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2004年湖北高考文科数学真题及答案.doc
2004 年湖北高考文科数学真题及答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．设
A
|{
xx
5
k
,1
xxBNk
|{
),
,6
Qx
则},
BA
等于
（
）
A．{1,4}
B．{1,6}
C．{4,6}
D．{1,4,6}
2．已知点 M（6，2）和 M2（1，7）.直线 y=mx—7 与线段 M1M2 的交点 M 分有向线段 M1M2 的比为 3：2，则 m 的
值为
A．
3
2
3．已知函数
B．
2
3
C．
1
4
（
）
D．4
1
,3
处的导数为
则
)(
xf
的解析式可能为
（
）
)(
xf
在
x
A．
)(
xf
(
x
)1
2
(3
x
)1
B．
)(
xf
(2
x
)1
C．
)(
xf
(2
x
2)1
D．
)(
xf
x
1
4．两个圆
xC
1
:
2
2
y
2
x
2
y
2
0
与
xC
:
2
2
2
y
4
x
2
y
01
的公切线有且仅有
）
（
A．1 条
5．若函数
)(
xf
x
a
B．2 条
C．3 条
D．4 条
A．
C．
0
0
a 且
a 且
1
1
b
b
b
0
0
(1
a
且 )1
0
a
的图象经过第二
、三、四象限，则一定有（
）
B．
D．
a 且
a 且
1
1
b
b
0
0
6．四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H，则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面积的比值
是
A．
7．已知
1
27
cba ,
, 为非零的平面向量. 甲：
1
16
B．
C．
1
9
,
ca
ba
乙
（
）
D．
1
8
:
b
c
,
则
（
）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知
x
5
2
,
则
)(
xf
2
x
5
4
x
4
2
x
有
（
）
A．最大值
5
4
B．最小值
9．已知数列{ na }的前 n项和
S
n
则存在数列{ nx }、{ ny }使得
5
4
1(2[
a
2
C．最大值 1
D．最小值 1
n
1
)
]
(2[
b
n
1)(1
2
n
1
)
](
n
),
,2,1
其中 a、b 是非零常数，
（
）
A．
a
n
x
n
y
n
B．
a
n
x
n
y
n
,
,
其中
}{
x
n
为等差数列，{ ny }为等比数列
其中
}{
x
n
和{ ny }都为等差数列
,
,
其中
}{
x
n
为等差数列，{ ny }都为等比数列
其中
}{
x
n
和{ ny }都为等比数列
n
C．
a
n
x
n
y
n
D．
a
n
x
10．若
1
1
a
n
y
,1
b
则下列结论中不．正确的是
（
）
A．
log
a
b
log
a
b
C．
(log
ab
)
2
1
B．
log|
D．
log|
a
a
b
log
b
a
2|
b
|
log|
a
log|
|
b
log
b
a
|
a
b
11．将标号为 1，2，…，10 的 10 个球放入标号为 1，2，…，10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰
好 3 个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（
A．120
B．240
C．360
）
D．720
12．设
y
f
)(t
是某港口水的深度 y（米）关于时间 t（时）的函数，其中
0
t
24
.下表是该港口某一
天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系：
t
y
0
12
3
6
15.1
12.1
9
9.1
12
15
18
11.9
14.9
11.9
21
8.9
24
12.1
经长期观观察，函数
y
f
)(t
的图象可以近似地看成函数
y
Ak
sin(
)
t
的图象.在下面的函数
中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
（
）
A．
y
12
sin3
C．
y
12
sin3
6
12
,
tt
]24,0[
B．
y
12
3
sin(
t
]24,0[
,
tt
]24,0[
D．
y
12
3
sin(
]24,0[),
t
t
),
6
12
2
t
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.
13．Tan2010°的值为
.
14．已知
1
2
(
x
1
2
n
)
x
的展开式中各项系数的和是 128，则展开式中 x5 的系数是
.（以数字作答）
15．某校有老师 200 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量
为 n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为 80 人，则 n=
.
16．设 A、B 为两个集合，下列四个命题：
①A
③A
B 对任意
有,
Ax
Bx
②A
B
BA
B A
B ④A
B 存在
使得,
Ax
Bx
其中真命题的序号是
.（把符合要求的命题序号都填上）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
已知
sin6
2
cos
sin
2
cos
2
,0
[
2
],
,
求
sin(
2
)
3
的值.
18．（本小题满分 12 分）
如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AC 与 BD 交于点 E，CB 与 CB1 交于点 F.
（I）求证：A1C⊥平 BDC1；
（II）求二面角 B—EF—C 的大小（结果用反三角函数值表示）.
19．（本小题满分 12 分）
如图，在 Rt△ABC 中，已知 BC=a.若长为 2a的线段 PQ 以点 A 为中点，问
PQ与 的夹角θ取何值时
BC
BP 的值最大？并求出这个最大值.
CQ
20．（本小题满分 12 分）
直线
:
yl
kx
1
与双曲线
2:
xC
2
2
y
1
的右支交于不同的两点 A、B.
（Ⅰ）求实数 k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k的值；若不
存在，说明理由.
21．（本小题满分 12 分）
为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、
丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为 P）和所需费用如下表：
预防措施
P
费用（万元）
甲
0.9
90
乙
0.8
60
丙
0.7
30
丁
0.6
10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过 120 万元的前提下，请
确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.
22．（本小题满分 14 分）
已知
b
,1
c
,0
函数
)(
xf
bx
的图象与函数
)(
xg
2
x
bx
c
的图象相切.
（Ⅰ）求 b 与 c 的关系式（用 c 表示 b）；
（Ⅱ）设函数
)(
xF
)()(
(
在xgxf
,
)
内有极值点，求 c 的取值范围.
2004 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类（湖北卷）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.
10．D
11．B
7．B
8．D
2．D
3．A
12．A
4．B
5．C
6．C
9．C
13．
3
3
14．35
15．192
16．④
17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等基础知识和基本运算技能，满分 12 分.
解法一：由已知得：
sin3(
2
cos
sin2)(
)
cos
0
sin3
,0
所以
2
cos
,
2
即
cos
sin20
或
).
,
0
(
2
由已知条件可知
cos
于是
tan
,0
tan
.
2
3
cos
sin(
2
)
3
2sin
3
cos
2
sin
3
sin
cos
3
2
2
(cos
sin
2
)
cos
sin
2
cos
2
sin
tan
2
tan
3
2
3
2
1
1
1
将
tan
2
3
代入上式得
sin
sin
2
2
2
2
cos
cos
2
.
2
tan
tan
sin(
2
)
3
2(
)
3
2(1
3
3
2
2
)
2(1
3
2(1
3
2
)
2
)
.3
.
即为所求
6
13
5
26
解法二：由已知条件可知
cos
,0
则
a
2
,
所以原式可化为
)1
.0
.0
2
tan6
即
tan3(
又
2
tan
.0
tan2)(2
(
2
),
,
tan
.
tan
2
3
.
下同解法一
18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.满分 12 分.
解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面 ABCD，则 AC 是 A1C 在底面 ABCD 的射影.
∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.
同理 A1C⊥DC1,又 BD∩DC1=D,
∴A1C⊥平面 BDC1.
（Ⅱ）取 EF 的中点 H，连结 BH、CH，
BF
,
BH
EF
.
BE
CH
BHC
同理
2
2
.
EF
是二面角
C
又 E、F 分别是 AC、B1C 的中点，
EF
B
.
的平面角
1//
2
BEF
与
EF
AB
1
.
CEF
故
BH
CH
于是在
BCH
.
是两个全等的正三角形
3
2
,
由余弦定理
中
6
4
BF
得
,
.
cos
BHC
BH
2
CH
2
BH
2
CH
2
BC
6(
4
2
2
)
BHC
arccos(
)
arccos
故二面角
B
EF
的大小为
6(
4
6
4
2
)
1
6
4
1
3
1
3
C
.
1
3
arccos
1
3
.
解法二：（Ⅰ）以点 C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0).
D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)
DC
1
).1,0,1(
.011
),0,1,1(
CA
DC
1
1
DC
1
即
又
CA
1
CA
1
CA
1
BD
CA
1
),,1,1,1(
BD
BD
,011
,
BD
CA
1
,
DC
D
1
BDC
平面
1
.
（Ⅱ）同（I）可证，BD1⊥平面 AB1C.
则
BDDA
1
,
1
就是所求二面角
.
的平面角补角的大小
BD
),1,1,1(
CA
1
1
cos
BDCA
1
,
1
|
),1,1,1(
BDCA
1
1
CA
BD
1
|
|
|
1
1
3
1
3
.
3
故二面角
B
EF
C
的大小为
arccos
1
3
.
19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分 12 分.
解法一
AP
BP
:
CQ
AB
,
AQ
(
BP
AP
AC
,
AB
AC
,
CQ
AB
AP
()
AB
AQ
.0
)
AC
AQ
AC
,
AQ
AB
AC
AC
AB
AP
AC
AB
AP
)
(
AB
AC
AP
3
a
a
2
a
2
a
2
AQ
AP
AP
1
2
a
2
PQ
BC
cos
.
故当
cos
即
,1
(0
PQ
与
BC
,
)
方向相同
时
BP
CQ
.
其最大值为
最大
.0
解法二：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
,0(
bC
),
),0,(
cB
c
设
且
),0,0(
A
|
|
|
|,
,
b
AC
AB
则
.
|,2|
|
|
PQ
BC
a
a
),
,(
(
,
).
P
yx
y
xQ
设点
的坐标为
则
,
),
(
,
(
),
BP
x
by
x
CQyc
(
),
).2,2(
,
y
PQbc
BC
x
)(
)
(
(
y
BP
CQ
x
c
x
by
2
2
(
)
.
x
cx
y
by
)
cos
PQ
BC
|
|
|
PQ
BC
2
.
cos
a
by
2
CQ
a
a
,1
cos
即
cx
BP
故当
2
.
cos
(0
PQ
与
cx
by
.
2
a
|
BC
,
)
方向相同
时
BC
CQ
最大
,
其最大值为
.0
20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分 12 分.
解：（Ⅰ）将直线
l
的方程
y
kx
1
代入双曲线
C
的方程
2
2
x
2
y
,1
后
整理得
2
(
k
2
)2
x
2
kx
2
.0
……①
2
2
k
,0
(8
)2
,0
2
依题意，直线 l与双曲线 C 的右支交于不同两点，故
2
k
)2(
k
2
k
2
k
2
2
k
k
解得
的取值范围是
2
.0
2
0
k
2
.2
,
1 yx
1
（Ⅱ）设 A、B 两点的坐标分别为
(
)
、
(
x
,
2 y
2
)
，则由①式得
x
1
x
2
x
2
x
2
2
2
k
2
k
k
2
.
2
,
2
……②
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F（c,0）.
则由 FA⊥FB 得：
)
(
c
x
1
(
即
)(
xc
2
)(
xc
.0
)(1
yy
1
(
)
c
kx
)1
.0
2
kx
1
x
1
2
2
整理得
2
(
k
)1
xx
21
(
k
)(
xc
1
x
2
)
2
c
.01
……③
把②式及
6c
2
代入③式化简得
5 2
k
62
解得
k
可知
k
k
6
6
6
6
5
5
6
.0
或
k
6
6
5
,2(
)(2
).
舍去
使得以
AB
为直径的圆经过双曲线
C
.
的右焦点
21．本小题考查概率的基础知识以及运用概率知识解决 实际问题的能力，满分 12 分.
解：方案 1：单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不
发生的概率最大，其概率为 0.9.
方案 2：联合采用两种预防措施，费用不超过 120 万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事
件不发生的概率最大，其概率为
1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.
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