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2010年重庆高考文科数学真题及答案.doc
2010 年重庆高考文科数学真题及答案
数学试题卷（文史类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 l20 分钟。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个备选项中．只
有一项是符合题目要求的．
（1）
(
x 的展开式中 2x 的系数为
1)
4
（A）4
（B）6
（C）10
（D）20
（2）在等差数列 na 中， 1
a
a
9
10
，则 5a 的值为
（A）5
（B）6
（C）8
（D）10
（3）若向量 (3,
m
a
)
， (2, 1)
b
，
（A）
3
2
（B）
3
2
（4）函数
y
16 4x
的值域是
a b
0
，则实数 m 的值为
（C）2
（D）6
（A）[0,
)
（B）[0,4]
（C）[0,4)
（D） (0,4)
（5）某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为
了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年
职工为 7 人，则样本容量为
（A）7
（B）15
（C）25
（D）35
（6）下列函数中，周期为，且在[
（A） sin(2
y
x
（C） sin(
y
x
)
2
)
2
]
4 2
,
上为减函数的是
（B） cos(2
y
x
)
2
)
2
（D） cos(
y
x
（7）设变量 ,x y 满足约束条件
0,
x
y
x
2
y
0,
2 0,
x
则 3
z
x
的最大值为
y
2
（A）0
（B）2
（C）4
（D）6
（8）若直线 y
与曲线
x b
b 的取值范围为
x
y
2 cos ,
sin
（ [0,2 )
）有两个不同的公共点，则实数
（A） (2
2,1)
（B）[2
2,2
2]
（C） (
,2
2)
(2
2,
)
（D） (2
2,2
2)
（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（A）只有 1 个
（B）恰有 3 个
（C）恰有 4 个
（D）有无穷多个
（10）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2
人，每人值班 1 天；若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法
共有
（A）30 种
（B）36 种
（C）42 种
（D）48 种
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在答题卡相应位置上．
（11）设
A
|
x x
1 0 ,
B
|
x x
，则 A B =____________ .
0
（12）已知 0
t ，则函数
y
1
t
2 4
t
t
的最小值为____________ .
（13）已知过抛物线 2
y
x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点，
4
AF ，则
2
BF _
_ .
（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的
次品 率分别为
1
70
、
1
69
、
1
68
，且各道工序互不影响，则
加工出来的零件的次品率为____________ .
（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条
封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点 P（点 P 不在C
上 ） 且 半 径 相 等 . 设 第 i 段 弧 所 对 的 圆 心 角 为 (
i i
1,2,3)
， 则
cos
1
3
cos
3
2
3
sin
1
3
sin
3
2
3
____________ .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分. ）
已知 na 是首项为 19，公差为-2 的等差数列， nS 为 na 的前 n 项和.
（Ⅰ）求通项 na 及 nS ；
（Ⅱ）设
b
n
a 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb 的通项公式及其前 n
n
项和 nT .
（17）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分. ）
在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中
安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2，……，6），
求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.
（18）（本小题满分 13 分），（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分）
设 ABC
的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 2b +3 2c -3 2a =4 2 bc .
(Ⅰ) 求 sinA 的值；
2sin(
A
(Ⅱ)求
)sin(
4
1 cos 2
B C
A
)
4
的值.
(19) (本小题满分 12 分), (Ⅰ)小问 5 分，(Ⅱ)小问 7 分.)
已知函数
( )
f x
3
ax
2
x
bx
(其中常数 a,b∈R), ( )
g x
( )
f x
f x
( )
是奇函数.
(Ⅰ)求 ( )
f x 的表达式;
(Ⅱ)讨论 ( )g x 的单调性，并求 ( )g x 在区间上的最大值和最小值.
（20）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分. ）
如题（20）图，四棱锥 P ABCD
中，底面 ABCD 为矩
形，PA 底面 ABCD ，
PA AB
，点 E 是棱 PB
2
的中点.
（Ⅰ）证明： AE 平面 PBC ；
AD ，求二面角 B EC D
（Ⅱ）若
1
的平面角的余弦
值.
（21）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分. ）
已知以原点 O 为中心， ( 5,0)
F
为右焦点的双曲
线C 的离心率
e
5
2
.
（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题（21）图，已知过点
M x y 的直线 1l ：
(
)
1
,
1
x x
1
14
y y
与过点
4
N x y （其中 2
x
(
)
,
2
2
x ）的
1
直线 2l ： 2
x x
24
y y
的交点 E 在双曲线 C 上，
4
直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、 H 两点，求OG OH
的值.
参考答案
1-10 BADCB
ACDDC
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在答题卡相应位置上．
（11）解析：
|
x x
1
|
x x
0
x
| 1
x
0
（12）解析：
y
1
t
2 4
t
t
t
1 4
t
2(
t
0)
，当且仅当 1t 时， min
y
2
（13）解析：由抛物线的定义可知
AF
AA
1
KF
2
轴 故 AF BF 2
AB x
（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得
加工出来的零件的次品率
1
p
（15）解析：
cos
cos
3
2
3
sin
1
3
又 1
，所以
2
cos
2
3
69 68 67
70 69 68
sin
3
1
3
3
3
2
1
2
3
3
70
cos
1
2
3
1
2
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）解：（I）因为 }{ na 是首项为
1 a
,19
公差
2d
的等差数列，
所以
an
19
(2
n
)1
2
n
,21
S
19
n
)1
(
nn
2
b
n
（II）由题意
a
3 1
n
,
所以
b
n
n
b
,1
n
31(
n
3
20
n
n
1
3
)
1
2
.
T
n
S
n
n
2
（17）
解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在 6 个位置中的任两个，有
2
6 A
30
种等可能的结果。
（I）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”
则 A 包含的结果有
故所求概率为
(
AP
)
6
2
3 A
6
30
种，
1
5
.
（II）设 B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”
则 B 表示甲、乙两单位序号相邻， B 包含的结果有
!25
10
种。
从而
(
BP
1)
(
BP
1)
（18）解：（I）由余弦定理得
2
10
30
3
bA
.
2
cos
又
0
A
故
,
sin
A
1
cos
2
A
2
sin(
A
A
（II）原式
)
sin(
4
cos
2
)
4
1
A
2
sin(
A
A
)
4
sin2
sin(
2
A
2
a
22
3
,
2
c
2
bc
1
3
)
4
.
2(2
2
sin
A
2
2
)(
cos
A
2
sin2
2
2
A
sin
A
2
2
cos
)
A
sin
2
A
cos
2
A
2
A
sin2
.
7
2
（19）
解：（Ⅰ）由题意得
f
)(
x
2
3
ax
2
.
bx
因此
)(
xg
)(
xf
f
)(
x
2
ax
3(
a
)1
x
2
(
b
)2
.
bx
因为函数
)(
xg
是奇函数，
所以
g
(
x
)
(
xg
),
即对任意实数
x
,
有
a
(
x
)
3
3(
a
)(1
x
)
2
(
b
)(2
[
x
b
)
2
ax
3(
a
)1
x
2
(
b
)2
bx
],
从而
3
a
b
,0
解得
a
1
3
,
b
,0
因此
)(
xf
的解析表达式为
,01
1
3
x
3
)(
xf
x
2
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
)(
xg
2
,2
x
所以
)(
xg
x
2
,2
令
)(
xg
,0
解得
x
1
2
，
x
2
,2
则当
x
x
,2
时
)(
xg
,0
从而
)(
xg
(
在区间
,
,2[],2
)
x
1
3
2
或
上是减函数；当
2
,2
时
x
xg
)(
,0
从而 )(xg 在区间
[
]2,2
上是增函数。
由前面讨论知，
)(
xg
在区间
]2,1[
上的最大值与最小值只
能在
x
2,2,1
时取得
,
而
g
)1(
5
3
,
g
)2(
24
3
,
g
)2(
4
3
.
因
此
)(xg
在区间 ]2,1[
上的最大值为
g
)2(
24
3
，最小值为
g
)2(
4
3
.
（20）（I）证明：如答（20）图 1，由 PA⊥底面 ABCD，得 PA⊥AB，
由 PA=AB 知 PAB
为等腰直角三角形，又点 E 是棱 PB 的中点，故 AE⊥PB
由题意知 BC⊥AB，又 AB 是 PB 在面 ABCD 内的射影，
由垂线定理得 BC⊥PB，从而 PC⊥平面 PAB，
因 AE⊥BP，AE⊥BC，所以 AE⊥平面 PBC。
（II）解：由（I）知 BC⊥平面 PAB，又 AD//BC，
得 AD⊥平面 PAB，故 AD⊥AE。
在 PAB
Rt
中，PA=AB= 2 ，
AE
1
2
PB
1
2
2
PA
2
AB
.1
从而在
Rt
CBE
,
中
CE
2
BE
BC
2
.2
又
CD
2
，
所以 CED
为等边三角形，
取 CE 的中点 F，连接 DF，则
DF
因 BE=BC=1，且 BC⊥BE，则 EBC
所以 BFD
为所求的二面角的平面角。
.CE
为等腰直角三角形，连接 BF，则 BF⊥CE，
连接 BD，在 RFD
中，
DF
CD
sin
3
6
2
,
BF
1
2
CE
2
2
,
BD
2
BC
CD
2
.3
所以
cos
BFD
DF
2
2
2
BF
DF
2
BD
BF
3
3
.
故二面角 B—EC—D 的平面角的余弦值为
3
3
.
解法二：
（I）如答（20）图 2，以 A 为坐标原点，射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正半
轴，建立空间直角坐标系 A—xyz.
设 D（0，a，0），则
B
),0,0,2(
C
,2(
a
)0,
P
),2,0,0(
E
2(
2
2,0,
2
)
.
于是
AE
2(
2
2,0,
2
),
BC
,0(
a
)0,
PC
,2(
a
,
)2
则
AE
BC
,0
AE
PC
0
，所以 AE⊥平面 PBC.
（II）解：设平面 BEC 的法向量为 n，由（I）知，AE⊥平面 BEC，
故可取
n
1
EA
(
2
2
,0,
2
2
)
设平面 DEC 的法向量
n
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
，则
n
2
DC
0
，
n
2
DE
.0
由
| AD =1，得
|
D
),0,1,0(
C
)0,1,2(
从而
DC
),0,0,2(
DE
2(
2
2,1,
2
),
x
故
y
2
2
2
2
z
2
0
,0
2
2
2
x
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