捷联惯导算法与卡尔曼滤波原理讲义（附仿真代码）.doc

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书资料大小：22.06M 资料格式：doc 举报版权申诉

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第1章概述

1.1捷联惯导算法简介

1.2 Kalman滤波与组合导航原理简介

第2章捷联惯导姿态解算基础

2.1三维矢量及其反对称阵

2.1.1 一些重要的矢量运算关系

2.1.2 反对称阵

2.1.3 反对称阵的矩阵指数函数

2.2方向余弦阵与等效旋转矢量

2.2.1 方向余弦阵

2.2.2 等效旋转矢量

2.3方向余弦阵微分方程及其求解

2.3.1 方向余弦阵微分方程

2.3.2 方向余弦阵微分方程的求解

2.4姿态更新的四元数表示

2.4.1 四元数的基本概念

2.4.2 四元数微分方程

2.4.3 四元数微分方程的求解

2.5等效旋转矢量微分方程及其泰勒级数解

2.5.1 等效旋转矢量微分方程

2.5.2 等效旋转矢量微分方程的泰勒级数解

2.6圆锥运动条件下的等效旋转矢量算法

2.6.1 圆锥运动的描述

2.6.2 圆锥误差补偿算法

第章地球形状与重力场基础

3.1地球的形状描述

3.2地球的正常重力场

3.3地球重力场的球谐函数模型

3.3.1 球谐函数的基本概念

3.3.2 地球引力位函数

3.3.3 重力位及重力计算

第4章捷联惯导更新算法及误差分析

4.1捷联惯导数值更新算法

4.1.1 姿态更新算法

4.1.2 速度更新算法

4.1.3 位置更新算法

4.2捷联惯导误差方程

4.2.1惯性传感器测量误差

4.2.2姿态误差方程

4.2.3速度误差方程

4.2.4位置误差方程

4.2.5误差方程的整理

4.3静基座误差特性分析

4.3.1 静基座误差方程

4.3.2 高度通道

4.3.3 水平通道

4.3.4 水平通道的简化

4.3.5 水平通道误差方程的仿真

第5章卡尔曼滤波基本理论

5.1递推最小二乘法

5.2 Kalman滤波方程的推导

5.3连续时间随机系统的离散化与连续时间Kalman滤波

5.4噪声相关条件下的Kalman滤波

5.5序贯滤波

5.6信息滤波与信息融合

5.7平方根滤波

5.8遗忘滤波

5.9 Sage-Husa自适应滤波

5.10最优平滑算法

5.11非线性系统的EKF滤波、二阶滤波与迭代滤波

5.12间接滤波与滤波校正

5.13联邦滤波（待完善）

5.14滤波的稳定性与可观测度分析

第6章初始对准及组合导航技术

6.1捷联惯导粗对准

6.1.1矢量定姿原理

6.1.2解析粗对准方法

6.1.3间接粗对准方法

6.2捷联惯导精对准

6.3惯性/卫星组合导航

6.3.1空间杆臂误差

6.3.2时间不同步误差

6.3.3状态空间模型

6.4车载惯性/里程仪组合导航

6.4.1航位推算算法

6.4.2航位推算误差分析

6.4.3惯性/里程仪组合

6.5低成本姿态航向参考系统（AHRS）

6.5.1简化的惯导算法及误差方程

6.5.2地磁场测量及误差方程

6.5.3低成本组合导航系统模型

6.5.4低成本惯导的姿态初始化

6.5.5捷联式地平仪的工作原理

第7章捷联惯导与组合导航仿真

7.1飞行轨迹和惯性器件信息仿真

7.1.1飞行轨迹设计

7.1.2 捷联惯导反演算法

7.1.3 仿真

7.2捷联惯导仿真

7.2.1 Matlab子函数

7.2.2捷联惯导仿真主程序

7.3惯导/卫星组合导航仿真

7.3.1Matlab子函数

7.3.2组合导航仿真主程序

附录

A 运载体姿态的欧拉角描述

B 从非直角坐标系到直角坐标系的矩阵变换

C 线性系统基本理论

D 加权最小二乘估计

E 矩阵求逆引理

F 矩阵的QR分解与Cholesky分解

G 二阶滤波中的引理证明

H 方差阵上界的证明

I 三阶非奇异方阵的奇异值分解

J Matlab仿真程序

K 练习题

参考文献

捷联惯导算法与组合导航原理讲义严恭敏，翁浚编著西北工业大学 2016-9 1

前言近年来，惯性技术不论在军事上、工业上，还是在民用上，特别是消费电子产品领域，都获得了广泛的应用，大到潜艇、舰船、高铁、客机、导弹和人造卫星，小到医疗器械、电动独轮车、小型四旋翼无人机、空中鼠标和手机，都有惯性技术存在甚至大显身手的身影。相应地，惯性技术的研究和开发也获得前所未有的蓬勃发展，越来越多的高校学生、爱好者和工程技术人员加入到惯性技术的研发队伍中来。惯性技术涉及面广，涵盖元器件技术、测试设备和测试方法、系统集成技术和应用开发技术等方面，囿于篇幅和作者知识面限制，本书主要讨论捷联惯导系统算法方面的有关问题，包括姿态算法基本理论、捷联惯导更新算法与误差分析、组合导航卡尔曼滤波原理、捷联惯导系统的初始对准技术、组合导航系统建模以及算法仿真等内容。希望读者参阅之后能够对捷联惯导算法有个系统而深入的理解，并能快速而有效地将基本算法应用于解决实际问题。本书在编写和定稿过程中得到以下同行的热心支持，指出了不少错误之处或提出了许多宝贵的修改建议，深表谢意：西北工业大学自动化学院：梅春波、刘洋、沈彦超、肖迅、牟夏、郑江涛、刘士明、金竹、冯理成；航天科工第九总体设计部：王亚军；…… 书中缺点和错误在所难免，望读者不吝批评指正。作者 2016 年 9 月 2

目录第 1 章概述.................................................................................................................. 6 1.1 捷联惯导算法简介 ........................................................................................................................6 1.2 Kalman 滤波与组合导航原理简介 ............................................................................................... 8 第 2 章捷联惯导姿态解算基础....................................................................................... 10 2.1 三维矢量及其反对称阵 ..............................................................................................................10 2.1.1 一些重要的矢量运算关系 ..........................................................................................................10 2.1.2 反对称阵 ...................................................................................................................................... 11 2.1.3 反对称阵的矩阵指数函数 ..........................................................................................................13 2.2 方向余弦阵与等效旋转矢量 ...................................................................................................... 14 2.2.1 方向余弦阵 ..................................................................................................................................14 2.2.2 等效旋转矢量 ..............................................................................................................................15 2.3 方向余弦阵微分方程及其求解 ...................................................................................................17 2.3.1 方向余弦阵微分方程 ..................................................................................................................17 2.3.2 方向余弦阵微分方程的求解 ......................................................................................................18 2.4 姿态更新的四元数表示 ..............................................................................................................20 2.4.1 四元数的基本概念 ......................................................................................................................20 2.4.2 四元数微分方程 ..........................................................................................................................23 2.4.3 四元数微分方程的求解 ..............................................................................................................25 2.5 等效旋转矢量微分方程及其泰勒级数解 ....................................................................................26 2.5.1 等效旋转矢量微分方程 ..............................................................................................................26 2.5.2 等效旋转矢量微分方程的泰勒级数解 ......................................................................................29 2.6 圆锥运动条件下的等效旋转矢量算法 ........................................................................................31 2.6.1 圆锥运动的描述 ..........................................................................................................................31 2.6.2 圆锥误差补偿算法 ......................................................................................................................33 第章地球形状与重力场基础......................................................................................... 40 3.1 地球的形状描述 ......................................................................................................................... 40 3.2 地球的正常重力场 ......................................................................................................................46 3.3 地球重力场的球谐函数模型 .......................................................................................................50 3.3.1 球谐函数的基本概念 ..................................................................................................................50 3.3.2 地球引力位函数 ..........................................................................................................................58 3.3.3 重力位及重力计算 ......................................................................................................................63 第 4 章捷联惯导更新算法及误差分析...........................................................................69 4.1 捷联惯导数值更新算法 ..............................................................................................................69 4.1.1 姿态更新算法 ..............................................................................................................................69 4.1.2 速度更新算法 ..............................................................................................................................70 4.1.3 位置更新算法 ..............................................................................................................................76 4.2 捷联惯导误差方程 ..................................................................................................................... 76 4.2.1 惯性传感器测量误差...................................................................................................................76 4.2.2 姿态误差方程 ...............................................................................................................................78 4.2.3 速度误差方程 ...............................................................................................................................79 4.2.4 位置误差方程 ...............................................................................................................................79 4.2.5 误差方程的整理...........................................................................................................................80 4.3 静基座误差特性分析 ................................................................................................................. 82 4.3.1 静基座误差方程 ..........................................................................................................................82 4.3.2 高度通道 ......................................................................................................................................83 4.3.3 水平通道 ......................................................................................................................................83 4.3.4 水平通道的简化 ..........................................................................................................................88 4.3.5 水平通道误差方程的仿真 ..........................................................................................................90 3

第 5 章卡尔曼滤波基本理论...........................................................................................92 5.1 递推最小二乘法 .........................................................................................................................92 5.2 Kalman 滤波方程的推导 ............................................................................................................94 5.3 连续时间随机系统的离散化与连续时间 Kalman 滤波 ..............................................................101 5.4 噪声相关条件下的 Kalman 滤波 ...............................................................................................107 5.5 序贯滤波 .................................................................................................................................. 111 5.6 信息滤波与信息融合 ................................................................................................................113 5.7 平方根滤波 .............................................................................................................................. 115 5.8 遗忘滤波 .................................................................................................................................. 118 5.9 Sage-Husa 自适应滤波 ..........................................................................................................120 5.10 最优平滑算法 .........................................................................................................................121 5.11 非线性系统的 EKF 滤波、二阶滤波与迭代滤波 ..................................................................... 124 5.12 间接滤波与滤波校正 ..............................................................................................................130 5.13 联邦滤波（待完善） ..............................................................................................................130 5.14 滤波的稳定性与可观测度分析 ...............................................................................................135 第 6 章初始对准及组合导航技术................................................................................142 6.1 捷联惯导粗对准 .......................................................................................................................142 6.1.1 矢量定姿原理 .............................................................................................................................142 6.1.2 解析粗对准方法.........................................................................................................................144 6.1.3 间接粗对准方法.........................................................................................................................147 6.2 捷联惯导精对准 .......................................................................................................................148 6.3 惯性/卫星组合导航 ................................................................................................................. 152 6.3.1 空间杆臂误差 .............................................................................................................................152 6.3.2 时间不同步误差.........................................................................................................................153 6.3.3 状态空间模型 .............................................................................................................................154 6.4 车载惯性/里程仪组合导航 ...................................................................................................... 154 6.4.1 航位推算算法 .............................................................................................................................154 6.4.2 航位推算误差分析 .....................................................................................................................156 6.4.3 惯性/里程仪组合 ........................................................................................................................159 6.5 低成本姿态航向参考系统（AHRS） ......................................................................................... 162 6.5.1 简化的惯导算法及误差方程 .....................................................................................................163 6.5.2 地磁场测量及误差方程 .............................................................................................................164 6.5.3 低成本组合导航系统模型.........................................................................................................165 6.5.4 低成本惯导的姿态初始化.........................................................................................................166 6.5.5 捷联式地平仪的工作原理.........................................................................................................168 第 7 章捷联惯导与组合导航仿真..................................................................................171 7.1 飞行轨迹和惯性器件信息仿真 ................................................................................................. 171 7.1.1 飞行轨迹设计 .............................................................................................................................171 7.1.2 捷联惯导反演算法 ....................................................................................................................172 7.1.3 仿真 ............................................................................................................................................ 173 7.2 捷联惯导仿真 ...........................................................................................................................175 7.2.1 Matlab 子函数.............................................................................................................................175 7.2.2 捷联惯导仿真主程序.................................................................................................................180 7.3 惯导/卫星组合导航仿真 ........................................................................................................... 181 7.3.1Matlab 子函数..............................................................................................................................181 7.3.2 组合导航仿真主程序.................................................................................................................182 附录 .............................................................................................................................185 A 运载体姿态的欧拉角描述 ...........................................................................................................185 B 从非直角坐标系到直角坐标系的矩阵变换 ................................................................................. 193 C 线性系统基本理论 ......................................................................................................................197 4

D 加权最小二乘估计 ......................................................................................................................202 E 矩阵求逆引理 ............................................................................................................................. 203 F 矩阵的 QR 分解与 Cholesky 分解 ................................................................................................205 G 二阶滤波中的引理证明 ...............................................................................................................207 H 方差阵上界的证明 ......................................................................................................................209 I 三阶非奇异方阵的奇异值分解 ................................................................................................... 210 J Matlab 仿真程序 .........................................................................................................................215 K 练习题 ........................................................................................................................................ 220 参考文献....................................................................................................................... 224 5

第 1 章概述.................................................................................................................. 6 1.1 捷联惯导算法简介 ........................................................................................................................6 1.2 Kalman 滤波与组合导航原理简介 ............................................................................................... 8 第 1 章概述 1.1 捷联惯导算法简介在捷联惯导系统（SINS）中惯性测量器件（陀螺和加速度计）直接与运载体固联，通过导航计算机采集惯性器件的输出信息并进行数值积分求解运载体的姿态、速度和位置等导航参数，这三组参数的求解过程即所谓的姿态更新算法、速度更新算法和位置更新算法。特别在恶劣的高动态环境下，高精度的 SINS 对惯性器件性能和导航算法精度的要求都非常苛刻，由于高精度惯性器件往往价格昂贵并且进一步提升精度异常困难，所以在影响 SINS 精度的所有误差源中要求因导航算法引起的误差比重必须很小，一般认为应小于 5%。姿态更新算法是 SINS 算法的核心，对整个系统的解算精度影响最为突出，具有重要的研究和应用价值。传统的姿态更新算法有欧拉角法、方向余弦阵法和四元数法等方法，这些方法直接以陀螺采样输出作为输入，使用泰勒级数展开或龙格—库塔等方法求解姿态微分方程，未充分考虑转动的不可交换性误差问题。传统姿态更新算法在理论上可以通过提高采样和更新频率来提高解算精度，但实际陀螺采样频率又受限于传感器的带宽和噪声水平，因此传统算法的精度提升空间相对有限，仅适用于对解算精度要求不太高的场合。早在 1775 年，欧拉就提出了等效旋转矢量的概念，指出刚体的定点转动（即绕固定点的任何有限角位移）均可用绕经过该固定点的某轴的一次转动来实现，建立了刚体上单位矢量在转动前后的变换公式。1840 年，罗德里格使用后人称之为罗德里格参数的表示方法，推导了相继两次转动的合成公式，它与 Hamilton 在 1843 年发明的四元数乘法表示是一致的。研究表明，相继多次的定点转动问题可用一系列的姿态变化量（变化四元数或变化矩阵）相乘来描述，每个姿态变化量与对应转动的等效旋转矢量之间存在转换公式，使用等效旋转矢量计算姿态变化量不存在任何原理上的误差。因此，现代的 SINS 姿态更新算法研究的关键就在于如何使用陀螺输出构造等效旋转矢量，以尽量减小和避免不可交换性误差，后续再使用等效旋转矢量计算姿态变化量和进行姿态更新将变得非常简单，而不象传统方法那样，直接使用陀螺输出进行姿态更新容易引起不可交换性误差。 1949 年，Lanin 在研究火控系统的过程中详细地分析了空间转动合成的性质，推导了由等效旋转矢量确定转动角速度的公式，但是由于缺少更好的应用背景驱动（比如后来 SINS 发展的迫切需求）因而未能获得广泛的研究重视。19 世纪 50 年代是机械陀螺仪飞速发展的一个重要时期，也正是在那时发现了著名的圆锥运动现象，即当陀螺仪在其旋转轴和输出轴出现同频不同相的角振动时，尽管其输入轴净指向不变（在整体上没有随时间改变的趋势项），但陀螺仪还是会敏感到并输出常值角速率。1958 年，为揭示圆锥运动现象产生的根源，Goodman 建立了刚体转动的等效旋转矢量与角速度之间的关系式，后人称之为 Goodman-Robinson 定理，该定理从几何上将转动不可交换性误差的坐标分量描述为单位球面上的一块有向面积，其面积由对应动坐标轴在单位球面上扫过的曲线与连接该曲线端点的大圆围成，Goodman 借助二维 Green 积分理论获得了不可交换性误差的近似公式。1969 年，基于 Goodman 近似公式，Jordon 在假设陀螺角增量输出为二次多项式 6

条件下提出了等效旋转矢量的“pre-processor”算法，它与后来发展的等效旋转矢量二子样算法完全一致。1969 年，Bortz 在其博士论文中详细推导了等效旋转矢量微分方程（1971 年正式发表，后人称之为 Bortz 方程），它是利用陀螺输出求解等效旋转矢量的基本公式，奠定了等效旋转矢量多子样算法的理论基础。在实际应用时一般需对较复杂的 Bortz 方程做近似处理，事实上，其简化结果与 Goodman 公式完全一致，它也可以根据 Laning 公式简化获得。 1983 年，Mille 采用在圆锥运动条件下使算法漂移误差最小作为评价标准，推导了等效旋转矢量三子样优化算法。1990 年，Lee 研究了四子样优化算法。1992 年，Jiang 研究了利用本更新周期内的三子样及前更新周期内的角增量计算旋转矢量的优化算法。1996 年，Ignagni 提出了由陀螺角增量构造等效旋转矢量的通式，并给出了多达 10 种类型的等效旋转矢量算法。1999 年，Park 总结提出了各子样下求解圆锥误差补偿系数和算法漂移误差估计的通用公式。至此，从理论上看，在理想的圆锥运动条件下的不可交换性误差补偿问题得到了比较完美的解决。应注意到，对于前述所有研究的等效旋转矢量误差补偿算法，它们都是在陀螺输出等间隔采样的前提条件下推导的。在圆锥运动条件下，Ignagni 指出任意两次陀螺角增量采样之叉乘积对圆锥误差补偿的贡献，与陀螺采样的绝对时间无关，而只与两次采样之间的相对时间距离有关。利用这一性质，在等效旋转矢量误差补偿周期内，可将等间隔 n 子样下的所有可能的 n(n-1)/2 个叉乘积组合简化合并为 n-1 个叉乘积，相应地可供调整的圆锥误差补偿系数的数目也就减少为 n-1 个。但是，如果陀螺输出为非等间隔采样，即 n 子样的每两个采样间隔之间互不相等，则不能对 n(n-1)/2 个叉乘积组合再做任何简化合并，也就意味着增加了圆锥误差补偿系数的数目，有利于提高误差补偿精度。 Ignagni 将在圆锥运动下求解的圆锥误差补偿算法应用于多项式形式的角运动，结果显示漂移误差与等效旋转矢量误差补偿周期的四次方成正比，该幂次不随子样数的增加而减小。这说明在一种角运动条件下建立的不可交换性误差补偿算法，并不能保证也完美地适用于另一种角运动。幸运的是，实际系统中多项式角运动的持续时间往往不会很长，不容易像频繁出现的圆锥运动那样诱发长时间的姿态漂移误差累积，所以一般认为算法首先应当考虑尽量减少圆锥运动漂移误差。1995 年，Musoff 提出了以比圆锥运动更一般化的雅克比椭圆函数（Jacobian elliptic function, JEF）作为测试不可交换性误差补偿效果的角运动标准，仿真结果显示圆锥误差补偿优化算法在 JEF 下误差也稍微有所增大，但是在理论上很难使用 JEF 来指导误差补偿系数的进一步优化，因而 JEF 标准并未被广泛接受。本文中将以圆锥运动和多项式角运动两者同时作为误差补偿算法的检验标准。虽然圆锥误差补偿算法在多项式角运动下具有一定的漂移误差，但是经仔细对比分析发现，在各个等效旋转矢量补偿周期内，通过调整陀螺采样间隔大小可以改变多项式角运动下漂移误差的正负方向，使得前后补偿周期内漂移误差恰好相互抵消，因而从长时间上看能够有效抑制漂移误差的累积。捷联惯导的基本概念在 19 世纪 50 年代就已经提出了，但是由于当时计算机的运算能力极其有限，在算法发展的早期阶段姿态更新通常采用双速回路算法方案：高速回路（e.g.,400Hz-10kHz）使用简单的一阶算法补偿由角振动引起的姿态不可交换性误差；中速回路（e.g.,50Hz-200Hz）以高速回路的处理结果作为输入再使用相对复杂的高阶算法进行姿态矩阵或四元数更新。双速回路算法的结构设计和实现过程都稍显繁琐，它只是在计算机运算能力低下时期所采取的权宜之策，随着通用计算机技术的飞速发展，尤其是 80 年代中后期之后，导航计算机的运算能力就不再是导航算法研究中需要着重关注的问题。双速回路算法的结构研究已经成为历史，目前的计算机完全能够满足高速高精度姿态更新解算的要求。 1998 年，Savage 相继发表的两篇论文对整体捷联惯导数值算法进行了比较全面的总结，但相 7

对于普通技术人员而言，其算法描述过于繁杂，给具体实现带来了很大的不便或困惑。 1.2Kalman 滤波与组合导航原理简介如果信号受噪声干扰，为了从量测中恢复出有用信号而又要尽量减少干扰的影响，常常采用滤波器进行信号处理。使用经典滤波器时假定信号和干扰的频率分布不同，通过设计特定的滤波器带通和带止频段，实现有用信号和干扰的分离。但是，如果干扰的频段很宽，比如白噪声，在有用信号的频段范围内也必然会存在干扰，这时经典滤波器对滤除这部分干扰噪声无能为力。若有用信号和干扰噪声的频带相互重叠，信号处理时通常不再认为有用信号是确定性的，而是带有一定随机性的。对于随机信号不可能进行准确无误差的恢复，只能根据信号和噪声的统计特性，利用数理统计方法进行估计，并且一般采取某种统计准则使估计误差尽可能小。借用经典滤波器的术语，这种针对随机信号的统计估计方法也常常称为滤波器，或称为现代滤波器以区别于经典滤波器，但须注意经典滤波器和现代滤波器之间是有本质区别的。 1 Kalman 滤波早在 1632 年，伽利略（Galileo Galilei）就尝试用各种误差函数最小化的方法提出了估计理论问题。 1801 年，数学家高斯（Karl Gauss）将最小二乘估计法应用于谷神星的轨道跟踪和预测，取得了良好的效果。最小二乘估计以观测残差平方和最小作为估计准则，它不需要关于量测的任何统计信息，算法简单且实用性强，在参数估计领域获得了广泛的应用。但是，通常情况下最小二乘估计只能应用于静态参数估计，而不适用于动态系统的状态估计。 20 世纪 40 年代初期，维纳（Norbert Wiener）开始将统计方法应用于通信系统和控制系统的研究中，提出了著名的维纳滤波理论。同一时期，柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorow）也进行了类似的研究。维纳滤波一种从频域角度出发设计滤波器的方法，它根据有用信号和干扰信号的功率谱特性，通过构造和求解维纳—霍夫（Wiener-Hopf）方程得到最佳滤波器的传递函数，给出了最小均方误差意义下的稳态解。但是，在一般情况下求解维纳—霍夫方程极为困难，甚至是不可能的。此外，维纳滤波仅适用于低维平稳随机过程，人们试图将它推广到高维和非平稳情况，但都因无法突破计算上的困难而难以实用，这严重限制了维纳滤波的普及。维纳滤波在历史上有着非常重要的作用和独特的地位，它首次将数理统计理论和线性系统理论有机结合起来，形成了对随机信号进行估计的新理论，虽然维纳滤波不适合用于状态估计，但是它在信号处理和通信理论中依然十分有用。 1960 年，Rudolf Kalman 将控制系统状态空间的概念引入随机估计理论中，建立了随机状态空间模型，利用了随机状态方程、量测方程以及激励白噪声的统计特性，构造估计算法对随机状态进行滤波估计，后来被称为 Kalman 滤波。在 Kalman 滤波中，所有利用的信息都是时域内的参量，它不但可以应用于一维平稳的随机过程，还可应用于多维非平稳过程，这就避免了 Wiener 滤波器设计的困境。Kalman 滤波是一套由数字计算机实现的实时递推算法，它以随机系统的量测作为滤波器的输入，滤波器的输出是对系统状态作最优估计，这一特征与确定性控制系统中的状态观测器非常相似。在 Kalman 滤波器出现以后，估计理论的发展基本上都是以它为基础的一些推广和改进。 20 世纪 60 年代，卡尔曼滤波在美国的太空计划中获得了成功的应用，但是由于当时计算机字长较短，滤波器在实现过程中有时会出现一些问题，即计算机求解均方误差阵时容易出现无穷大情况，导致滤波发散。平方根滤波是一种在数学上增加卡尔曼滤波精度的方法，Potter 为“阿波罗”太空计划开发了第一个平方根滤波算法，它推动了后来一些其他平方根滤波方法的研究，比如 Bierman 提出的 U-D 分解滤波。平方根滤波精度性能的提升是以增加计算量为代价的，目前，随着计算机硬件技术的发展，普 8

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