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2004年西藏高考理科数学真题及答案.doc
2004 年西藏高考理科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）设集合
M
{( ,
x y
) |
2
x
2
y
1
， x R ，
y R ，
}
N
{( ,
x y
) |
2
x
， x R ，
y
0
M N 中元素的个数为 (
)
A．1
B．2
C．3
D．4
x
2．（5 分）函数 | sin |
2
y
的最小正周期是 (
)
A．
2
B．
C． 2
D． 4
3．（5 分）设数列{ }na 是等差数列， 2
a ， 8
a ， nS 是数列{ }na 的前 n 项和，则 (
6
6
S
A． 4
S
5
S
B． 4
S
5
S
C． 6
S
5
S
D． 6
S
5
4．（5 分）圆 2
x
2
y
4
x
在点 (1, 3)
P
0
处的切线方程为 (
)
A．
x
3
y
2 0
B．
x
3
y
4 0
C．
x
3
y
4 0
D．
x
3
y
2 0
5．（5 分）函数
y
log (
1
2
2
x
1)
的定义域是 (
)
A．[
2 ， 1)
C．[ 2 ， 1)
(1
， 2]
， 2]
(1
B． (
3 ， 1)
D． ( 2 ， 1)
(1
， 2)
， 2)
(1
6．（5 分）设复数 z 的幅角的主值为 2
3
，虚部为 3 ，则 2
z
(
)
A． 2 2 3i
B． 2 3 2i
C． 2 2 3i
D． 2 3 2i
7．（5 分）设双曲线的焦点在 x 轴上，两条渐近线为
y
，则双曲线的离心率 (
e
x
1
2
A．5
B． 5
8．（5 分）不等式1 |
x 的解集为 (
1| 3
C． 5
2
)
D． 5
4
A． (0,2)
C． ( 4,0)
B． ( 2 ， 0)
D． ( 4 ， 2)
(2 ， 4)
， 2)
(0
9．（5 分）正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 (
)
A． 2 2
3
B． 2
C． 2
3
D． 4 2
3
10．（5 分）在 ABC
中，
AB
3,
BC
13,
AC
，则边 AC 上的高为 (
4
)
y R ，则集合
}
)
)
A． 3 2
2
B． 3 3
2
C． 3
2
D． 3 3
11．（5 分）设函数
( )
f x
(
x
4
2
1)
x
1
1
x
1
x
则使得 ( ) 1
f x
的自变量 x 的取值范围为 (
)
A． ( ， 2]
C． ( ， 2]
[0
，10]
，10]
[1
B． ( ， 2]
D．[ 2 ， 0]
[0
，1]
[1 ，10]
12．（5 分）将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有 (
)
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）用平面截半径为 R 的球，如果球心到截面的距离为
R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的
2
比值为
．
14．（4 分）函数 sin
y
x
3 cos
x
在区间[0,
]
2
的最小值为
．
15．（4 分）已知函数
y
( )
f x
是奇函数，当 0x
时， ( ) 3
f x
1x
，设 ( )
f x 的反函数是
y
( )
g x
，则 ( 8)
g
16．（4 分）设 P 是曲线 2
y
4(
x
1)
上的一个动点，则点 P 到点 (0,1) 的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最
小值是
．
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）已知为锐角，且
tan
，求 sin 2 cos
sin 2 cos 2
sin
1
2
的值．
18．（12 分）解方程 4
x
|1 2 | 11
．
x
19．（12 分）某村计划建造一个室内面积为
800m 的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各
2
保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？
最大种植面积是多少？
20．（12 分）三棱锥 P ABC
中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直，
（1）求证 AB BC ；
PA PB PC
．
3
（2）如果
AB BC
2 3
，求 AC 与侧面 PBC 所成角的大小．
的两个焦点是 1(
F c ， 2(F c ，0)(
,0)
c ，且椭圆上存在点 P ，使得直线 1PF
0)
2
x
m
1
2
y
1
21．（12 分）设椭圆
与直线 2PF 垂直．
( )I 求实数 m 的取值范围．
(
QF
)II 设 l 是相应于焦点 2F 的准线，直线 2PF 与 l 相交于点 Q ．若 2
PF
2
|
|
|
|
，求直线 2PF 的方程．
2
3
22．（14 分）已知数列{ }na 的前 n 项和 nS 满足：
S
n
2
a
n
， 1n
．
( 1)n
（1）写出求数列{ }na 的前 3 项 1a ， 2a ， 3a ；
（2）求数列{ }na 的通项公式；
（3）证明：对任意的整数 4m ，有
1
a
4
1
a
5
1
a
m
．
7
8
2004 年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）设集合
M
{( ,
x y
) |
2
x
2
y
1
， x R ，
y R ，
}
N
{( ,
x y
) |
2
x
M N 中元素的个数为 (
)
， x R ，
y
0
y R ，则集合
}
A．1
B．2
C．3
D．4
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ，
M N
{( ,
x y
) |
2
x
2
y
1
， x R ，
y R
} {( ,
x y
) |
2
x
y
0
， x R ，
}
y R
{( ,
x y
) |
2
2
x
x
2
1
}
0
y
y
将 2
x
y 代入 2
x
0
y
2 1
，
得 2
y
y ，△ 5 0
，
1 0
所以方程组有两组解，
因此集合 M N 中元素的个数为 2 个，
故选： B ．
x
2．（5 分）函数 | sin |
2
y
的最小正周期是 (
)
A．
2
B．
C． 2
D． 4
【解答】解：对于 sin
y
x
2
T
， 2
1
2
，
4
x
函 数 | sin |
2
y
是 函 数 sin
y
x
2
x
轴 上 方 的 图 象 不 动 将 x 轴 下 方 的 图 象 向 上 对 折 得 到 的 ， 如 图 示 ， 故
T
1
2
T
，
2
故选： C ．
3．（5 分）设数列{ }na 是等差数列， 2
a ， 8
a ， nS 是数列{ }na 的前 n 项和，则 (
6
6
)
S
A． 4
S
5
S
B． 4
S
5
S
C． 6
S
5
S
D． 6
S
5
【解答】解： 2
6
a
， 8
a
6
a
， 1
a
1
d
6
7
d
6
得 1
a ， 2
d
8
S
4
S
5
故选： B ．
4．（5 分）圆 2
x
2
y
4
x
在点 (1, 3)
P
0
处的切线方程为 (
)
A．
x
3
y
2 0
B．
x
3
y
4 0
C．
x
3
y
4 0
D．
x
3
y
2 0
【解答】解：法一：
2
x
2
y
4
x
0
y
kx
k
2
3
x
4
x
(
kx
k
2
3)
．
0
该二次方程应有两相等实根，即△ 0 ，解得
k ．
3
3
y
3
3
3
(
x
，
1)
即
x
3
y
．
2 0
法二：
点 (1, 3) 在圆 2
x
2
y
4
x
上，
0
点 P 为切点，从而圆心与 P 的连线应与切线垂直．
又圆心为 (2,0) ， 0
．
1
k
3
2 1
解得
k ，
3
3
切线方程为
x
3
y
．
2 0
故选： D ．
5．（5 分）函数
y
log (
1
2
2
x
1)
的定义域是 (
)
A．[
2 ， 1)
C．[ 2 ， 1)
(1
(1
， 2]
， 2]
1 0
2
x
x
log
0
1
1
2
2
B． (
3 ， 1)
D． ( 2 ， 1)
(1
， 2)
， 2)
(1
2
2
x
x
1
1 1
x
x
2
1
2
2
x
1
1
x
或
2
x
2
【解答】解：
2
x
1
或1
x ．
2
y
log (
1
2
2
x
1)
的定义域为[
2 ， 1)
， 2] ．
(1
故选： A ．
6．（5 分）设复数 z 的幅角的主值为 2
3
，虚部为 3 ，则 2
z
(
)
C． 2 2 3i
D． 2 3 2i
A． 2 2 3i
B． 2 3 2i
【解答】解：复数 z 的幅角的主值为 2
3
3
2
2
)
3
2
3
设复数
(cos
sin
1
2
r
r
z
r
i
虚部为 3
3
2
r
r
3
2
z
2(cos
i
sin
2
3
4
3
2
)
3
4
)
3
2
z
4(cos
i
sin
2 2 3
i
故选： A ．
7．（5 分）设双曲线的焦点在 x 轴上，两条渐近线为
y
，则双曲线的离心率 (
e
x
1
2
)
A．5
B． 5
C． 5
2
D． 5
4
【解答】解：依题意可知 1
2
b
a
，求得 2
b
a
c
2
a
2
b
5
b
e
c
a
5
2
故选： C ．
8．（5 分）不等式1 |
x 的解集为 (
1| 3
)
B． ( 2 ， 0)
D． ( 4 ， 2)
(2 ， 4)
， 2)
(0
A． (0,2)
C． ( 4,0)
【解答】解：
1 |
1| 3
1 |
x
x
2
1|
9
即
(
(
x
x
2
2
1)
1)
1
9
即
2
2
x
x
2
2
x
x
0
8 0
，
解得
2
x
x
或
4
x
0
2
，即 ( 4
x ， 2)
， 2)
(0
解法二：
|
|
1| 3
1| 1
1 |
x
1| 3
x
x
， 2)
(0
解得 ( 4
x ， 2)
1 1
x
x
或
1 3
3
x
1 1
故选： D ．
9．（5 分）正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 (
)
A． 2 2
3
B． 2
C． 2
3
D． 4 2
3
【解答】解：由题意正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，
可知：侧棱长为 2 ，三条侧棱两两垂直，
所以此三棱锥的体积为 1 1
3 2
2
2
2
2
3
故选： C ．
10．（5 分）在 ABC
A． 3 2
2
中，
3,
AB
B． 3 3
2
BC
13,
AC
，则边 AC 上的高为 (
)
4
C． 3
2
D． 3 3
【解答】解：由点 B 向 AC 作垂线，交点为 D ．
设 AD x ，则
CD
，
4
x
2
，解得 3
x
x
2
)
BD
9
2
x
13 (4
BD
9
2
x
3
2
3
故选： B ．
11．（5 分）设函数
( )
f x
(
x
4
2
1)
x
1
1
x
1
x
则使得 ( ) 1
f x
的自变量 x 的取值范围为 (
)
A． ( ， 2]
，10]
[0
B． ( ， 2]
，1]
[0
C． ( ， 2]
，10]
[1
D．[ 2 ， 0]
[1 ，10]
x 或 0
2
1x
．
【解答】解： ( ) 1
f x
等价于
1
x
(
1)
x
2
1
解得：
或
1
x
4
x
1 1
解得：1
x
10
x 或 0
2
x ．
10
综上所述，
故选： A ．
12．（5 分）将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有 (
)
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【解答】解：将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，
只有一种结果 1，1，2，
首先从 4 个人中选 2 个作为一个元素，
使它与其他两个元素在一起进行排列，
共有 2
C A 种结果，
4
36
3
3
故选： C ．
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）用平面截半径为 R 的球，如果球心到截面的距离为
R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的
2
比值为 3:16 ．
【解答】解：小圆半径是： 3
2
球的表面积是；
4 R
2
R ，小圆的面积是：
3
4
2
R
，
截得小圆的面积与球的表面积的比值为：
3
4
2
R
故答案为： 3:16
: 4
R
2
3:16
14．（4 分）函数 sin
y
x
3 cos
x
在区间[0,
]
2
的最小值为 1 ．
【解答】解： sin
y
x
3 cos
x
2( sin
1
2
x
3
2
cos )
x
2sin(
x
，
)
3
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