2010年云南昆明理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2010 年云南昆明理工大学数学分析考研真题 A 卷考生答题须知 1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。请考生务必在答题纸上写清题号。 2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。 3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。 4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。 1、证明 lim x   f x   的充分必要条件是：对任何数列 A x n   ,  f x n   .（14 分） A 2、设  f x 具有二阶连续导数，且  0  f  ，证明函数  0 g x  ,       f   f x x   0 , x  0 x  0 可导且导函数连续.（14 分） 3、设  f x 在  ,a b 上可导，  f a     f b  0, f    a   0,    f b   证明方程  x 0, f   0 在 ,a b 内至少有两个不同的实根. （12 分） 

4、试证：当 a b   时，函数  f x 1 0   2 x  x ax b  1  取得极值. （14 分） 5、设  f x 连续，且  tf x t dt    x  0   1 cos , x ，求  f x dx   2  0 .（14 分） 6、证明：若数列 nna 收敛，且级数   n 1   n a n  a 1  n 收敛，则级数  也收敛. （10 分） a n  n 1  7、将函数  f x   arctan 1 1   x x 展成 x 的幂级数，并求  nf   0 . （16 分） 8、设  , F x x  , y x   y z   ，其中  0 F x y z 具有二阶连续偏导数，求 , ,  z 2 2  x  .（12 分） 9、证明：曲面  z  n  m  l 1 2   x y F nx lz ny mz   ,   在任意点处的切平面都平行于直线 0 3 ，其中 F 具有连续的偏导数. （12 分） 10、设在上半平面 D     , x y y   内，函数  0  f x y 具有连续的偏导数，且对任意的 0 t  , 都有  f tx ty ,  2  t   , f x y  L ，证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L ，都有  xf x y dy （12 分） yf x y dx 0.      , ,

11、设函数  f x 在  ,  上连续，且满足  f   t  2 2 x  2  y  2 x  2 y  f  2 x  2 y  dxdy  t 4 2  t ，求   f t .（12 分） 12 、设 f x g x 在区间      , ,a b 上连续，证明：  f x g x dx    b     （8 分） a 2     b  a f 2   x dx  b  a 2 g   x dx .

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