2002年江苏高考数学真题及答案.doc-资料库

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2002 年江苏高考数学真题及答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）函数 ( ) f x  sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 ( ) A．  2 B． C． 2 D． 4 2．（5 分）圆 ( x 2  1)  2 y 1  的圆心到直线 y  3 3 x 的距离是 ( ) A． 1 2 3．（5 分）不等式 (1  x B． 3 2 |) x )(1 |   的解集是 ( 0 C．1 ) D． 3 A．{ | 0 x x  1} B．{ | x x  且 0 x   1} C．{ | 1    x x 1} D．{ | x x  且 1 x   1} 4．（5 分）在 (0,2 ) 内，使 sin  ， 5 )  4 A． ( (  4  4  ， ) 2 ， 5 )  4 C． ( x  cos x 成立的 x 的取值范围是 ( ) B． ( D． (  4  4 ， ) ，   ， 3 )  ) 2 5  4 ( 5．（5 分）已知集合 M x x { |   k   2 4  ， k Z ， { | x x N  } A． M N B． M N C． M N  k   4 2  ， k Z ，则 ( } ) D． M N   6．（5 分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是 ( B． 4 A． 3 4 3 | | x x a 7．（5 分）函数 ( ) f x   ) C． 3  5 D． 3 5  是奇函数的充要条件是 ( b ) A． ab  0 B． a b  0 C． a b D． 2 a 2 b  0 8．（5 分）已知 0     ，则有 ( 1 a x y A． log ( ) 0 a xy  B． 0 log (  a xy 9．（5 分）函数 y 1   1  ( 1 x ) A．在 ( 1,   内单调递增 ) ) ) 1  C．1 log (  a xy )  2 D． log ( a xy  ) 2 B．在 ( 1,   内单调递减 ) C．在 (1, ) 内单调递增 D．在 (1, ) 内单调递减 10．（5 分）极坐标方程 cos  与   的图形是 ( cos 1 2 )

A． C． B． D． 11．（5 分）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 ( ) A．8 种 B．12 种 C．16 种 D．20 种 12．（5 分）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3% ”，如果“十  五”期间 (2001 年 2005  年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十  五”末我国国内年生产总值约为 ( ) A．115000 亿元 B．120000 亿元 C．127000 亿元 D．135000 亿元二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）椭圆 2 x 5 2 ky  的一个焦点是 (0,2) ，那么 k  5 ． 14．（4 分）在 2 x (  1)( x 7  的展开式中 3x 的系数是 2) 15．（4 分）已知 sin a  cos 2 a ( a  ， )) ，则 tga   ( 2 16 ．（ 4 分）已知函数 f (1)  f (2)  f ( 1 2 )  f (3)  f 1 ( ) 3  f (4)  f ( 1 4 )  ．三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）．． ( ) f x  x  2 x 2 1 ，那么 17．（12 分）已知复数 1z   ，求实数 a ， b 使 i az  2 bz  ( a  2 2 ) z ． 18．（12 分）设{ }na 为等差数列，{ }nb 为等比数列， 1 a b 1 1 a  ， 2  a 4 b b  ， 2 4 b 3 a ，分 3 别求出{ }na 及{ }nb 的前 10 项的和 10S 及 10T ． 19．（12 分）四棱锥 P ABCD  的底面是边长为 a 的正方形， PB  平面 ABCD ．（1）若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60 ，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于 90 ．

20．（12 分）设 A 、 B 是双曲线 2 x  2 y 2 ( )I 求直线 AB 的方程  上的两点，点 (1,2) N 1 是线段 AB 的中点． ( )II 如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C 、 D 两点，那么 A 、 B 、 C 、 D 四点是否共圆？为什么？ 21．（12 分）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2) ，要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1、图 2 中，并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3) ，要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明． 22．（14 分）已知 0 a  ，函数 ( ) f x  ax bx  ． 2 （1）当 0 b  时，若对任意 x R 都有 ( ) 1 f x ，证明 2a b ；（2）当 1b  时，证明：对任意 [0 x  ，1] ，| f x 的充要条件是 1 ( ) | 1 a  b 2 b ；（3）当 0 1b 时，讨论：对任意 [0 x  ，1] ，| ( ) | 1 f x 的充要条件．

参考答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）函数 ( ) f x  sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 ( ) A．  2 【解答】解：函数 ( ) f x  故选： A ． B． sin 2 x cos 2 x C． 2  tan 2 x ，所以函数的最小正周期为： D． 4 T   2 2．（5 分）圆 ( x 2  1)  2 y 1  的圆心到直线 y  A． 1 2 B． 3 2 3 3 x 的距离是 ( ) C．1 D． 3 【解答】解：由 ( x 2  1)  2 y 1  得：圆心 (1,0) ，所以根据点到直线的距离公式得： d  3 3 | 2 )   ( 1) 2 | 3( 3  3 3 2 3 3  1 2 ．故选： A ． 3．（5 分）不等式 (1  x )(1 |  x |)  的解集是 ( 0 ) A．{ | 0 x x  1} B．{ | x x  且 0 x   1} C．{ | 1    x x 1} D．{ | x x  且 1 x   1} 【解答】解：求不等式 (1  x )(1 |  x |)  的解集 0 则分两种情况讨论：情况 1: 1 0 x      1 | | 0 x   即： 1 x      1 X   1 则： 1    ． 1x 情况 2 : 1 0 x      1 | | 0 x   即： X X    1   1 X  或 1 则： x   1 两种情况取并集得{ | x x  且 1 x   ． 1} 故选： D ． 4．（5 分）在 (0,2 ) 内，使 sin x  cos x 成立的 x 的取值范围是 ( )

 ， 5 )  4 ( A． ( C． (  4  4  ， ) 2 ， 5 )  4  【解答】解： sin x  cos x ， B． ( D． (  4  4 ， ) ，   ， 3 )  ) 2 5  4 (  sin( x   ) 4  ， 0  2 k    x  4  2 k    ( k Z  ， ) 在 (0,2 ) 内，， , x   5   ( ) 4 4 故选： C ． 5．（5 分）已知集合 M x x { |   k   2 4  ， k Z ， { | x x N  } A． M N B． M N C． M N  k   4 2  ， k Z ，则 ( } ) D． M N   【解答】解：对于 M 的元素，有 2  x 1  k  4 ，其分子为的奇数倍；  ，其分子为的整数倍；对于 N 的元素，有 x  分析易得， M N ； k 2  4 故选： C ． 6．（5 分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是 ( A． 3 B． 4 3 4 ) C． 3  5 D． 3 5 【解答】解：设圆锥的半径为 R ，高为 H ，母线与轴所成角为，则圆锥的高 H R ctg   圆锥的体积 V 1   2 R H   1 3  3 R ctg  半球的体积 V 2 R 3 1 3 2 3  3 R ctg R   2 3 3 V V 2 1 即： 1 3 ctg  2    cos 2 3 5 故选： D ． 7．（5 分）函数 ( ) f x  | x x a  |  是奇函数的充要条件是 ( b )

A． ab  0 B． a b  0 C． a b D． 2 a 2 b  0 【解答】解：根据奇函数的定义可知 f (  x )   | x a  x | b    ( ) f x   | x x a  | b  对任意 x 恒成立 a  ， 0 b  ，故选 D 0 8．（5 分）已知 0     ，则有 ( 1 a x y A． log ( ) 0 a xy  B． 0 log (  a xy ) ) 1  C．1 log (  a xy )  2 D． log ( a xy  ) 2 【解答】解： 0       1 log a x y x  log a a a  1 ， log y  log a a  1 a  log ( a xy )  log a x  log a y  2 故选： D ． 9．（5 分）函数 y 1   1  ( 1 x ) A．在 ( 1,   内单调递增 ) B．在 ( 1,   内单调递减 ) C．在 (1, ) 内单调递增 D．在 (1, ) 内单调递减【解答】解： y   1  1 x 是 y   向右平移 1 个单位而得到， 1 x 故 y 1   1  1 x 在 (1, ) 上为增函数，在 (  上为增函数． ,1) 故选： C ． 10．（5 分）极坐标方程 cos  与   的图形是 ( cos 1 2 ) A． C．【解答】解： cos  B． D．两边同乘以 得 2    cos  利用 2   2 x 2  ， cos   ， sin   ，进行化简得 x y y

2 x  2 y cos   与 1 x x  2 ， 0) 为圆心， 1 2 表示 1( 2 为半径的圆，   表示直线 1 cos x  2 1 2 故选： B ． 11．（5 分）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 ( ) A．8 种 B．12 种 C．16 种 D．20 种【解答】解：使用间接法，首先分析从 6 个面中选取 3 个面，共 3 6C 种不同的取法，而其中有 2 个面相邻，即 8 个角上 3 个相邻平面，选法有 8 种，则选法共有 3 C   种； 6 8 12 故选： B ． 12．（5 分）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3% ”，如果“十  五”期间 (2001 年 2005  年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十  五”末我国国内年生产总值约为 ( ) A．115000 亿元 B．120000 亿元 C．127000 亿元 D．135000 亿元【解答】解：根据题意，有 95933(1 7.3%)  4  127164.8 ，故选： C ．二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）椭圆 2 x 5 2 ky  的一个焦点是 (0,2) ，那么 k  5 1 ．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：  ， 1 2 x  2 y 5 k 因为焦点坐标为 (0,2) ，所以长半轴在 y 轴上，则 c  5 1   ，解得 1 k k  ． 2 故答案为：1． 14．（4 分）在 2 x (  1)( x 7  的展开式中 3x 的系数是 1008 ． 2) 【解答】解： 2 x (  1)( x 展开式的 3x 的系数 7  的展开式中 3x 的系数等于 2) ( x  展开式的 x 的系数加上 2) 7 ( x  7 2)

( x  展开式的通项为 2) 7 rT   1 7 r C x  7 r r ( 2)  令 7 1r  ，得 6 r  故 ( x  展开式的 x 的系数为 6 2) 7 7 ( 2) C  6  448 令 7 r  得 4 r  故 3 ( x  展开式的 3x 的系数为 4 2) 7 7 ( 2) C  故展开式中 3x 的系数是 448 560 1008   故答案为：1008． 15．（4 分）已知 sin a  cos 2 a ( a  ， )) ，则 tga  4  560  3 3 ．  ( 2  ( 2 1 2   sin cos   ， 3 3 【解答】解： sin  a  cos 2 a ( a  ， )) ，  sin a   1 2sin 2  ，  sin  ，或 sin 1  （舍去），  cos   ， 3 2  tan   故答案为： 3 3  ． 16．（ 4 分）已知函数 ( ) f x  x  2 x 2 1 ，那么 f (1)  f (2)  f ( 1 2 )  f (3)  f 1 ( ) 3  f (4)  f ( 1 4 )  7 2 ．【解答】解： ( ) f x  x  2 x 2 1 ，  f ( 1 x )  1  ( ) f x  f 2 1 x  1 x ( ) 1  f （2） 1( 2 f  ， f （3） 1( ) 1 ) 1 f  ， f （4） 1( 4 f  ， f （1） 1 ) 1  2 3  f (1)  f (2)  f ( 1 2 )  f (3)  f 1 ( ) 3  f (4)  f ( 1 4 )  7 2 故答案为： 7 2 三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17．（12 分）已知复数 1z   ，求实数 a ， b 使 i az  2 bz  ( a  2 2 ) z ．【解答】解：  1z   i ，   az 2 bz  ( a  2 ) b  ( a  2 ) ( b i a  2 2 ) z  ( a  2 2)   4 4( a  2) i

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