2006 年宁夏高考文科数学真题及答案
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)
1.(5 分)已知向量 、 满足| |=1,| |=4,且 • =2,则 与 夹角为(
)
A.
B.
C.
D.
2.(5 分)设集合 M={x|x2﹣x<0},N={x||x|<2},则(
)
A.M∩N=∅ B.M∩N=M
C.M∪N=M
D.M∪N=R
3.(5 分)已知函数 y=ex 的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,则(
)
A.f(2x)=e2x(x∈R) B.f(2x)=ln2•lnx(x>0)
C.f(2x)=2ex(x∈R) D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)
4.(5 分)双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=(
)
A.
B.﹣4
C.4
D.
5.(5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7=35,则 a4=(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
6.(5 分)函数
的单调增区间为(
)
A.
C.
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
D.
7.(5 分)从圆 x2﹣2x+y2﹣2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的
余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.0
8.(5 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,
则 cosB=(
)
A.
B.
C.
D.
9.(5 分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是
(
)
A.16π B.20π C.24π D.32π
10.(5 分)在
的展开式中,x4 的系数为(
)
A.﹣120
B.120
C.﹣15 D.15
11.(5 分)抛物线 y=﹣x2 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是(
)
A.
B.
C.
D.3
12.(5 分)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 5 根细木棒围成一个三角形(允许
连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为(
)
A.
B.
C.
D.20cm2
二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)
13.(4 分)已知函数 f(x)=a﹣
,若 f(x)为奇函数,则 a=
.
14.(4 分)已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线长为
,则侧面与底面所成的二面角
等于
°.
15.(4 分)设 z=2y﹣x,式中变量 x、y 满足下列条件:
,则 z 的最大值
为
.
16.(4 分)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二
人都不安排在 5 月 1 日和 2 日.不同的安排方法共有
种(用数字作答).
三、解答题(共 6 小题,满分 74 分)
17.(12 分)已知{an}为等比数列,
,求{an}的通项公式.
18.(12 分)ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时,
取得最大值,
并求出这个最大值.
19.(12 分)A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由
4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服
用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用 A
有效的概率为 ,服用 B 有效的概率为 .
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ)观察 3 个试验组,用ξ表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望.
20.(12 分)如图,l1、l2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点 A、B 在 l1 上,
C 在 l2 上,AM=MB=MN.
(Ⅰ)证明 AC⊥NB;
(Ⅱ)若∠ACB=60°,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.
21.(12 分)设 P 是椭圆
=1(a>1)短轴的一个端点,Q 为椭圆上一个动点,求|PQ|
的最大值.
22.(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=x3﹣ax2+(a2﹣1)x 在(﹣∞,0)和(1,+∞)都
是增函数,求 a 的取值范围.
2006 年宁夏高考文科数学真题及答案
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)
1.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)已知向量 、 满足| |=1,| |=4,且 • =2,则 与 夹角为
(
)
A.
B.
C.
D.
【分析】本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模之间的关系,用数量积列出
等式,变化出夹角的余弦表示式,代入给出的数值,求出余弦值,注意向量夹角的范围,求
出适合的角.
【解答】解:∵向量 a、b 满足
,且
,
设 与 的夹角为θ,
则 cosθ=
= ,
∵θ∈【0π】,
∴θ= ,
故选 C.
2.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)设集合 M={x|x2﹣x<0},N={x||x|<2},则(
)
A.M∩N=∅ B.M∩N=M
C.M∪N=M
D.M∪N=R
【分析】M、N 分别是二次不等式和绝对值不等式的解集,分别解出再求交集合并集.
【解答】解:集合 M={x|x2﹣x<0}={x|0<x<1},N={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},∴M∩N=M,
故选:B.
3.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)已知函数 y=ex 的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对
称,则(
)
A.f(2x)=e2x(x∈R) B.f(2x)=ln2•lnx(x>0)
C.f(2x)=2ex(x∈R) D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)
【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知
识和方法.
根据函数 y=ex 的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称可知 f(x)是 y=ex 的反函数,
由此可得 f(x)的解析式,进而获得 f(2x).
【解答】解:函数 y=ex 的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,
所以 f(x)是 y=ex 的反函数,即 f(x)=lnx,
∴f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x>0),
选 D.
4.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=(
)
A.
B.﹣4
C.4
D.
【分析】由双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,可求出该双曲线的方程,从而求出 m
的值.
【解答】解:双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,
∴m<0,且双曲线方程为
,
∴m=
,
故选:A.
5.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7=35,则 a4=(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
【分析】充分运用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题.
【解答】解:Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7=
×7=7a4=35,
∴a4=5,
故选 D.
6.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)函数
的单调增区间为(
)
A.
C.
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
D.
【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时 x+ 的范围 i,进而求得 x 的范围.
【解答】解:函数
的单调增区间满足
,
∴单调增区间为
,
故选 C
7.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)从圆 x2﹣2x+y2﹣2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,
则两切线夹角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.0
【分析】先求圆心到 P 的距离,再求两切线夹角一半的三角函数值,然后求出结果.
【解答】解:圆 x2﹣2x+y2﹣2y+1=0 的圆心为 M(1,1),半径为 1,从外一点 P(3,2)向
这个圆作两条切线,
则点 P 到圆心 M 的距离等于 ,每条切线与 PM 的夹角的正切值等于 ,
所以两切线夹角的正切值为
,该角的余弦值等于 ,
故选 B.
8.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成
等比数列,且 c=2a,则 cosB=(
)
A.
B.
C.
D.
【分析】根据等比数列的性质,可得 b=
a,将 c、b 与 a 的关系结合余弦定理分析可得答
案.
【解答】解:△ABC 中,a、b、c 成等比数列,则 b2=ac,
由 c=2a,则 b=
a,
=
,
故选 B.
9.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则
这个球的表面积是(
)
A.16π B.20π C.24π D.32π
【分析】先求正四棱柱的底面边长,然后求其对角线,就是球的直径,再求其表面积.
【解答】解:正四棱柱高为 4,体积为 16,底面积为 4,正方形边长为 2,
正四棱柱的对角线长即球的直径为 2 ,
∴球的半径为 ,球的表面积是 24π,
故选 C.
10.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)在
的展开式中,x4 的系数为(
)
A.﹣120
B.120
C.﹣15 D.15
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 4 求出 x4 的系数
【解答】解:在
的展开式中
x4 项是
=﹣15x4,
故选项为 C.
11.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)抛物线 y=﹣x2 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是(
)
A.
B.
C.
D.3
【 分 析 】 设 抛 物 线 y= ﹣ x2 上 一 点 为 ( m , ﹣ m2 ), 该 点 到 直 线 4x+3y ﹣ 8=0 的 距 离 为
,由此能够得到所求距离的最小值.
【解答】解:设抛物线 y=﹣x2 上一点为(m,﹣m2),
该点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离为
,
分析可得,当 m= 时,取得最小值为 ,
故选 B.
12.(5 分)(2006•全国卷Ⅰ)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 5 根细木棒围成
一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为(
)
A.
B.
C.
D.20cm2
【 分 析 】 设 三 角 形 的 三 边 分 别 为 a , b , c , 令 p=
, 则 p=10 . 海 伦 公 式
S=
≤
=
故排除 C,
D,由于等号成立的条件为 10﹣a=10﹣b=10﹣c,故“=”不成立,推测当三边长相等时面积
最大,故考虑当 a,b,c 三边长最接近时面积最大,进而得到答案.
【解答】解:设三角形的三边分别为 a,b,c,
令 p=
,则 p=10.由海伦公式 S=
知 S=
3
≤
=
< 20 <
由于等号成立的条件为 10﹣a=10﹣b=10﹣c,故“=”不成立,
∴S<20<3 .
排除 C,D.
由以上不等式推测,当三边长相等时面积最大,故考虑当 a,b,c 三边长最接近时面积最大,
此时三边长为 7,7,6,用 2、5 连接,3、4 连接各为一边,第三边长为 7 组成三角形,此
三角形面积最大,面积为
,
故选 B.
二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)
13.(4 分)(2006•全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=a﹣
,若 f(x)为奇函数,则 a=
.
【分析】因为 f(x)为奇函数,而在 x=0 时,f(x)有意义,利用 f(0)=0 建立方程,求
出参数 a 的值.
【解答】解:函数
.若 f(x)为奇函数,
则 f(0)=0,
即
,a= .
故答案为
14.(4 分)(2006•全国卷Ⅰ)已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线长为
,则侧面与
底面所成的二面角等于 60 °.
【分析】先根据底面对角线长求出边长,从而求出底面积,再由体积求出正四棱锥的高,求
出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可.
【解答】解:正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为
,底面边长为 2 ,底面积为
12,
所以正四棱锥的高为 3,
则侧面与底面所成的二面角的正切 tanα= ,
∴二面角等于 60°,
故答案为 60°