪ ∞∪ ∞∪ ∞∪ ∩ (AnBn) = An) (An n=k n=k n=k k=1 k=1 = ( ∞∩ ( n=k k=1 ∞∩ ∞∪ ∞∩ n=k ( k=1 Bn) = ∞∩ ∞∪ ∞∩ ∞∪ k=1 [( An)c = n = lim n Ac n . ∞∪ n=k ∞∩ ∞∪ k=1 Ac ∪ ∞∪ ∪ n=k [( An) n=k ( Bn)] Bn) = lim n An lim n Bn . ∩ ∞∪ An) Bn)] ( n=k n=k = ( An) k=1 n=k ( k=1 n=k Bn) = (lim n An)(lim n Bn) . An lim n (4) 若 ω ∈ lim Bn，则 ω ∈ lim Bn，即 ∃ k ∈ N ，使得当 n ≥ k 时，有 ω ∈ An，且 ω ∈ Bn 对无限个 n 成立. 从而 ω ∈ AnBn 对无限个 n 成立．故 ω ∈ lim An 且 ω ∈ lim Bn ⊂ lim (AnBn). n n n (AnBn)，那么 lim n An lim n n n sysy.edu.cn/guo

(AnBn) ⊂ lim An lim n Bn . n 且 ω ∈ Bn 对无限个 n 成立．即 ω ∈ lim (AnBn) ⊂ lim 此 lim n n 综上所述，lim n Bn． Bn ⊂ lim An lim n An lim n n n 习题 1.5 证明：(1) A△B = Ac△Bc, (2) (A△B)△C = A△(B△C) ; ∪ ∪ n Bn) ⊂∪ (3) 若 A N1 = B N2，则 A△B ⊂ N1 N2 ; ∪ 若 A△N1 = B△N2，则 A△B = N1△N2 ⊂ N1 ∪ ∩ n(An△Bn) ; ( (4) ( n An)△( C = A△B ⇐⇒ A = B△C ; ∪ ∪ ∩ n An)△( N2 ; n Bn) ⊂∪ CHAPTER 1. 可测空间 3 若 ω ∈ lim n (AnBn)，则 ω ∈ (AnBn 对无限个 n 成立．故 ω ∈ An 对无限个 n 成立； Bn，因 Bn，故 ω ∈ lim An 且 ω ∈ lim An lim n n n n(An△Bn) . 证明 (1) 由集合的运算法则，有 Ac△Bc = (Ac ∪ Bc) \ (Ac ∩ Bc) = (Ac ∪ Bc) ∩ (Ac ∩ Bc)c = (Ac ∪ Bc) ∩ (A ∪ B) = (A ∩ B)c ∩ (A ∪ B) = ((A ∪ B) \ (A ∩ B) = Ac△Bc. 若 C = A△B，则 C = (A \ B) ∪ (B \ A)，B△C = (B \ C) ∪ (C \ B)，而 B \ C = B \ (A \ B) ∪ (B \ A) = B \ (B \ A) = B \ (B ∩ Ac) = B ∩ (B ∩ Ac)c = B ∩ (A ∪ Bc) = A ∩ B C \ B = [(A \ B) ∪ (B \ A)] \ B = [(A \ B) \ B] ∪ [(B \ A \ B] = (A \ B) ∪ ∅ = A \ B = A \ (A ∩ B) 故 B△C = (B \ C) ∪ (C \ B) = (A ∩ B) ∪ [A \ (A ∩ B)] = A. 若 A = B△C，根据上面的证明，A,C 的任意性以及 A△B = B△A 可知 C = A△B. sysy.edu.cn/guo

4 《现代概率论基础(第二版)》从而，C = A△B ⇐⇒ A = B△C. (2) 因为 A△(B△C) = A△[(B \ C) ∪ (C \ B)] = A△[(B ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc)] = {A \ [(B ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc)]} ∪ {[(B ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc)] \ A} = {A ∩ [(B ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc)]c} ∪ {[(B ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc)] ∩ Ac} = {A ∩ [(C ∩ Bc) ∪ (B ∩ C c)]} ∪ {[(B ∩ Ac ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc ∩ Ac)]} = {A ∩ {[(C ∩ Bc) ∩ C c] ∪ [(C ∩ Bc) ∩ B]}} ∪ {[(B ∩ Ac ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc ∩ Ac)]} = {A ∩ [(Bc ∩ C c) ∪ (B ∩ C)]} ∪ [(B ∩ Ac ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc ∩ Ac)] = [(A ∩ Bc ∩ C c) ∪ (A ∩ B ∩ C)] ∪ [(B ∩ Ac ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc ∩ Ac)] = (A ∩ Bc ∩ C c) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (B ∩ Ac ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc ∩ Ac) 利用同样的方法，我们易得 (A△B)△C = (A ∩ Bc ∩ C c) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (B ∩ Ac ∩ C c) ∪ (C ∩ Bc ∩ Ac) , 所以 (A△B)△C = A△(B△C). (3) 对于 ∀ ω ∈ A△B = A \ B + B \ A，若 ω ∈ A \ B，则 ω ∈ A ∪ N1 = B ∪ N2，而 ω 不属于 B，故 ω ∈ N2．同理，若 ω ∈ B \ A，则 ω ∈ N1．因此，ω ∈ N1 ∪ N2，即 A△B ⊂ N1 ∪ N2．因为 A△N1 = B△N2，所以 A△(A△N1) = A△(B△N2)，即 (A△A)△N1 = (A△B)△N2 ,∅△N1 = (A△B)△N2 . 故 N1 = (A△B)△N2. 因此， N1△N2 = [(A△B)△N2]△N2 = (A△B)△(N2△N2) = (A△B)△∅ = A△B . 又因为 N1△N2 = (N1 ∪ N2) \ (N1 ∩ N2) ⊂ N1 ∪ N2, 从而 A△B = N1△N2 ⊂ N1 ∪ N2. sysy.edu.cn/guo

CHAPTER 1. 可测空间 5 (4) 因为 ∪ ( n ∪ n An)△( ( n0 ， n Bc n 注意到 ⊂ Bc An) ∩ ( ∩ ∪ ∪ ∩ ∩ n Ac n n) ⊂ ( ∩ Bc n) ⊂ ( Bn) ∩ ( Ac ∪ ∪ 对 ∀ n0 ∈ N 成立，所以 An)△( ( ( n n n n n n Bn) = [( n n n n n n n n n n n n n0 Ac n)] = [( An)] An)c] ∪ ∪ ∪ = [( ∪ ⊂ Ac ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ An) \ ( Bn)] ∪ [( Bn) \ ( ∩ ∪ ∩ Bn)c] ∪ [( Bn) ∩ ( An) ∩ ( An) ∩ ( Bn) ∩ ( n)] ∪ [( Bc ∪ ∪ ，对 ∀ n0 ∈ N 成立，故 An) ∩ Bc (An ∩ Bc (An \ Bn0) , ∪ ∪ (Bn \ An0) , (Bn ∩ Ac Bn) ∩ Ac ∩ ∪ ∪ ∩ ∪ ∪ Bn) ∩ ( An) ∩ ( n)] ∪ [( Bc Bn) = [( ∪ (An \ Bn)] ∪ [ ⊂ [ (Bn \ An)] [(An \ Bn) ∪ (Bn \ An)] n0) = n0) = n0 = n0 = n)] Ac = n n n n n n n n n n n n ∪ 即 ( ∪ n An)△( ∩ n Bn) ⊂∪ ∩ n n(An△Bn). ∩ ∩ ∩ = [( n n n n n n n = [( ( n 此外， Bn) = [( An)△( ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ An) \ ( Bn)] ∪ [( Bn) \ ( ∪ ∪ ∩ Bn) ∩ ( Bn)c] ∪ [( An) ∩ ( n)] ∪ [( An) ∩ ( Bn) ∩ ( Bc ∪ ∪ n) ∩ An0 = ∪ ∪ Bc n) ∩ Bn0 = Ac ∪ ∩ An) ∩ ( ∩ ∩ ∩ ∪ n An ⊂ An0，对 ∀ n0 ∈ N 成立，故 n Bn ⊂ Bn0， n) ⊂ ( ∩ Bc ∪ ∩ Bc n) ⊂ ( Bn) ∩ ( Ac ∩ ∩ 对 ∀ n0 ∈ N 成立，所以 An)△( ∪ Bn) ∩ ( ∩ Ac ∩ ∪ ∪ An) ∩ ( n)] ∪ [( Bc Bn) = [( 注意到 n) = n) = (Bn0 (An0 ( ( ( n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n An)] An)c] Ac n)] \ Bn) , \ An) , (An0 (Bn0 Ac n)] sysy.edu.cn/guo

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