2009年甘肃高考文科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年甘肃高考文科数学试题及答案第Ⅰ卷（选择题）本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件 A B，互斥，那么 ( P A B  )  ( ) P A  ( P B ) 球的表面积公式 S  2 4π R 如果事件 A B，相互独立，那么其中 R 表示球的半径 ( P A B  )  ( ( P A P B )  ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么球的体积公式 V  3 4 π R 3 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径 ( ) P k n  k C P k n (1  P ) n k  ( k  0 1,2 n ，，， ) 一、选择题（1）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则 ( U M N ð ) = (A) {5，7} （B） {2，4} （C）{2.4.8} （D）{1，3，5，6，7} （2）函数 y= x (x  0)的反函数是（A） y 2 x （x  0）（B） y x  （x  0） 2 2 （B） y x （x 0） x x log   （A）关于原点对称 2 2  2 （3）函数 y 的图像（C）关于 y 轴对称（4）已知△ABC中， cot (A) 12 13 (B) （5）已知正四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 1CD 所形成角的余弦值为（D） y x  （x 0） 2 （B）关于主线 y （D）关于直线 y x  对称 x 对称 A   ，则 cos A  12 5 5 13 (C)  5 13 (D)  12 13 中， 1AA = 2AB ，E 为 1AA 中点，则异面直线 BE 与

（A） 10 10 (B) 1 5 (C) 3 10 10 (D) 3 5 （6）已知向量 a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= 5 2 ，则︱b ︱= （A） 5 （B） 10 （C）5 （D）25 （7）设 a  lg , e b  2 (lg ) , e c  lg e , 则（A） a   b c （B） a   c b （C） c   a b （D） c   b a （8）双曲线 2 x 6 2  y 3  1 的渐近线与圆 ( x  2 )3  2 y  2 r ( r  )0 相切，则 r= （A） 3 （B）2 （C）3 （D）6 （ 9 ）若将函数 y  tan( x   )(   4 )0 的图像向右平移  6 个单位长度后，与函数 tan(   x  ) 6 y  (A) 1 6 的图像重合，则的最小值为 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 1 2 （10）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有（A）6 种（B）12 种（C）24 种（D）30 种（11）已知直线 y  ( xk  )(2 k  )0 与抛物线 C: y 若 FA 2 FB ,则 k= 2  相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。 8 x (A) 1 3 (B) 2 3 (C) 2 3 (D) 22 3 （12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是（A）南（B）北（C）西（D）下 △ 上东

本卷共 10 小题，共 90 分。第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上. （13）设等比数列{ na }的前 n 项和为 ns 。若 a 1  ,1 s 6  4 s 3 ，则 4a = × （14） ( yx  xy 4) 的展开式中 3 3 yx 的系数为 × （15）已知圆 O： 2 x 2  y  5 和点 A（1，2），则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 × （16）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于 7 4 ，则球 O 的表面积等于 × 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。（17）（本小题满分 10 分）已知等差数列{ na }中， aa 3 7  ,16 a 4  a 6  ,0 求{ na }前 n 项和 nS （18）（本小题满分 12 分）设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c， cos( CA  )  cos B  3 2 , b 2 ac ，求 B. （19）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC A B C 1 1 1  中， AB AC DE ⊥平面 BCC 1 （Ⅰ）证明： AB AC ， D E、分别为 1 AA B C、的中点， 1 （Ⅱ）设二面角 A BD C   为 60°,求 1B C 与平面 BCD 所成的角的大小 A1 C1 B1 D E

（20）（本小题满分 12 分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。（21）（本小题满分 12 分）设函数 ( ) f x  1 3 3 x (1   ) a x 2  4 ax  24 a ，其中常数 1a  (Ⅰ)讨论 ( ) f x 的单调性; (Ⅱ)若当 x ≥0 时， ( ) 0 f x  恒成立，求 a 的取值范围。（22）（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的离心率为 0) b 3 3 ，过右焦点 F 的直线l 与C 相交于

A 、 B 两点，当l 的斜率为 1 是，坐标原点O 到l 的距离为 2 2 （Ⅰ）求 ,a b 的值；  （Ⅱ）C 上是否存在点 P ，使得当l 绕 F 转到某一位置时，有OP OA OB     成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

2009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案和评分参考一．选择题（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二．填空题（13）3 （14）6 （15） 25 4 （16）8π 三．解答题 17．解：设 na 的公差为 d ，则    2 6 a a d d     1 1  3 5 a a d d      1 1   0 16 即  12 d 2   16    2 a 1 a 1 8 da  1 4 d   解得 8, a 1 d      2,  或 a 1 d    8  2   因此 S n    8 n n n   1    n n  9  S ，或 n   8 n n n  1      n n  9  （18）解：由 cos( A C  ) cos   及   ( A C  得 ) B 3 2 A C  B 3 2 (cos cos( A C  ) cos(  )  cos A cos C  sin sin A C  C  A sin sin 3 4 又由 2b ac 及正弦定理得 2 sin B  sin sin , C A A cos C  sin sin ) C A  3 2

故 2 sin B  ， 3 4 3 2 sin B  或 sin B   （舍去）， 3 2 于是 B 又由 2b .  B  或  3 2  3 ac 知 a b  或 b  c 所以 B   3 （19）解法一：（Ⅰ）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF 1 2 1B B ，从而 EF DA。连接 AF，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF//DE。又 DE⊥平面 BCC ，故 AF⊥平面 1 BCC ， 1 从而 AF⊥BC，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC。（Ⅱ）作 AG⊥BD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD，故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的平面角。由题设知，∠AGC=600. 设 AC=2，则 AG= 2 3 。又 AB=2，BC= 2 2 ，故 AF= 2 。由 AB AD AG BD  得 2AD=   2 . 3 2 AD  ，解得 AD= 2 。 2 2 故 AD=AF。又 AD⊥AF，所以四边形 ADEF 为正方形。因为 BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故 BC⊥平面 DEF，因此平面 BCD⊥平面 DEF。

连接 AE、DF，设 AE∩DF=H，则 EH⊥DF，EH⊥平面 BCD。连接 CH，则∠ECH 为 1B C 与平面 BCD 所成的角。 1 2 因 ADEF 为正方形，AD= 2 ，故 EH=1，又 EC= B C =2， 1 所以∠ECH=300，即 1B C 与平面 BCD 所成的角为 300. 解法二：（Ⅰ）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 A—xyz。设 B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c）， 1 2 b ， 2  ，0）， BC 则 1B （1，0，2c）,E（ =（ 1 2 ， b 2  于是 DE   DE BC  =0，求得 b=1，，c）. =（-1，b,0）.由 DE⊥平面 BCC 知 DE⊥BC， 1 所以 AB=AC。（Ⅱ）设平面 BCD 的法向量  AN  ( , , ), x y z 则   AN BC    AN BD   0,  0  BC 又   ( 1,1,0),  BD   ( 1,0, ) c 故 0 y x       0 x cz   令 1x  , 则 u  1, z  又平面 ABD 的法向量  AN 1 , c  AC   (1,1, 1 c ) (0,1,0) 由二面角 A  BD  C 为 60°知， AN， =60°， AC 故于是    AN AC AN |    AC |  | | cos60   ，求得 c  1 2  CB  1   AN CB   1 AN CB 1   | | (1 1 2  ，，） 1 2  | ，  AN  （，，）， 11 2   AN CB 1 ， cos  |   AN CB  1 ,  60

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