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2010年江苏扬州大学数学分析考研真题.doc
2010 年江苏扬州大学数学分析考研真题
1、 （1）设 ,a b 为实数，若对任意正数， a b
，求证： a
b .
（2）用极限定义证明：若 lim ( )
f x
x
，则
A
lim (
f
0
x
1
x
)
A
.
（3）求证：
lim
n
n
!
n
n
.
1
e
2、（1）设函数 f 在 0x 的空心领域 0
U x 内递增，求证：若 0x 是 f 的间断点，
0(
)
则 0x 必为 f 的第一类间断点.
（2）若 f 在( , )a b 内可导，且 'f 在 ( , )a b 内递增，则 'f 在 ( , )a b 内连续.
3、设函数 ,
f g
:[0,1]
[0,1]
连续，且对任意 [0,1]
x
， ( ( ))
f g x
(
g f x
( ))
，
求证：若 f 递减，则存在唯一的 0
x
[0,1]
(
f x
，使 0
)
(
g x
0
)
x
0
.
4、考察下列函数在指定区间上的一致连续性
.
[0,
)
（1）
( )
f x
ln(
x
1
x
2
),
x
（2）
( )
f x
2
,
x x
)
.
[0,
5、设函数 f 在[ ,
a 内连续，在 ( ,
a 内可导， ( ) 0
f a 且 x
)
)
a 时 '( )
x
f
k ，
0
求证：存在唯一的
x
，使 (
( ,
a
) 0
f x .
)
6、设 f 在[ , ]a b 上三阶可微，求证：存在 ( , )a b
，使
( )
f b
( )
f a
1
2
(
'( )
b a f a
)[
'( )]
f b
1
12
(
( )
b a f
(3)
)
3
7、（1）求证：
1
0
cos
1
x
x
2
dx
1
0
sin
1
x
x
2
dx
.
（2）设 'f 在[ , ]a b 上连续，求证：
1
0
( )
f x dx
1
max{
0
f
'( )
x dx
,
1
0
.
( )
f x dx
}
.
8、设
0
)
在[ ,
( ,
f x y dy
) 内内闭一致地成立，求证：
[0,
a 内关于 x 一致收敛于 ( )F x ，且
)
lim
x
( ,
f x y
)
( )
y
关于 y 在
( )
F x
y dy
( )
0
.
9、设 ( , )
K x t 在[ , ]
a b
[ , ]
a b
上连续， 0(
u x 在[ , ]a b 上连续，令
)
( )
u x
n
x
0
( , )
K x t u
n
1
( )
,
t dt x
[ , ],
a b n
1,2,
求证：{ ( )}
nu x 在[ , ]a b 上一致收敛.
10、求证：
( )
f x
在 (1,
1
x
n
n
1
) 内内闭一致收敛而非一致收敛.
11、试求
S
cos( , )
n r dS
2
r
，其中 S 为光滑封闭曲面， (0,0,0)
S ， (0,0,0) 到 S 上任一点
( ,
x y z 的向量记为 r ，其长度记为 r ， ( , )n r 为 S 上外法向量 n 与 r 的夹角.
, )
12、用两种方法证明：若函数 f 在[ , ]a b 上连续，则 f 在[ , ]a b 上一致连续.
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