2019 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数 学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页;非选择题部
分 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考生注意:
1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题
卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,
在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式:
若事件 A,B 互斥,则 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
柱体的体积公式V Sh
若事件 A,B 相互独立,则 (
P AB
)
(
(
P A P B
)
)
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的
若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,则 n
次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
高
锥体的体积公式 1
3
V
Sh
(
k
0,1,2,
, )
n
其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的
率 ( ) C
P k
n
k
n
k
p
(1
p
台体的体积公式
V
n k
)
1 (
3
S
1
S S
1 2
)
S h
2
高
其中 1
2
,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表
示台体的高
球的表面积公式
S
4
R
2
球的体积公式
V
R
4
3
3
其中 R 表示球的半径
选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.已知全集
U
1,0,1,2,3
,集合
A
0,1,2
B
1,0,1
,
,则 U A Bð
=
A. 1
B.
0,1
C.
1,2,3
D.
1,0,1,3
2.渐近线方程为 x±y=0 的双曲线的离心率是
A. 2
2
C. 2
B.1
D.2
3.若实数 x,y 满足约束条件
3
y
x
3
x
y
y
x
4 0
4 0
0
,则 z=3x+2y 的最大值是
A. 1
C.10
B.1
D.12
4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,
利用该原理可以得到柱体体积公式 V 柱体=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某
柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是
A.158
C.182
B.162
D.32
5.若 a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.在同一直角坐标系中,函数 y = 1
xa
,y=loga(x+ 1
2
),(a>0 且 a≠0)的图像可能是
7.设 0<a<1,则随机变量 X 的分布列是
则当 a 在(0,1)内增大时
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
8.设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱 VA 上的点(不含端点),记
直线 PB 与直线 AC 所成角为α,直线 PB 与平面 ABC 所成角为β,二面角 P-AC-B 的平面
角为γ,则
A.β<γ,α<γ
C.β<α,γ<α
9.已知 ,a bR ,函数
( )
f x
有三个零点,则
A.a<-1,b<0
C.a>-1,b>0
,
x x
1
3
x
3
B.β<α,β<γ
D.α<β,γ<β
0
1 (
2
a
1)
x
2
,
ax x
0
,若函数
y
( )
f x
ax b
恰
B.a<-1,b>0
D.a>-1,b<0
10.设 a,b∈R,数列{an}中 an=a,an+1=an2+b,b
A.当 b= 1
2
,a10>10
C.当 b=-2,a10>10
N ,则
B.当 b= 1
4
,a10>10
D.当 b=-4,a10>10
非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。
11.复数
z
1
1 i
(i 为虚数单位),则|
|z =___________.
12. 已 知 圆 C 的 圆 心 坐 标 是 (0,
)m , 半 径 长 是 r . 若 直 线 2
x
y 与 圆 相 切 于 点
3 0
( 2, 1)
A ,则 m =_____, r =______.
13.在二项式
( 2
9
)x 的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是
_______.
14.在 ABC△
中,
ABC
90
则 BD ____, cos ABD
,
4
AB ,
________.
BC ,点 D 在线段 AC 上,若
3
BDC
45
,
15.已知椭圆
2
x
9
2
y
5
的左焦点为 F ,点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方,若线段 PF 的中
1
点在以原点O 为圆心, OF 为半径的圆上,则直线 PF 的斜率是_______.
16.已知 a R ,函数
( )
f x
3
ax
,若存在t R ,使得
x
|
f
(
t
2)
f
a 的最大值是____.
( ) |
t
,则实数
2
3
17 . 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 , 当 每 个 (
i i
1,2,3,4,5,6)
取 遍 1 时 ,
AB
1
|
BC
CD
3
2
DA
AC
5
4
BD
|
6
的 最 小 值 是 ________ , 最 大 值 是
_______.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本小题满分 14 分)设函数 ( )
f x
sin ,
x x
R .
(1)已知 [0,2 ),
函数 (
f x 是偶函数,求的值;
)
(2)求函数
y
[
(
f x
12
2
)]
[
(
f x
2
)]
的值域.
4
19. ( 本 小 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 已 知 三 棱 柱
ABC A B C
1 1
1
, 平 面 1
A AC C 平 面
1
ABC ,
ABC
90
,
BAC
30 ,
(1)证明: EF
BC
;
A A AC AC E F
1
1
,
,
分别是 AC,A1B1 的中点.
(2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.
20.(本小题满分 15 分)设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS , 3
a , 4
a
4
S ,数列{ }nb 满
3
足:对每个
n
N
,
S
,
b S
n
n
n
1
,
b S
n
n
2
b
n
成等比数列.
(1)求数列{ },{ }
b 的通项公式;
n
a
n
(2)记
C
n
a
n
2
b
n
,
n
N 证明: 1
C C
,
2+
C
n
2
,
n n
N
.
21.(本小题满分 15 分)如图,已知点 (1 0)
0)
点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线上,使得 ABC△
直线 AC 交 x 轴于点 Q,且 Q 在点 F 右侧.记
F , 为抛物线 2
y
AFG CQG
(
px p
△
△
2
,
的面积为 1
,S S .
2
,点 F 为焦点,过
的重心 G 在 x 轴上,
(1)求 p 的值及抛物线的标准方程;
S
(2)求 1
S
2
的最小值及此时点 G 的坐标.
22.(本小题满分 15 分)
已知实数 0
3
4
(1)当
a ,设函数 ( )= ln
f x a
x
x
1,
x
0.
a 时,求函数 ( )
f x 的单调区间;
(2)对任意
x
1[
e
2
,
均有 ( )
f x
)
x
a
2
,
求 a 的取值范围.
注:e=2.71828…为自然对数的底数.