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2004年广东高考数学真题及答案.doc
2004 年广东高考数学真题及答案
参考公式：
三角函数的积化和差公式
满分 150 分
第 I 卷
函数求导公式
sin cos =
cos sin =
cos cos =
1
2
1
2
1
2
[sin ( + ) + sin (－ )]
(u±v)’ = u’±v’
[sin ( + )－sin (－ )] (uv)’ = u’v + uv’
[cos ( + ) + cos (－ )]
(
u
v
)’ =
u’v－uv’
v2
（v ≠ 0）
1
sin sin = －
2
锥体体积公式
V锥体 =
1
3
Sh
[cos ( + )－cos (－ )] f’( (x)) = f’(u) ’(x)，其中 u = (x)
球的体积公式
V球体 =
4
3
R3
其中 S 表示底面积，h 表示高
其中 R表示球的半径
一. 选择题（共 12 小题，每题 5 分，计 60 分）
（1）已知平面向量 a
=（3，1），b
=（x，–3），且 a
⊥b
，则 x=
（A） –3
（2）已知 A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x≤6}，则 A∩B＝
（B） –1
（C） 1
（D）3
（A）[ 3, 2)
(1,2]
（C） ( 3, 2]
[1,2)
（3）设函数
( )
f x
2
4
2
x
2
3
x
2
x
a
（A）－
1
2
（B）－
（4）
lim
n
1
1
n
2
1
n
n
1
4
3
1
（A）–1
（B）0
（5）函数 f（x）＝ 2
sin
x
4
－ 2
sin
（A）周期为的偶函数
（C）周期为 2的偶函数
1
2
n
1
n
（B）[ 3, 2)
(1,
)
（D） (
, 3]
(1,2]
(
x
2)
在 x=2 处连续，则 a=
（D）
1
3
（D）1
(
x
（C）
的值为
2)
1
4
2
n
1
n
1
2
x
4
（B）周期为的奇函数
（D）周期为 2的奇函数
（C）
是
（6）一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独
立工作，则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是
（A）0.1536
（B） 0.1808
（C） 0.5632
（D） 0.9728
（7）在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩
下的凸多面体的体积是
（A）
2
3
（B）
7
6
（C）
4
5
（D）
5
6
（8）若双曲线 2x2－y2＝k（k＞0）的焦点到它相对应的准线的距离是 2，则 k=
（A） 6
（C） 1
（D） 4
（B） 8
（9）当 0＜x＜
4
时，函数 f（x）＝
2
cos
sin
x
x
2
sin
x
cos
x
的最小值是
（A） 4
（B）
1
2
（C）2
（D）
1
4
（10）变量 x、y 满足下列条件：
（A）（4.5，3） （B）（3，6）
12
2
y
x
36
9
2
y
x
2
24
3
y
x
0,
0
y
x
（C）（9，2）
，则使 z=3x+2y 的值最小的（x，y）是
（D）（6，4）
（11）若 ( )
f x
tan
x
4
，则
（A） ( 1)
f ＞ (0)
f ＞ (1)
f
（B） (0)
f ＞ (1)
f ＞ ( 1)
f
（C） (1)
f
＞ (0)
f ＞ ( 1)
f
（D） (0)
f
＞ ( 1)
f ＞ (1)
f
（12）如右下图，定圆半径为 a，圆心为（b ，c）， 则直线 ax+by+c=0 与直线 x–y+1=0 的交点在
（A）第四象限
（B）第三象限
（C）第二象限
（D）第一象限
y
O
x
二.填空题（共 4 小题，每题 4 分，计 16 分）
（13）某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 人担任正副班长，其中至少有 1 名女生当选的
概率是
（14）已知复数 z 与(z +2)2－8i 均是纯虚数，则 z =
（用分数作答）
.
（15）由图（1）有面积关系： PA B
PAB
S
S
PA PB
PA PB
V
，则由图（2）有体积关系： P A B C
V
P ABC
＝
.
B
B
B’
P
A
P
C
B’
C’
（16）函数 ( )
f x
ln(
x
（x＞0）的反函数 1( )
1 1)
x ＝
f
.
三.解答题（共 6 小题，74 分）
（17）（12 分）已知α，β，γ成公比为 2 的等比数列（α∈[0，2π]），且 sinα，sinβ，sinγ也成等
比数列. 求α，β，γ的值.
（18）（12 分）如右下图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，已知 AB= 4， AD =3， AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、
BC 上的点，且 EB= FB=1.
（Ⅰ）求二面角 C—DE—C1 的正切值;
（Ⅱ）求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.
D1
C1
A1
A
（19）（12 分）设函数
( )
f x
（x＞0）.
1
1
x
B1
D
C
F
B
E
（Ⅰ）证明: 当 0＜a＜b ，且 ( )
f a
( )
f b
时，ab＞1;
（Ⅱ）点 P（x0，y0）（0＜x0＜1 ）在曲线
y
( )
f x
上，求曲线在点 P 处的切线与 x 轴和 y 轴的正向所围成
的三角形面积表达式（用 x0 表达）.
（20）（12 分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了
一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确
定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为 340m/s ，相关各点均在同一平面上）
（21）（12 分）设函数 ( )
f x
x
ln(
x m
，其中常数 m为整数.
)
（Ⅰ）当 m为何值时， ( )
f x ≥0；
（Ⅱ）定理: 若函数 g（x） 在[a，b]上连续，且 g（a）与 g（b）异号，则至少存在一点 x0∈（a，b），
使 g（x0）=0.
试用上述定理证明：当整数 m＞1 时，方程 f（x）= 0，在[e－ｍ－m ，e2ｍ－m ]内有两个实根.
（22）（14 分）设直线 l与椭圆
2
2
x
y
25 16
D 三等分线段 AB.求直线 l的方程.
相交于 A、B 两点，l又与双曲线 x2－y2=1 相交于 C、D 两点，C、
1
参考答案
一、选择题
CACAB
DDAAB
DB
二、填空题：
（13）
5
7
（14）－2i
(15)
'
'
PA
PA
'
PB
PB
PC
PC
(16)
2
x
e
x
2
e
(
Rx
)
三、解答题
17．解：∵α,β,γ成公比为 2 的等比数列，∴β=2α，γ=4α
∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
sin
sin
2
2
cos
即
sin
sin
cos
2sin
sin
01
4sin
2sin
cos
2
cos
2
1
解得
cos
,1
或
cos
1
2
当 cosα=1 时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故 cosα=1 应舍去，
当
cos
,
]2,0[
,
时
或
2
3
,
4
3
1
2
2
,
3
所以
4
3
,
8
3
或
4
3
,
8
3
,
16
3
18．解：（I）以 A 为原点，
AB
,
AD
,
AA
1
分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有
D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
于是，
DE
),0,3,3(
EC
1
),2,3,1(
FD
1
)2,2,4(
设向量
n
),
,(
zyx
与平面 C1DE 垂直，则有
x
y
1
2
z
0
),2,1,1(
其中
z
0
n
n
DE
EC
1
(
n
取
0
n
向量
n
与
0
0
,
0
z
3
3
x
y
3
2
y
x
zz
z
z
),
2
2
2
),2,1,1(
n
则
)2,0,0(
AA
与平面
1
AA
所成的角
1
n
AA
1
|
n
AA
0
1
2
2
0
|
|
|
cos
tan
是一个与平面
垂直的向量
,
CDE
垂直
C
为二面角
DEC
1
,
DE
C
的平面角
1
220101
411
400
6
3
（II）设 EC1 与 FD1 所成角为β，则
cos
EC
1
|
EC
1
FD
1
|
FD
1
|
|
2
1
19.证明：（I）
2223)4(1
2
2
3
2
)4(
2
2
2
21
14
2
2
)(
xf
|11|
x
,11
x
,11
x
x
]1,0(
x
,1(
)
故 f(x) 在 （ 0 ， 1 ] 上 是 减 函 数 ， 而 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 是 增 函 数 ， 由 0
20．解：如图，
y
C
o
P
A
B
x
以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北
观测点，则 A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上，PO 的
方程为 y=－x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线
依题意得 a=680, c=1020，
2
2
x
a
2
2
y
b
1
上，
2
b
2
c
2
a
5
2
340
故双曲线方程为
用 y=－x 代入上式，得
680x
2
1020
2
x
680
2
2
680
y
340
2
5
1
，∵|PB|>|PA|,
2
5
x
680
,5
y
680
,5
即
P
(
680
,5
680
),5
故
PO
680
10
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450，距中心
680
m10
处.
21.（I）解：函数 f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且
'
f
1)(
x
1
mx
,
令
f
'
)(
x
,0
得
x
1
m
当 x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当 x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)
根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且
对 x∈(-m, +∞)都有 f(x)≥f(1-m)=1-m
故当整数 m≤1 时，f(x) ≥1-m≥0
(II)证明：由（I）知，当整数 m>1 时，f(1-m)=1-m<0,
函数 f(x)=x-ln(x+m),在
[
e m
m
1,
m
]
上为连续减函数.
m
(
ef
当整数
)
em
,1
m
时
m
m
m
(
ef
m
ln(
e
)
fm
与
1(
)
emm
)
,
m
异号
m
0
由所给定理知，存在唯一的
x
1
e
(
m
m
1,
m
),
使
(
xf
1
)
0
而当整数 m>1 时，
2
m
(
ef
em
)
2
m
3
m
)11(
2
m
3
m
21
m
(
m
,11
m
2
1
上述不等式也可用数学
)
归纳法证明
2(2
mm
2
)1
3
m
0
类似地，当整数 m>1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在
1[
em m
,
m
]
上为连续增函数且 f(1-m)与
( 2
ef
m
m
)
异号，由所给定理知，存在唯一的
x
2
1[
,
em
m
m
],,
使
(
xf
)
0
2
故当 m>1 时，方程 f(x)=0 在
[
e
m
,
em
2
m
m
]
内有两个实根。
22．解：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 l 的方程为
y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：
(
(
xByxA
),
,
1
1
,
(
xCy
2
),
3
,
(
xDy
3
),
4
,
y
4
)
2
y
B
D
l
x
o
C
A
依题意有
AC
DB
,
AB
3
CD
，由
b
得
1
16(
25
k
2
2
)
x
2
bkx
25(
b
2
400
)
)1...(0
kx
2
y
16
y
2
x
25
x
1
y
x
kx
2
y
由
1k
若
x
2
50
bk
25
k
2
16
2
b
得
1
1(
k
2
2
)
x
2
bkx
(
b
2
)1
)2...(0
，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
1k
x
3
x
4
2
bk
k
2
1
由
AC
DB
x
3
x
1
x
2
x
x
1
4
x
2
x
3
x
4
)(
i
当
2
50
bk
25
k
,0
得由时
2
bk
k
x
2,1
)1(
1
2
16
k
由
AB
3
CD
x
2
x
1
(3
bk
k
0
0
或
b
0
5
4
x
4
16
b
2
,
得由
)2(
x
4,3
2
b
1
x
3
),
即
10
4
16
b
2
6
2
b
1
b
16
13
故 l 的方程为
16y
13
(ii)当 b=0 时，由(1)得
x
2,1
20
25
2
k
16
,
得由
)2(
x
4,3
1
1
2
k
由
由
AB
3
CD
x
2
x
1
(3
x
4
x
3
)
即
40
25
2
k
16
6
1
2
k
k
16
25
故 l 的方程为
y
16
25
x
再讨论 l 与 x 轴垂直的情况.
设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
y
2,1
25
c
2
,
y
4,3
2
c
1
4
5
|3|
由
即
|
AB
8
5
CD
|
y
|
2
y
1
|3|
25
2
c
6
2
c
1
c
y
4
25
|
y
3
241
241
故
l
的方程为
x
25
241
241
综上所述，故 l 的方程为
16y
13
、
y
16
25
x
和
25x
241
241
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