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2015年全国Ⅰ卷高考文科数学试题及答案.doc
2015 年全国Ⅰ卷高考文科数学试题及答案
一、选择题：每小题 5 分,共 60 分
1、已知集合 {
A
x x
3
n
2,
n N B
},
{6,8,10,12,14}
，则集合 A B 中的元素个数为（ ）.
（A） 5
（B）4
（C）3
（D）2
【答案】D
【难度】容易
【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第一章《集
合》中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有
对集合相关知识的总结讲解.
2、已知点 (0,1),
A
B
(3,2)
，向量
AC
( 4, 3)
，则向量 BC
（ ）.
（A） ( 7, 4)
（B） (7,4)
（C） ( 1,4)
（D） (1,4)
【答案】A
【难度】容易
【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第六章《平面向量》有详细
讲解，其中第 01 讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对向量相关知
识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角形综合类型题目的讲解。
3、已知复数 z 满足 (
z
1)
i
1
，则 z （ ）.
i
（A） 2 i
（B） 2 i
（C） 2 i
（D） 2 i
【答案】C
【难度】容易
【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其
中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结
讲解。
4、如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3
个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）.
（A）
3
10
（B）
1
5
（C）
1
10
（D）
1
20
【答案】C
【难度】容易
【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中
第 04 讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有
对概率相关知识的总结讲解。
5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为
的准线与 E 的两个交点，则 AB （ ）.
1
2
，E 的右焦点与抛物线
C y
:
2
x 的焦点重合， ,A B 是 C
8
（A） 3
（B） 6
（C）9
（D）12
【答案】B
【难度】容易
【点评】本题考查椭圆与抛物线的基本性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章《圆锥曲线
与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线
相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对抛物线的专题讲解。
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今
有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在
屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为
8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知 1 斛米的体
积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有（ ）.
（A）14 斛 （B） 22 斛 （C）36 斛 （D） 66 斛
【答案】B
【难度】中等
【点评】本题考查圆锥体积的计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第四章《立体几何》有详细
讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。
7、已知{ }na 是公差为 1 的等差数列， nS 为{ }na 的前 n 项和，若 8
S
44
S
，则 10a （ ）.
（A）
17
2
【答案】B
（B）
19
2
（C）10
（D）12
【难度】容易
【点评】本题考查等差数列的性质及公式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《数列》有详
细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。
8、函数 ( )
f x
cos(
)
x
的部分图像如图所示，则 ( )
f x 的单调递减区间为（ ）.
（A）
(
k
k
（B）
（C）
(2
(
k
（D）
(2
k
,2
1
4
k
1
4
,
1
4
k Z
,
1
4
k
),
3
4
,2
k
3
4
),
k Z
3
4
),
k Z
3
4
k Z
),
k
【答案】D
【难度】容易
【点评】本题考查三角函数的性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章《三角函数》中有详
细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。
9、执行右面的程序框图，如果输入的 0.01
（A） 5
（B） 6
t
（C）10
，则输出的 n （ ）.
（D）12
【答案】C
【难度】容易
【点评】本题考查程序图。在高二数学（文）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中
第 02 讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。
，且 ( )
f a ，则 (6
3
f
a
)
（ ）.
10、已知函数
( )
f x
1
x
2
2,
log (
x
2
1
x
1),
x
1
（A）
（B）
（C）
（D）
4
7
5
4
3
4
1
4
【答案】A
【难度】较难
【点评】本题考查分段函数求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章《函数》有详细讲解，
在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
第 II 卷
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯
视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20
，则 r＝（ ）.
（A）1
（B） 2
（C） 4
（D）8
【答案】B
【难度】中等
【点评】本题考查几何体的三视图及其计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《几何体的
直观图与三视图》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解，
有几乎一致的题目解析。
12、设函数
y
（A） 1
( )
f x
y
的图像与 2x a
（B）1
的图像关于直线 y
x 对称，且 ( 2)
f
f
( 4) 1
，则 a＝（ ）.
（C） 2
（D） 4
【答案】C
【难度】中等
【点评】本题考查函数图像关于直线对称。在高一数学（文）强化提高班下学期，第一章《函数》有详细
讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分
13、数列 na 中 1
a
2 ,
a S
n
2,
a
n
1
为 na 的前 n项和，若
n
nS
126
，则 n
.
【答案】6
【难度】容易
【点评】本题考查等比数列的性质与计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章《数列》有详
细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。
14.已知函数
f x
3
ax
【答案】1
的图像在点
x
1
1,
1f
的处的切线过点
2,7 ，则 a
.
【难度】容易
【点评】本题考查函数切线的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章《函数》有详
细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
x
x
2
x
2 0
y
2
1 0
y
2 0
y
15. 若 x,y满足约束条件
【答案】4
,则 z＝3x＋y的最大值为
．
【难度】中等
【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学（文）上学期讲座 2，第五章《不等式》有详细讲解。在高
考精品班数学（文）强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。
16.已知 P 是双曲线
C x
:
2
的右焦点，P是 C左支上一点，
1
A
0,6 6
，当 APF
周长最小时，该
2
y
8
三角形的面积为
．
【答案】12 6
【难度】较难
【点评】本题考察双曲线的性质及计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章《圆锥曲线与方
程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关
知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对椭圆的专题讲解。
三、解答题
17. （本小题满分 12 分）已知 ,
,a b c 分别是 ABC
内角 ,
,A B C 的对边， 2
sin
B
2sin sin
A
C
.
（I）若 a
b ，求 cos
;B
（II）若
B
90
，且
a
2,
求 ABC
的面积.
【答案】（I）由题设及正弦定理可得 2b
ac
.
又 a＝b，可得 b＝2c,a＝2c.
由余弦定理可得
cos
B
2
a
2
b
2
c
2
ac
1
4
.
（II）由（I）知 2b
ac
.
因为 B＝90°，由勾股定理得 2
a
2
c
2
b
.
故 2
a
2
c
2
ac
，得
c
a
2
.
所以，△ABC 的面积为 1.
【难度】容易
【点评】本题考查三角函数的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章《三角函数》
中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。
18. （本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD为菱形，G为 AC与 BD交点， BE
平面
ABCD
，
（I）证明：平面 AEC 平面 BED ；
（II）若
ABC
120
，
AE EC
,
三棱锥 E ACD
的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积.
【答案】（I）因为四边形 ABCD 为菱形，所以，AC⊥BD.
因为 BE⊥平面 ABCD，所以，AC⊥BE.故 AC⊥平面 BED.
又 AC 平面 AEC，所以，平面 AEC⊥平面 BED.
(II)设 AB＝x,在菱形 ABCD 中，由 ABC＝120°，可得
AG GC
3 ,
x GB GD
2
x
2
.
因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中，可得
EG
3
2
x
.
由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，可得
BE
2 .
x
2
由
EG
3
2
x
已知得，三棱锥 E－ACD 的体积
V
E ACD
1 1
3 2
故 x＝2.
从而可得
AE EC ED
6
.
AC GD BE
6
24
3
x
6 .
3
所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5 .
故三棱锥 E－ACD 的侧面积为3 2 5.
【难度】较难
【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及立体几何的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程
讲座 2，第四章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几
何相关知识的总结讲解。
19. （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）
对年销售量（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 ix ，和年销售量
的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
iy i
1,2,3,
,8
（I）根据散点图可以判断， y
与 y
a bx
c d x
，哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x的回归
方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y关于 x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 0.2
z
y
，根据（II）的结果回答下列问题：
x
（i）当年宣传费 90
（ii）当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
x 时，年销售量及年利润的预报值时多少？
【答案】（I）由散点图可以判断， y
c d x
适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。
（II）令 w
x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于
8
i
1
d
(
)(
w w y
i
i
y
)
8
i
1
(
)
w w
i
2
108.8
1.6
68
ˆ
y dw
ˆ
c
563 68 6.8 100.6,
所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ˆ 100.6 68 ,
w
y
因此 y 关于 x 的回归方程为 ˆ 100.6 68
y
x
.
（III）(i)由（II）知，当 x＝49 时，年销售量 y 的预报值
ˆ 100.6 68 49=576.6,
y
年利润 z 的预报值
ˆ
z
576.6 0.2 49 66.32,
（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值
ˆ
z
0.2(100.6 68
x
)
x
x
13.6
x
20.12
所以，当
x
13.6
2
，即 x＝46.24 时， ˆz 取得最大值。
6.8
故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。
【难度】较难
【点评】本题考查函数的相关计算求解。在高二数学（文）下学期，第五章《统计》第 01 讲，统计案例中
有详细讲解。
20. （本小题满分 12 分）已知过点
1,0A
且斜率为 k的直线 l与圆 C：
x
2
2
y
2
3
交于 M，N
1
两点.
（I）求 k的取值范围；
（II）
OM ON
12
，其中 O为坐标原点，求 MN .
【答案】（I）由题设，可知直线 l 的方程为 y＝kl＋1.
因为 l 与 C 交于两点，所以，
| 2
3 1| 1
k
2
1
k
解得
7
4
3
k
7
4
3
所以 k 的取值范围为
4
(
3
7 4
,
3
7
)
.
（II）设 M(x1,y1),N(x2,y2).
将 y＝kx＋1 代入方程
(
x
2
2)
(
y
2
3)
1
，整理得
(1
k
2
2
)
x
4(1
x
所以， 1
x
2
0
7
)
)
k x
4(1
1
k
k
2
,
x x
1 2
7
k
2
1
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