关于投票悖论、策略投票以及公平的投票规则的研究.pdf

发布时间：2022-05-29 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.28M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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On Preference Intensity, Strategic Voting and the Strategy-p

http://www.paper.edu.cn 关于投票悖论、策略投票以及公平的投票规则的研究李家炜哈尔滨工业大学机器人研究所(150080) email: lijiawei@hit.edu.cn 摘要：个体的偏好强度总被认为是基数的，因此 Arrow 社会福利函数体系中并不涉及偏好强度。然而本文的研究表明对个体偏好关系的集结必然涉及偏好强度问题，投票悖论产生的原因就在于对偏好强度的不合理处理。具有合理的偏好强度的个体偏好集结函数将避免投票悖论，并且满足除无关方案独立性条件外的其它 Arrow 公理性条件。对投票人的策略投票的原因进行分析，证明了一种防策略投票的投票规则的存在性，并且在此投票规则下对涉及公共财富分配的一类投票问题可以实现公平的结果。关键词：投票悖论，偏好强度，策略投票，防策略投票，公平的投票规则 1．引言在普遍的意义上任何一种民主的投票选举都需要一个公平的规则。这些规则可能包括：每个投票人可以按自己的意愿投票，选举程序对各个备选方案是公平的，选举结果是由所有投票人的投票计算出来的而不是由某个独裁者决定等等。对投票问题的研究可以追溯到中世纪的学者Roman Lull和Nuolas Cusanus，并发展形成了如今社会选择理论的体系[1，2，3]。怎样由每个个体的意愿集结为社会意愿是社会选择理论研究的主要问题，然而关于这个问题的主要结论都是否定性的，一系列不可能定理构成了社会选择理论的框架。社会福利函数（SWF）定义了个体意愿向一种社会状态映射的函数关系。Arrow 不可能定理指出：当备选方案多于两个时，不存在一种社会福利函数同时满足以下条件：①理性条件②无约束域条件③Pareto 准则④无关方案独立性条件⑤非独裁性条件。现代社会选择理论的基础是序数效用论。序数效用论认为个体的行为可以用偏好解释，而作为主观的偏好无法用准确的数字加以表达。例如，如果个体在 X 和Y 之间选择了 X ，那么他就偏好 X 胜过Y （或者 YX ≥ ）。这样可以避免对 X 和Y 的具体效用数值进行测度。然而既然序数效用论否认了对效用人际比较的可能，为什么对个人的偏好就可以比较和集结成为社会偏好？从这一点看来，社会选择不可能定理的出现是必然的。策略投票是指投票人通过在投票中谎报自己的真实偏好，使投票结果发生有利于自己的变化。人们很早就注意到这种‘策略行为’在投票选举中的存在。投票选举理论的奠基人 Dodgson经过大量对比研究认为：投票程序的可操纵性和投票人策略投票的行为是普遍存在的。在Arrow不可能定理的基础上，Gibbard (1973) 和 Satterthwaite (1975) 提出了Gibbard- -Satterthwaite防策略投票不可能定理，从理论上证明策略投票的必然性。之后的很多研究者对防策略投票问题进行了研究[6，7，8]。博弈论中普遍采用诺依曼─摩根斯坦（vN-M）模型来描述博弈中各方的收益，这是一 - 1 -

http://www.paper.edu.cn 种基数效用的方法。对于涉及不确定性的个体偏好集结问题，Harsanyi (1955) 提出一种基于 vN-M体系的分析方法，Broome (1982，1991), Sen (1976, 1986)，Weymark (1993,1995)等从不同侧面发展了Harsanyi的理论，形成与Arrow体系并列的另一种个体偏好集结体系。偏好强度的概念用于表示个体（或群体）对两个方案之间差别大小的度量。在Harsanyi的方法中个体对方案的偏好由期望效用所度量，因此偏好强度可以用具体的数值表示。Harvey (1999), Hild and et al.(1998) 等都讨论了个体偏好集结过程中对偏好强度的处理方法。然而，在个体的序数偏好的集结过程中同样涉及偏好强度。它包含两个方面：不同个体对同样的两个方案的偏好强度，同一个体对不同的两组方案的偏好强度。只有对上述两种偏好强度准确设定才可能对不同的个体偏好进行比较和集结。设想由3人组成的委员会对两个备选方案、A B 进行表决，其中两人认为 BA f （符号 AB f 。那么只有假定三个人的偏好强度相同，我们才能认为表示优于关系），一人认为 f 群体偏好是 BA f ，否则个体偏好之间就无法比较与集结。当备选方案多于两个时，就涉及个体对不同的两组方案的偏好强度。设想委员会中的一人对三个备选方案、A B 、C 的偏好是 A B 的偏好排序应该是两者无差异。如果两者的偏好强度不同，例如更大，那么他将认为 CB f CA f 和、 BA f 。，如果两者的偏好强度相同，他对 CA f 的偏好强度虽然 Arrow 社会福利函数体系下并没有偏好强度的定义，但在 Arrow 体系中将个体偏好集结为社会偏好这一过程隐含了两个关于偏好强度的假设：1. 不同个体之间偏好强度相同；2. 同一个体对不同方案进行两两比较的偏好强度相同。假设 1 显然是合理的，它体现了投票人之间相对平等的关系，并且只有这样人际间的比较才有意义。然而假设 2 却是不合理的，它将导致个体偏好不满足传递性。两两比较的排序 BA f ，设想某个体对三个备选方案、A B 、C 的偏好排序是，它实际上包含三个。由于无关方案独立性条件，在 Arrow 社会福利函数体系下和 BA f 相矛盾。我们称这种矛盾 CA f 为偏好强度悖论：由于混淆了偏好排序中不同方案之间的偏好强度，导致偏好排序实际上不满足传递性。的偏好强度被认为是相同的。但是既然的偏好强度相同，结果应该是与 A B 无差异，这与 CB f 和和 CA f CBA ff BA f ， CB f CB f CA f 在以下内容中我们将证明偏好强度悖论是 Condorcet 悖论（或投票悖论）产生的原因，在放弃无关方案独立性条件的情况下，存在一种由个体偏好集结为社会偏好的社会福利函数，满足：1 理性条件，2 Pareto 准则，3 无约束域条件，4 非独裁性条件。在第三节中对投票人的策略投票行为的原因进行分析，指出偏好强度悖论、‘胜者全得’的投票规则、备选方案的不公平都是策略投票的原因，并证明了一种防策略投票的投票规则的存在性。一类有代表性的投票选举问题是对公共财富的分配，在第四节中提出一种公平的投票规则使这类选举获得公平结果。 2．偏好强度悖论令备选方案的集合表示为 X = , LCBA ,{ ，}, - 2 - N = ,3,2,1{ n }, L 表示个投票人的集 n

http://www.paper.edu.cn 合。偏好关系 P （强序）与 I （弱序）是定义在 X 上的二元关系，分别表示‘优于’关系和‘无差异’关系，用符号和~表示。例 1：在 Condorcet 投票规则下，三个投票人 x ，，对三种备选方案，票，他们的投票偏好如下： A B ，C 进行投 f y z Voters x y z Preference CBA ACB BAC ff f f ff （1）对备选方案两两比较，在两两比较中战胜所有对手的备选方案被称作 Condorcet 胜者。如果 Condorcet 胜者存在，它就是 Condorcet 规则下投票的胜者。在这个例子中，在和A B AB f 。但同样地，在 B 和的的比较中获胜，因为 B 获胜，在C 和的比较中获胜。这里明显地存在一个循环而无法选择出获胜的 BA f ，而只有认为y C x 和认为z A C A 比较中方案，这被称为多数票循环，或投票悖论。传递性是个体理性的必要条件。如果某人对三个方案的排序是 BA f 和 CB f ，那么，否则他的逻辑就无法合理地解释。但是投票悖论表明群体或社会他必然应当认为的选择不具有传递性的性质。 CA f 只有给定个体偏好的强度，偏好在个体间才能比较或叠加。除独裁的投票规则外几乎所有投票规则都对不同的个体偏好赋予相同的强度，这体现了投票人之间平等的关系。然而，当备选方案数多于两个时，同一投票人的偏好排序中也存在不同的偏好强度。在例 1 中，投票人 x 的偏好包括的偏好强度相 BA f 相矛盾。这种偏好强度悖论使 Condorcet 规则下的个体同，结果应该是 ~ 偏好实际上已经不满足传递性，因此群体偏好也将不满足传递性，这正是投票悖论产生的原因。 BA f ， A B ，这与，如果我们认为 CB f CB f CA f CA f 和和下面我们将证明在设定合理的偏好强度情况下，投票悖论将不会发生。在例 1 中，对于的偏好，如果设定 BA f 和投票人 x 的偏好强度为 2，这样三个投票人偏好集结的结果将是 CBA ff CB f 的偏好强度为 1，而 CBA ~ ~ CA f ，多数票循环没有发生。在个体偏好满足某些特定分布的情况下投票悖论没有产生，这是因为对偏好强度的混淆恰好相互抵消。例 2：在 Condorcet 规则下，对于三个备选方案，A B ，，两个投票人的偏好如下， C Voters x y Preference CBA ABC ff ff → Group Preference ~ CBA ~ （2）按 Condorcet 规则得出的社会偏好是，投票悖论并未产生。原因在于虽然每个投票人的偏好强度被混淆，但在人际偏好的比较过程中，相互矛盾的偏好强度恰好抵消。在两个备选方案的投票中，由于不涉及偏好传递性，因此不存在偏好强度悖论。但备选 CBA ~ ~ 方案多于两个时，在已往的任何投票规则下偏好强度悖论普遍存在于偏好集结函数中。简单 - 3 -

多数投票规则、Condorcet 规则等由于不考虑偏好强度，因此必然具有偏好强度悖论。Borda 规则虽然计入了偏好强度的影响，但是对弱序的处理存在缺陷。 http://www.paper.edu.cn Borda 规则（BR）是计算每个备选方案的 Borda 分，获得分数最高的方案获胜。计算 Borda 分的方法是将每个备选方案逐个地与其它方案比较，每获胜一次就获得 1 分。例如某 A B ，C 将分别获得 2、1、0 的 Borda 分。这个投票人的偏好排序是赋予 2 单位的偏好强度。 ff 各赋予 1 单位的偏好强度，而对 CA f 等价于对因此，用 BR 对个体偏好的强序集结将不会发生偏好强度悖论。 BA f 和 CBA ，方案， CB f 然而 BR 对弱序的处理存在缺陷。例 3：Borda 规则下，两个投票人对三种备选方案，A B ，C 的投票偏好如下： Voters x y Preference CBA ACB f ~ ~ f → Scores Borda =CBA : 1:1:2 : （3）在个体偏好强度相同的条件下，显然两个投票人偏好集结的结果应该是 CBA ~ ~ ， CBA ~f 然而按 BR 得到的结果是。如果某投票人的偏好中两个备选方案无差别，对于 BR 来说这两种方案都是不合意的，这相当于认为平局的双方都失败。因此在偏好中有弱序偏好的投票人在 BR 投票选举中将降低投票人对投票结果的影响。例如一个具有如果真实投票，那么他的投票对选举结果没有任何作用，或者说他投票与放弃投票具有相同的作用。为了避免这种结果，在偏好中具有弱序的投票人在 Borda 规则下有更多的策略投票的激励。 CBA ~ ~ 修正的 Borda 规则（MBR）可以避免偏好强度悖论。在 MBR 规则下如果一个备选方案 BA ~ ，方案和A B 将分别获得 0.5 A B ，C A B ，无差异于另一备选方案也将获得 0.5 分。因此对于排序 CBA 的 Borda 分。对例 3 如果采用 MBR，投票人 x 的偏好排序是 ~f ACB ~ 将分别获得 2、0.5、0.5 的 Borda 分；投票人的偏好排序是 f C CBA ~ 。将分别获得 0、1.5、1.5 的 Borda 分，因此投票结果是，这样方案，，方案， ~ y 采用 MBR 的投票选举将不存在偏好强度悖论，因此也不会产生投票悖论。很容易证明 MBR 满足除了无关方案独立性条件外的其它 Arrow 公理性条件：1 理性条件，即社会偏好如同个体偏好一样满足完备性和传递性。2 Pareto 准则，即当所有个体都认为一种社会状态优于另一种时，那么社会偏好即应如此认为。3 无约束域条件，即投票人的任何可能偏好排序都可以在投票中表示出来 4 非独裁性条件，即个体偏好的集结过程中不存在独裁者。。 Arrow 社会福利函数体系中的一个公理性假设是无关方案独立性（IIA）条件，即对任意两个社会状态的排序应仅取决于个体对这两个社会状态的排序，与其它社会状态的排序无关。如果从偏好强度的角度对 IIA 条件做分析，我们很容易地发现 IIA 条件混淆了偏好序列中不同方案之间的偏好强度，产生了偏好强度悖论。因此，IIA 条件与 SMV 规则导致同样的结果：社会偏好不满足传递性。在 Arrow 社会福利函数中投票人实际上是对备选方案的排序投票，而不是简单地对备选方案投票。虽然方案之间是无关的，但对方案的各种排序之间是相关的。这种相关性正是 - 4 -

http://www.paper.edu.cn 化。例如，假设某人对两个备选方案的排序是 BCA ff 方案，体现在偏好强度上。增加或减少备选方案将使每个投票人对不同备选方案的偏好强度发生变 BA f ，当增加一个备选方案C 后排序变成。虽然原来两个方案的排序不变，但它们之间的偏好强度将会变化。不妨假设 A B ，C 分别代表汉堡包、三明治、热狗三种食品。在不存在热狗时此人消费较多的汉堡包和较少的三明治，在出现热狗之后，他购买的三明治数量比以前减少了。因此消费 B 之的汉堡包和三明治数量的差距变得比原来更大。这表明方案的出现改变了方案，间的偏好强度。当减少备选方案时同样会改变余下方案之间的偏好强度。因此，IIA 条件是一个不适当的公理性假设。 C A 对于 n 个投票人的投票选举，如果其中对备选方案具有相同偏好次序的投票人共有 m 组，投票问题其实相当于个博弈方之间的博弈。具有相同或相似偏好排序的投票人倾向 m 于合作，而具有相反的偏好排序的投票人倾向于对立。一般来说，如果新增加的方案与某一原有方案较相似，会导致投票人对原方案的支持降低。如果新增加的方案与某一原有方案相反，则对原方案的偏好影响较小。因此增加或减少备选方案将对某些投票人有利，而对另一些投票人不利。例如，在美国总统选举中共和党和民主党各出一名候选人，如果新增加一名共和党候选人，可以想象原来共和党候选人的得票下降幅度会超过民主党候选人。另一个例子，假设市场上只有汉堡包和冰激凌两种商品，如果新增加了三明治这种商品，由于三明治与汉堡包的相似程度大，它很容易成为汉堡包的替代品，因此导致汉堡包的需求下降。而对冰激凌的需求影响相对要小。因此，如果忽略偏好强度，在 Arrow 体系下要对任意两个方案的社会偏好做比较，必须同时考虑其它方案的影响。相对多数投票（Plurality）规则是一种每人一票、获得选票数最多的备选方案胜出的投票规则。由于不满足无约束域条件它被排除在 Arrow 社会福利函数体系之外。投票人只用一票来选择最喜好的备选方案，因此在相对多数投票规则中不存在偏好排序的问题，也就不涉及偏好强度。因此这是一种避免偏好强度悖论的投票规则。比例代表制（PR）是用于多党制议会的选举制度。在这种体制下，每个党派按照它们在全民选举中的得票百分比得到国会中的席位。PR 与‘胜者独得’投票规则的不同之处在于对选举的收益是按比例分配。投票选举总是涉及利益的分配，在选举中取胜就意味着分配到更多的利益，而投票人是否喜好某个备选方案也是由它的收益决定的。我们这样定义对于一般投票问题的 PR 规则：按照每个备选方案得票数占总票数的比例分配选举的总收益。如无特殊说明本文以下内容中提到的比例代表制都是这种意思。下一节我们将在 PR 规则基础上发展一种防策略投票的投票规则。 3．策略投票投票人的策略投票行为与投票规则有关，在某些投票规则（如PR）下策略投票很少发生，在另一些投票规则（如BR）下策略投票发生的可能性较大[9，10]。在本节中我们将分析策略投票的原因，并探讨防止策略投票的方法。投票选举的过程可以表示为图 1 的形式。在个体选择阶段投票人以选票方式将自己的偏好表示出来，偏好集结过程将所有个体偏好集结为社会偏好，然后根据社会偏好确定一种予 - 5 -

个体选择偏好集结规则社会偏好的执行规则 http://www.paper.edu.cn 投票人 1 的偏好排序 1 的显示偏好投票人 2 的偏好排序 2 的显示偏好 … … 投票人 i 的偏好排序 i 的显示偏好 … … 投票人 n 的偏好排序 n 的显示偏好社会偏好社会状态图 1 投票选举的过程以执行的方案（或社会状态）。投票人在个体选择阶段是真实投票还是策略投票取决于整个投票过程的规则。根据对投票过程的划分，投票规则可以分为三个部分：产生备选方案的规则，个体偏好集结函数，对社会偏好的执行规则。其中对社会偏好的执行规则是指如何根据社会偏好选择一个得以执行的方案，它往往与个体偏好集结函数结合在一起。最普遍的对社会偏好的执行规则是所谓的‘胜者全得’，即在社会偏好排序中排在第一位的候选方案将成为唯一得到执行的方案。例如 Condorcet 规则的集结函数是对备选方案两两比较，如果某一备选方案在两两比较中优于其它任何方案，它就成为获胜者，同时它也成为将被执行的方案。与此相反， PR 的社会偏好的执行规则是根据社会偏好按比例地分配选举收益。接下来我们就来分析三个导致策略投票的原因。 3.1 产生备选方案的规则导致策略投票行为。怎样产生备选方案的问题以及它和策略投票行为的关系在以往的研究中常被忽视，但不公平的备选方案确实会导致策略投票行为。例 4：一个委员会有 10 名成员，他们将用 SMV 规则对一块空地的使用进行投票表决，目的是选择唯一的使用方案。现在假定以某种独裁方式提出了两个备选方案。方案：在空地 B ：在空地上建游泳池。委员会中的 5 名成员支持方案，3 名成员支持上建足球场；方案 A A 方案 B ，另外 2 名成员既不支持也不支持 A Preference B 。 Voters x )5( 人 y )3( 人 z )2( 人（4） BA AB BA f f ~ 如果所有成员都真实投票，社会偏好应该是 BA f 。但如果成员们的偏好是公开的， BA ~ ，使两种方案被推迟。容易验证在已有的任何一种投票规则下投票人都有策略投票的激励。导致这样结果的原因是产生备选方案的规则不公平。例那么投票结果将很可能是 z - 6 -

http://www.paper.edu.cn z 如，投票人可能最希望在空地上建网球场，但这种偏好无法通过投票显示出来，因此可能通过策略投票行为减少自己的损失。 z 3.2 偏好集结函数的缺陷导致策略投票行为。偏好集结函数的缺陷（如 SMV 或 Condorcet 规则导致的多数票循环，BR 对弱序的处理等）是导致策略投票行为的另一个原因。下面以三个备选方案的投票为例说明偏好集结函数怎样影响个人投票行为。在三个备选方案的情况下，投票人对方案的排序总共有 13 种可能，我们把这些可能的排序表示为图 2。图 2 既是投票人偏好的集合，也是作为个体偏好集结结果的社会偏好的集合。在发生偏好强度悖论的情况下，社会偏好将不满足传递性，偏好集结的结果将超出图 2 的排序范围。在这种情况下，一方面投票人真实投票的结果变得不可预测，另一方面具有某些特定偏好排序的投票人可能处于独裁或寡头的位置。 A>B>C A~B>C A>B~C B>A>C A>C>B B>A~C A~B~C A~C>B B>C>A C>A>B B~C>A C>A~B C>B>A 图 2 三个备选方案的全部排序. 3.3 对社会偏好的执行规则导致策略投票行为。最普遍的对社会偏好的执行规则是选择唯一的获胜者，获胜的候选人（或备选方案）独占全部选举收益。这种‘胜者全得’的投票规则是对社会偏好的一种扭曲，它使社会偏好中除获胜者以外的备选方案的排序变得没有意义。例如，在对三个备选方案，A B 和C 的投 CBA 票选举中，如果最后胜出，则实际社会偏好是或变得没有差别。我们用图 3 表示从三个备选方案中选出唯一获胜者的社会偏好集合。与图 1 B 和C 每个投票人都认相比它的可能社会状态缩小为 7 种。假设对于全部备选方案之中的 A 为。但如果最后始终是胜出，那么社会偏好中 B 排在前面的激励。这是导致策略投 CB f 票的又一原因。的排序变得没有意义，投票人也就失去了把，这样社会偏好中也应该有 CBA ff CB f CB f - 7 - 或是 BCA f f ~f A C

http://www.paper.edu.cn A~B>C A 获胜 (A>B~C,A>B >C,A>C>B) B 获胜 (B>A~C,B>A >C,B>C>A) A~B~C A~C>B B~C>A C 获胜 (C>A~B,C>A >B,C>B>A) 图 3 从三个备选方案中选出唯一获胜者的全部社会偏好排序. 比例代表制（PR）是一种避免偏好强度悖论的投票规则，并且它对社会偏好的执行规则不是‘胜者全得’，在备选方案适当的情况下它将是防策略投票的。在第二节中我们已经讨论了备选方案之间相关性的问题，如何选择备选方案不仅关系到选举的公平性也对策略投票行为的发生有重要影响。对于例 4 中两个备选方案的投票问题， BA ~ 偏好的投票人仍然可能寻求策略投票，因为他所期望的方案即使采用 PR 规则，具有并不在备选方案之中。以下的定理表明：如果每个投票人最喜好的方案都在备选方案集合中，采用 PR 规则可以避免策略投票行为。定理 1：如果对备选方案不加限制，一人一票的比例代表制是防策略投票的。证明：如果一个投票规则使每个投票人在真实投票的情况下取得最大收益，这样投票人就没有采用策略投票的激励，这种投票规则必然是防策略投票的。因此，只需要证明 PR 规则下任何投票人在真实投票的情况下取得最大收益。对于个投票人、采用 PR 规则的投票选举，设选举总收益为U 。首先我们将证明任何 n 投票人至少可以取得 U n 的收益。既然对备选方案没有限制，任意一个投票人i （ i ∈ n ）总可以提出一个方案，并使该方案获得至少一票。因此，只要i 提出一个对自己完全有利的备选方案并投票给此方案，就至少可以分配到 U n 的收益。接下来我们将证明投票人i 只能从他投票支持的备选方案中取得收益。设最喜好的备 i 选方案是 j （这意味着从方案 i 的收益）。假设i 投票给备选方案 j ，而且 U j 中至少获得 n 0>∆U 从备选方案 k 获得收益 U∆ （）。这时i 获得的选举收益至少为 U n ∆+ U 。在这种 U 情况下至少有一个投票人的收益少于 n 的备选方案中取得收益。，这表明假设错误，因此投票人只能从他投票支持 - 8 -

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