2015年全国Ⅰ卷高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2015 年全国Ⅰ卷高考理科数学试题及答案注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数 z 满足 1+z 1 z =i，则|z|= （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 【解析】 1+ 1  z z  i 可得 z  i 1   1 i  ( i (1   1)(1 )(1 i   i i ) )  i ，故可得| | 1 z  ，选择 A. 【点评】本题考查复数的运算。该题目在高二数学（理）强化提高班课程讲座第四章复数第 02 讲模的运算部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（2）sin20°cos10°-cos160°sin10°= （A）  3 2 （B） 3 2 （C） 1  2 （D） 1 2 【解析】本题三角函数公式，故可得 sin 20 cos10 -cos160 sin10 = sin 20 cos10 -cos 180 -20 （。。。。。。。。） sin10 = sin 20 cos10 + cos 20 sin10 = sin 20 +10 = sin 30 = 。）（。。。。。。。，选择 D. 1 2 【点评】本题考查三角函数公式。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第八章三角函数第 01 讲三角函数（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（3）设命题 P：  nN， 2n > 2n ，则  P 为（A）  n N, 2n > 2n （B）  nN, 2n ≤ 2n （C）  n N, 2n ≤ 2n （D）  nN, 2n = 2n 【解析】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择 C. 【点评】本题考查命题的否定。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第十五章常用逻辑语第 01 讲常用逻辑语（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且

各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【解析】本题考查事件的概率，至少投中 2 次才能通过，那么投中的次数是 2 或 3，因此概率为 P C (0.6) 0.4 ，选择 A. 0.648 (0.6) C   2  3  2 3 3 3 【点评】本题考查事件的概率。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第十四章概率第 02 讲概率（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（5）已知 M（x0，y0）是双曲线 C： 2 x 2 0，则 y0 的取值范围是 y 2 1  上的一点，F1、F2 是 C 上的两个焦点，若   1MF  2MF ＜（B）（- 36 ， 36 ）  2 3 3 2 3 3 ）（D）（，）（A）（- 33 ， 33 ）  （C）（ 2 2 3 【解析】本题考查双曲线 2 2 3 ， uuuur uuuur MF MF 2 通过 1  0 可得 ( x 0  3)( x 0  3)  y 2 0  ，而 0 2 x 0 2 y 2 0  ，因此可得 2 y  ，故答案为 A. 0 1 1 3 【点评】本题考查双曲线。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第十二章圆锥曲线的方程与性质第 01 讲圆锥曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛【解析】本题考查空间立体几何，有四分之一圆弧的周长为 8 尺可以得出，

1 2 r 4  ， 8 3 ，因此 r  ，故体积为 16 3 1 3 Sh 1 1   3 4 2 r h ，通过计算可得 V  320 9 换算单位可得 320 9 1.62  ，因此选择 B. 22 【点评】本题考查空间立体几何。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第十一章立体几何第 01 讲立体几何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ，则（A） = + (B) = （C） = + (D) = 【解析】本题考查平面向量，画出图形， uuur uuur uuur uuur 1 AD AC CD AC 3 uuur uuur BC AC 1 3       uuur uuur ( AC AB  )   uuur AB  1 3 uuur AC 4 3 可知答案为 A. 【点评】本题考查平面向量。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第九章平面向量第 01 讲平面向量（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 (8)函数 f(x)= 的部分图像如图所示，则 f（x）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k (C)（）,k (D)（）,k

【解析】本题考查三角函数的单调性，根据图像确定函数的解析式，然后再确定单调区间，故可得答案为 B. 【点评】本题考查三角函数的单调性。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第八章三角函数第 03 讲三角函数（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【解析】本题考查算法，过程为

【点评】本题考查算法。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第十三章算法与统计第 01 讲算法与统计部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（10）的展开式中， y²的系数为（A）10 （B）20 （C）30（D）60 【解析】本题考查二项式公式，把 x+y 看做是一个整体，因此可得 2 x y 只能是 2 5 5 ( C x 2 2 ) ( x 3 y 中的某一项，故可得系数为： 2 C C  5 1 3 ) 10 3 30   ，故选择 C. （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r= （A）1（B）2（C）4（D）8 【解析】本题考查三视图，由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 1 4  2 2 r    r  2 r  r  2  2 r  2 r = 2 5   r 2 4 r =16 + 20，解得 r=2，故选 B. 【点评】本题考查三视图。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第十一章立体几何第 01 讲立体几何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全

相同。 12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x0） 0，则 a 的取值范围是（） A.[- ，1） B. [- ，） C. [ ，） D. [ ，1）【解析】【点评】本题考查导数的应用。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第四章函数的值域、最值求法及应用第 02 讲函数的值域、最值求法及应用（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分第 II 卷（13）若函数 f(x)=xln（x+ a  ）为偶函数，则 a= 2x 【解析】本题考查偶函数，因此有 f (  x )   x ln( x   a x  2 )  ( ) f x  x ln( x  a x  2 ) ，故可得 x  a x  2  1 a x  2 x  

因此可得 1a  . 【点评】本题考查偶函数。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第三章函数的性质及其应用第 03 讲函数的性质及其应（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为。【解析】本题考查圆的方程，设圆心坐标为（a，0），因此可得 2 a    ，或 2 a 4 4 a    解得 a 4 4 a   ，因此圆的方程为 3 2 ( x  3 2 2 )  2 y  25 4 【点评】本题考查圆的方程。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第十二章圆锥曲线的方程与性质第 02 讲曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（15）若 x,y 满足约束条件则 y x 的最大值为 . 【解析】本题考查线性规划，根据题意画出可行域， y x 可以看做是与原点连线的斜率，因此如果 y x 最大值，也就是求斜率的最大值，通过图形观察可知在(1,3) 处有最大值是 3，因此 x y 的最大值是 3. 【点评】本题考查线性规划。该题目在高一数学下（讲座 2）强化提高班课程讲座第五章不等式第 06 讲不等式（六）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（16）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是【解析】如下图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则可知  ADE 中， DAE  105 。， ADE  45 。， E  30 。，设 AD 1= 2 x ，则 AE = 2 2 , x DE = 2 x 6  4 CD m BC , Q    2, ( 2 6  4 x m  )sin15  。，故可得 1 2 6  4 x m   6  2 所以 0 x  ，而 4 AB  6  4 2 x m   2 2 x  6  4 2 x m   6  2  2 2 x 因此可得 AB 的范围是 ( 6  2, 6  2) .

【点评】本题考查三角形。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第八章三角函数第 04 讲三角函数（四）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分） Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0，（Ⅰ）求{an}的通项公式：（Ⅱ）设 ,求数列 }的前 n 项和【解析】（Ⅰ）因为 2 a n  2 a n  4 S n  ，所以 2 a 1 n  3  2 a n 1   4 S n 1   ，两式相减可得 2 a n 3  a 2 1 n   2 a n  2 a n 1   4 a n 即 ( a n  a n 1  )( a n  a n 1  )  2( a n  a n 1  ) Q ， na  0 ，所以{ }na 是等差数列，将 1n  代入 2 a n  2 a n  4 S n 因此可得通项公式为 na 3 (   n 1) 2    2 n  1   a n a  1 n  ，故可得 0 a a  1 n  2 n 3  中可得 1 a  或 1 3 a   （舍去） 1 （Ⅱ） n  n  3) nb  (2 1 1 1 2 3 5 ( 1 1)(2 1 7 1 5 nT       L ，因此它的前 n 项和为  1 n  1 ( 2 2 1  1 2 n   1 2 1 n  3 ) 2 1 n   ) 3 1 1 ( 2 3  1 n  ) 3 2 【点评】本题考查数列。该题目在数学（理）强化提高班课程讲座第六章数列第 05 讲数列（五）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。（18）如图，，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥ 平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

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