2019年江苏高考数学真题及答案.doc-资料库

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2019 年江苏高考数学真题及答案数学Ⅰ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：样本数据 1 , x x 2 , x… 的方差 , n 2 s  1 n  n  1 i x  i x 2 ，其中 x 1 n   ． n  1 i x i 柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．锥体的体积 V  1 3 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合 { 1,0,1,6} A   ， { | x x B   0, x  R ，则 A B  } ▲. 2．已知复数 ( a  2i)(1 i)  的实部为 0，其中i 为虚数单位，则实数 a的值是▲. 3．下图是一个算法流程图，则输出的 S的值是▲. 4．函数 y  7 6  x 2  的定义域是▲. x

5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲. 6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是▲. 7．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 x  2 2 y b  1( b  经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲. 0) 8．已知数列 { }( na n  N 是等差数列， nS 是其前 n项和.若 2 5 a a ) *  a 8  90, S  ，则 8S 的值是▲. 27 9．如图，长方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 的体积是 120，E为 1CC 的中点，则三棱锥 E-BCD的体积是▲. 10．在平面直角坐标系 xOy 中，P是曲线 y   x 4 ( x x 小值是▲.  上的一个动点，则点 P到直线 x+y=0 的距离的最 0) 11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A在曲线 y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A的坐标是▲. 12．如图，在 ABC△ 中，D是 BC的中点，E在边 AB上，BE=2EA，AD与 CE交于点O .若   AB AC    6 AO EC   ，则 AB AC 的值是▲. 13．已知 tan  π     4   tan   2 3 ，则  sin 2   π   4  的值是▲. 14．设 ( ), f x g x 是定义在 R 上的两个周期函数， ( ) ( ) f x 的周期为 4， ( )g x 的周期为 2，且 ( ) f x 是奇函数.

当 x  2( ]0, 时， ( ) f x  1 (  x 2 1)  ， ( ) g x     ( k x  1 ,1 2  2),0   x 1   x 2 ，其中 k>0.若在区间(0，9]上，关于 x的方程 ( ) f x  ( ) g x 有 8 个不同的实数根，则 k的取值范围是▲. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．（1）若 a=3c，b= 2 ，cosB= 2 3 ，求 c的值；（2）若 A  sin a cos B 2 b ，求sin( B 16．（本小题满分 14 分）  的值． )  2 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E分别为 BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面 DEC1；（2）BE⊥C1E． 17．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C: 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的焦点为 F1（–1、0）， 0) b F2（1，0）．过 F2 作 x轴的垂线 l，在 x轴的上方，l与圆 F2: ( x  1) 2  2 y  2 4 a 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C于点 E，连结 DF1．已知 DF1= 5 2 ．

（1）求椭圆 C的标准方程；（2）求点 E的坐标． 18．（本小题满分 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB是圆 O的直径）．规划在公路 l上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA．规划要求：线段 PB、QA上的所有点到点 O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点 A、B到直线 l的距离分别为 AC和 BD（C、D为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路 PB与桥 AB垂直，求道路 PB的长；（2）在规划要求下，P和 Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB和 QA的长度均为 d（单位：百米）.求当 d最小时，P、Q两点间的距离． 19．（本小题满分 16 分）设函数 ( ) f x  ( , x a x b x c a b c  )( )( ),   ,  R 、 ( ) f ' x 为 f（x）的导函数．（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a的值；（2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和 ( ) f ' x 的零点均在集合{ 3,1,3}  中，求 f（x）的极小值；（3）若 0,0  a  b 1, c  1 ，且 f（x）的极大值为 M，求证:M≤ 4 27 ． 20．（本小满分 16 分）

定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an} ( n N 满足： 2 4 a a ) *  , a a 5 3  4 a 2  4 a 4  ，求证：数列{an}为“M－数列”； 0 （2）已知数列{bn} ( n N 满足： 1 b ) *  1, 1 S n  2 b n  2 b  1 n ，其中 Sn为数列{bn}的前 n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设 m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ( 立，求 m的最大值． n N ，对任意正整数 k，当 k≤m时，都有 ) * c k b k c  1 k 成 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6} 2.2 3.5 4.[ 1,7]  5. 5 3 6. 7 10 7. y   2 x 8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12. 3 13. 2 10 14.    2, 1 3 4     二、解答题 15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分. 解：（1）因为 a  3 , c b  2,cos B  ， 2 3 2 3 由余弦定理 cos B  2 a 2 b 2 c   2 ac ，得 (3 ) c  2 2 2 c  2 3  ( 2)  c c  ，即 2 1 c  . 3 所以 c  （2）因为由正弦定理从而 2 cos . 3 3 sin a a sin  B ，，得  A cos B 2 b b sin A 2 (2sin ) B  B cos B 2 b 2 B  B sin b  ，即 cos   4 1 cos 2 B  ，故 2 cos ，所以 cos B  2sin . B 4 B  . 5 因为sin 0B  ，所以 cos B  2sin B  ，从而 0 cos B  2 5 5 .

因此 sin B    π   2   cos B  2 5 5 . 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分. 证明：（1）因为 D，E分别为 BC，AC的中点，所以 ED∥AB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1，所以 A1B1∥ED. 又因为 ED⊂平面 DEC1，A1B1  平面 DEC1，所以 A1B1∥平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E为 AC的中点，所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE. 因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC=C，因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E. 所以 BE⊥平面 A1ACC1. 17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分. 解：（1）设椭圆 C的焦距为 2c. 因为 F1(-1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1. 又因为 DF1= 5 2 ，AF2⊥x轴，所以 DF2= 2 DF 1 2 F F 1 2  ( 5 2 2 )  2 2  ， 3 2 因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2. 由 b2=a2-c2，得 b2=3. 因此，椭圆 C的标准方程为 2 x 4 2 y 3 1  . （2）解法一：由（1）知，椭圆 C： 2 x 4 2 y 3  ，a=2， 1 因为 AF2⊥x轴，所以点 A的横坐标为 1.

将 x=1 代入圆 F2 的方程(x-1) 2+y2=16，解得 y=±4. 因为点 A在 x轴上方，所以 A(1，4). 又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2. ，得 25 x 6 x  11 0  ，由    y  ( x  2 x 2 ) 1 2  y  2  16 11 5 x   代入 2 x x   y . 将因此解得 1x  或 11 5 11 ( B  5 3 ( 4 2 y 3 y  由 2 x 4        x  ，得 2 y   ， 12 5 .又 F2(1，0)，所以直线 BF2： ,  12 5 ) y  3 ( 4 x 1)  .  1)  1 ，得 27 x 6 x  13 0  ，解得 x   或 1 x  13 7 . 又因为 E是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 3 2 x   代入 1)  ，得 3 ( 4 将 1  y x y   .因此 1 x   . E   ( 1, 3 2 ) . 解法二：由（1）知，椭圆 C： 2 x 4 2 y 3  .如图，连结 EF1. 1 因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而∠BF1E=∠B. 因为 F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而 EF1∥F2A. 因为 AF2⊥x轴，所以 EF1⊥x轴. x 因为 F1(-1，0)，由 2 x 4        1 2 y 3 ，得  1 y   . 3 2 又因为 E是线段 BF2 与椭圆的交点，所以因此 E   ( 1, 3 2 ) . y   . 3 2 18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.

解：解法一：（1）过A作 AE BD ，垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形， DE BE AC    6, AE CD   .' 8 因为PB⊥AB，所以 cos  PBD   sin 所以 PB  BD  PBD cos   4 5 . 8 ABE  10 12 15 4 5  . 因此道路PB的长为15（百米）. （2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知 AD  2 AE  2 ED  ， 10 从而 cos  BAD  2 AD AB  2   2 AD AB BD 2  7 25  0 ，所以∠BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求. 设 1P 为l上一点，且 1PB AB ，由（1）知， 1P B=15，此时 1 PD PB 1  sin  PBD PB 1 1  cos  EBA  15   ； 9 3 5 当∠OBP>90°时，在 1PPB△ 中， PB PB 1  15 .

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