2008年江西高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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准考证号姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前 2008 年江西高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 l 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分．考生注意：第Ⅰ卷 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)＝P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么球的表面积公式 S＝4πR2 其中 R 表示球的半径球的体积公式 V＝ 4 3 πR3 n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率其中 R 表示球的半径 Pn(k)＝Ck n Pk (1 一 P) kn 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．  1．在复平面内，复数 sin 2 A．第一象限 2．定义集合运算： A B    | z z  所有元素之和为 i z B．第二象限  cos 2 对应的点位于 C．第三象限   , xy x A y B  ．设 , D．第四象限     0,2 1,2 , B   A ，则集合 A B 的 A．0 B．2 C．3 D．6 3．若函数 y  ( ) f x 的值域是    1 ,3   2  10 3 ] ，则函数  F x    f x   C．[ 5 2 ， 10 3 ] 1 ( ) f x 的值域是 D．[3， 10 3 ] A．[ 1 2 ，3] B．[2， 4． x  lim1 1 2 A． 2 x 3  1 x  ＝ B．0 C．－ 1 2 D．不存在 all`试题 1

5．在数列 na 中， 1 a  2, a n 1   a n   ln 1   1 n    ，则 na ＝ A． 2 ln n  B．   2 n   1 ln n C． 2  lnn n D．1   n ln n 6．函数 y  tan x  sin x  tan x  sin x 在区间(  2 ， 3 2 )内的图象大致是 A B C D 7．已知 1 F F、是椭圆的两个焦点．满足 1MF · 2MF ＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率 2 的取值范围是 A．(0，1) B．(0， 1 2 ] C．(0， 2 2 ) D．[ 2 2 ，1) 8．(1＋ 3 x )6(1＋ 1 x 4 )10 展开式中的常数项为 A．1 B．46 C．4245 D．4246 9．若 0  a 1  a 2 ,0  b 1 a  ，且 1 b 2  a 2  b 1  b 2  ，则下列代数式中值最大的是 1 a b A． 1 1 a b 2 2 a a B． 1 2 b b 1 2 a b C． 1 2 a b 2 1 D． 1 2 10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 、 4 3 ，M、N 分别为 AB、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦 AB、CD 可能相交于点 M ③MN 的最大值为 5 其中真命题的个数为 A．1 个 B．2 个 ②弦 AB、CD 可能相交于点 N ④MN 的最小值为 l C．3 个 D．4 个 11．电子钟一天显示的时间是从 00∶00 到 23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 A． 1 180 B． 12．已知函数  f x   2 2 mx 1 288  2 4  C． 1 360   g x mx   m x  1, D． 1 480  ，若对于任一实数 x ，  f x 与  g x 的   all`试题 2

值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是 A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0) 绝密★启用前注意事项：第Ⅱ卷第Ⅱ卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．请把答案填在答题卡上． 13．直角坐标平面内三点  A 3, 2 、，若 E F、为线段 BC 的三等分点，则  9,7 C 、 1,2    B  AE · AF ＝． 14．不等式 x 13  x 2 ≤ 1 2 的解集为． 15．过抛物线 2 x  2  py p  的焦点 F作倾斜角为 30°的直线，与抛物线分别交于 A、B两点(点 0  A在 y轴左侧)，则 AF FB ＝． 16．如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点 P (图 2)．有下列四个命题： A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P D．若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）在△ABC中．a、b、c分别为角 A、B、C所对的边长， a＝2 3 ，tan BA  2 ＋tan C 2 ＝4，sin B sin C＝cos2 A 2 ．求 A、B及 b、c． 18．（本小题满分 12 分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、 0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令  1,2 表示 i  i all`试题 3

方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）写出ξ1、ξ2 的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大? （3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为 10 万元、15 万元、20 万元．问实施哪种方案的平均利润更大? 19．（本小题满分 12 分）等差数列 na 各项均为正整数， 1 a  ，前 n 项和为 nS ，等比数列 nb 中， 1 1 b  ，且 3 b S  ， nb 是公比为 64 的等比数列． 64 2 2 （1）求 na 与 nb ；（2）证明： 1 S 1 ＋ 1 S 2 ＋……＋ 1 nS ＜ 3 4 ．  的三条侧棱OA OB OC 20．（本小题满分 12 分）正三棱锥O ABC 、、两两垂直，且长度均为2． E F、分别是 AB AC、的中点， H 是 EF 的中点，过 EF 的一个平面与侧棱 OA OB OC 、、或其延长线分别相交于 1 A B C、、，已 1 1 OA  ．知 1 3 2 （1）证明： 1 1B C  平面 OAH ；（2）求二面角 O A B C 1  的大小． 1 1  21．（本小题满分 12 分）设点  P x y 在直线 ,  0 0  x m y    m ,0  m  1  上，过点 P 作双曲线 2 x 2 y  的两条切线 1 PA PB、，切点为 A B、，定点 M ( 1 m ，0)． all`试题 4

（1）过点 A 作直线 x y  的垂线，垂足为 N ，试求△ AMN 的重心G 所在的曲线方程； 0 （2）求证： A M B、、三点共线． 22．（本小题满分 14 分）  f x ＝已知函数  1 x1 （1）当 8a  时，求   f x 的单调区间；＋ 1 a1 ＋ ax 8ax ，x∈(0，＋∞)．（2）对任意正数 a ，证明： 1   f x   ． 2 参考答案一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。题号答案 1 D 2 D 3 B 4 A 5 A 6 D 7 C 8 D 9 A 10 C 11 C 12 B 1． D .因sin 2 0,cos 2 0  所以 sin 2   z  i cos 2 对应的点在第四象限， 2． D .因 * A B  {0,2,4} ， 3． B .令 t  ( ) f x ，则 t  ,3] ， ( ) F x    t 4． A . lim 1 x  x 3 2   1 x   lim 1 x  x ( 3 2)(   1)( x x  x    1)( x x    3 2) 1) 1[ 2 ( 10 3 ] [2, 1 t 3 2)( ( x x   1)( 1)( x 1) x  3 2)   ( = lim 1 x  1 2 = 5. A . a 2 a 1   a n a 1  ln(  ln(1 1 ) 1 2 3 4 ) )( )( 1 2 3 a a  ， 3 n  ) 1  n (  ln(1 2  ，…， ) 1 2 a n a  1 n  ln(1  1  ) 1 n   2 ln n 6．D. 函数 y  tan x  sin x  tan x  sin x     2 tan , x 2sin , x 当当 tan tan x x   sin sin x 时 x 时 7． C .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则 all`试题 c b    c 2 2 b  2 a 2    c e 2 1 2 5

又 (0,1) e  ,所以 e  8． D . 常数项为 1  9. A. a a 1 2  b b 1 2  ( ) 1(0, 2 4 3 C C 10 6 a a 1  2 a b 2 1  2 ) 6 6 8 C C 10 b 1 2  (  4246 b 2 2 )   2 ) a b 2 1 1 2  a b 1 1  a b 2 2  ( a b 1 2  )  ( a 1   ( a 1 ) a b 2 2  ( a 2  )( a b 1 2  b 1 ) 0  a b 1 1  a b 2 2  ( a b 1 2  a b 2 1 ) 1 (  a 1  a 2 )( b 1  b 2 )  a b 1 1  a b 2 2  a b 1 1  a b 2 1  2( a b 1 2  a b 2 2 ) 1 2  a b 2 2 a b 1 1 10．C . 解：①③④正确，②错误。易求得 M 、N 到球心O 的距离分别为 3、2，若两弦交于 N ，则OM ⊥ MN ，Rt OMN ，矛盾。当 M 、O 、 N 共线时分别取最大值 5 最小值 1。中，有OM ON  11. C . 一天显示的时间总共有 24 60 1440 12． B . 解：当   0m  时，显然不成立 b 2 a  时只要   当 m 4  0 4    m  2 4(4 当 0m  时，因 (0) 1 0 f  2  b 2 a 8m  当  即 4 种,和为 23 总共有 4 种,故所求概率为 1 360 .  即 0 0 4m  时结论显然成立；  2 ) m  8 m  4( m  8)( m  2) 0  即可  8m 则 0 二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 13. 22 14.(    , 3] (0,1] 13. 由已知得 (5,1), E F (7,4) ,则   AE AF  15. 1 3   (4, 1) (6, 2)   22 16. B、D  1 )       x 1 1 3 x 2 x  2 x x  3  0       , 3] 0 x ( (0,1]  ( 1 2 1) x 3 1   x x  3)( x ) ( 1 2 x  14． ( 15. 1 3 16．解：真命题的代号是： BD 。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故 D 正确，于是 A 错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点 P，故 B 正确；C 的错误可由图 1 中容器位置向右边倾斜一些可推知点 P 将露出水面。三. 解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 all`试题 6

17.解：由 tan A B  2  tan C 2  得cot 4 C 2  tan C 2  4  4 ∴ 1 cos C 2 C 2 sin  4 cos ∴ sin ∴ sin ∴ C   sin C C 2 2 C C 2 2 C  ，又 cos 1 2 ，或 C  6 B )  (0, C 5  6 sin 由 2sin cos C  A 得 2sin cos B B  sin( B C  ) 即sin( B C ) 0  ∴ B C B C   A   由正弦定理 (  6 B C a sin  )  2  3 b sin B  A b   c a sin sin B A  2 3  c sin C 得  2  1 2 3 2 18.解：（1） 1 的所有取值为 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 、、、、 2 的所有取值为 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 、、、、 , 1 、 2 的分布列分别为： 1 P 2 P 0.8 0.2 0.8 0.3 0.9 1.0 1.125 1.25 0.15 0.35 0.15 0.15 0.96 1.0 0.2 0.18 1.2 0.24 1.44 0.08 （2）令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， ( P A  ) 0.15 0.15 0.3   , ( P B  ) 0.24 0.08 0.32   all`试题 7

可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大（3）令 i表示方案i 所带来的效益，则 1 P 2 P 10 0.35 10 0.5 15 0.35 15 0.18 20 0.3 20 0.32 E  所以 1  14.75, E  2  14.1 可见，方案一所带来的平均效益更大。 19．解：（1）设{ }na 的公差为 d ，{ }nb 的公比为 q ，则 d 为正整数， na 3 (   n 1)  ， d nb  1n q  依题意有 1  b a n b a n       q S b 2 2 nd 3  q 3 ( n    d q  64  6 2 d ① 1)  (6  ) d q  64 由 (6  ) d q  知 q 为正有理数，故 d 为 6 的因子1,2,3,6 之一， 64 解①得 d 2, q  8 故 a n   3 2( n 1)   2 n  1, b n 1   8 n （2） nS    3 5   (2 n 1)   ( n n  2)     (1       ∴   1 S 1 1 2 1 2 1 S 2 1 3 1 2 (1    n 1 S 1 4   1 1 3  1 1 3 5 1 )  2 n   3 4 1 2 1  1 n  1 2 4  1 n      1 ( n n  2) ) 1 3 5  1  2 n 20．解：（1）证明：依题设，EF 是 ABC ∥ BC ，则 EF ∥平面OBC ，所以 EF ∥ 1 1B C 。的中位线，所以 EF O 又 H 是 EF 的中点，所以 AH ⊥ EF ，则 AH ⊥ 1 1B C 。 all`试题 A 1 A H N E M F C C 1 8 B B 1

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