2008年新疆高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年新疆高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 10 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件 A B，互斥，那么 ( P B ( P A B ( ) P A    ) ) 如果事件 A B，相互独立，那么球的表面积公式 S  2 4π R 其中 R 表示球的半径 ( P A B  )  ( ( P A P B )  ) 球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 V  3 4 π R 3 其中 R 表示球的半径 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) P k k  k C p k n (1  p ) n k  ( k  0 1 2 n ，，，， ) 一、选择题 1．设集合 M m  {    | 3 Z m  2} ， N | 1    { n Z ≤ ≤ n 3} 则， M N  （） A． 0 1， B．  1 0 1  ，， C．  0 1 2，， D．  1 0 1 2  ，，， 2．设 a b  R，且 0 b  ，若复数 ( a bi ) 3 是实数，则（） A． 2 b 23 a B． 2 a 23 b C． 2 b 29 a D． 2 a 29 b 1 x 3．函数 ( ) f x A． y 轴对称 C．坐标原点对称   的图像关于（ x ） B．直线 D．直线 x y  对称 y  对称 x 4．若 x (  e 1 1) a ，，  ln x b ，  2ln x c ，  3 ln x ，则（）第 1 页共 11 页

A． a 14．设曲线 y ax e 在点 (0 1)，处的切线与直线 2 y x 1 0   垂直，则 a  ． 15．已知 F 是抛物线 4 C y x： 2 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A B，两点．设 FA FB ，则 FA 与 FB 的比值等于． 16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① 充要条件② （写出你认为正确的两个充要条件）；．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） B   ，中， cos 在 ABC△ （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设 ABC△ 的面积 5 13 cos C  ． 4 5 S △ ABC  33 2 ，求 BC 的长． 18．（本小题满分 12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 410 ． 1 0.999  （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率 p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分 12 分）如图，正四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 AA 中， 1  2 AB  ，点 E 在 1CC 上且 4 EC 1  3 EC ．（Ⅰ）证明： 1AC  平面 BED ；（Ⅱ）求二面角 1A DE B  的大小．  第 3 页共 11 页 D1 A1 D A C1 B1 E C B
20．（本小题满分 12 分）设数列 na 的前 n 项和为 nS ．已知 1a a ， 1 n   a S n  ， 3n n N ． * （Ⅰ）设 b n S n  ，求数列 nb 的通项公式； 3n （Ⅱ）若 1n a  ≥ ， a n n  N ，求 a 的取值范围． * 21．（本小题满分 12 分）设椭圆中心在坐标原点， (2 0) A B，，，是它的两个顶点，直线 (0 1) y  kkx (  )0 与 AB相交于点 D，与椭圆相交于 E、F两点．（Ⅰ）若  ED  DF  6 ，求 k 的值；（Ⅱ）求四边形 AEBF 面积的最大值． 22．（本小题满分 12 分）设函数 ( ) f x  sin x 2 cos  x ．（Ⅰ）求 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何 x≥ ，都有 ( ) f x 0 ax≤ ，求 a 的取值范围．参考答案和评分参考评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．第 4 页共 11 页
一、选择题 1．B 7．B 二、填空题 2．A 8．B 3．C 9．B 4．C 10．C 5．D 11．A 6．D 12．C 13．2 14．2 5．3 2 2  16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）由由 cos C  ，得 B  ， 12 13 sin 5 13 sin B   ，得 3 5 sin cos C  ． B  ) sin( cos 4 5  所以 sin A （Ⅱ）由 △ ABC  B C 33 2  得  S 1 2 C  cos B sin C  ．······································5 分 33 65 33 2   A sin sin  ， AB AC 33 A  ， 65 65  ，··············································································· 8 分 sin  sin C 65 AB  ， AB  ． sin A C  ．···································································10 分 AB AC AB AC 20 13 BC AB 13 2  sin 20 13 11 2 AB B ，    2 由（Ⅰ）知故又故所以 18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，记投保的 10 000 人中出险的人数为，则  ~ (10 B 4 ，． p ) （Ⅰ）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则 A 发生当且仅当 0 ，······································································································2 分 ( P A ) 1   ) ( P A 1   ( P   0) 第 5 页共 11 页
1 (1    410 )p ，又 ( P A   ) 1 0.999 410 ，故 p  0.001 ．································································································5 分（Ⅱ）该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出盈利 10 000  50 000 ，   10 000 a  (10 000   50 000) ，盈利的期望为 E   10 000 a  10 000 E   50 000 ，··········································· 9 分由 B 3 ~ (10 10 ) ，知， 4 E  10 000 10   3 ， E   10 4 a 4  10 E    5 10 4  4 10 a 4  10 4  10  10 3    ． 5 10 4 E≥ 0 4 a 10 4  10  10 5 10   ≥ 4 0 a  10 5  ≥ 0 a ≥ （元）． 15 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元．·························································· 12 分 19．解法一： AB  ， 2 依题设知（Ⅰ）连结 AC 交 BD 于点 F ，则 BD AC CE  ． 1 ．由三垂线定理知， BD AC 1 ．········································································· 3 分在平面 1ACA 内，连结 EF 交 1AC 于点G ，  2 2 ， D1 A1 C1 B1  AA AC 由于 1 FC CE △ A AC 1 Rt 故 ∽ △ Rt FCE ，  1AAC   CFE ， CFE 与 1FCA 互余．于是 1AC EF ． 1AC 与平面 BED 内两条相交直线 BD EF，都垂直，第 6 页共 11 页 D A F E H G C B
所以 1AC  平面 BED ．···················································································6 分（Ⅱ）作GH DE ，垂足为 H ，连结 1A H ．由三垂线定理知 1A H DE ，故 1A HG 是二面角 1A DE B   的平面角．························································ 8 分 EF  2 CF  CE 2  ， 3 CG  CE CF  EF  2 3 ， EG  2 CE CG  2  3 3 ． EG EF  ， 1 3 GH   1 3 EF FD  DE  2 15 ．又 AC 1  2 AA 1  2 AC  2 6 AG AC CG   ， 1 1  5 6 3 ． tan  A HG 1   5 5 ． AG 1 HG  所以二面角 1A DE B  的大小为 arctan 5 5 ．·················································· 12 分 z D1 A1 D A x C1 B1 E C y B 解法二：以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 D xyz ．依题设， B (2 2 0) ，，，，，，，，，，，． C (0 2 0) E (0 2 1) (2 0 4) A 1  DE  AC 1  DB ，，， (0 2 1)    ( 2 2 ，，， (2 2 0)   DA ，，， 1   AC DB  4) 0    （Ⅰ）因为 1 (2 0 4) ，，．······································································3 分   AC DE  ， 0 ， 1  ．， 1AC DE 故 1AC BD 又 DB DE D 所以 1AC  平面 DBE ．··················································································· 6 分  ， n （Ⅱ）设向量 ( x z  ，，  1DA  DE ，． n n y ) 是平面 1DA E 的法向量，则故 2 y z  ， 2 0 x 4 z  ． 0 第 7 页共 11 页
令 1y  ，则 z   ， 4 x  ， (4 1 ，， n  2 2) ．······················································ 9 分  1AC ，n 等于二面角 1A DE B   的平面角，  n AC ， 1  cos  AC  1 AC 1 n n  14 42 ．所以二面角 1A DE B  的大小为  arccos 14 42 ．··················································12 分 20．解：（Ⅰ）依题意， 1  n S  S n  a n 1   S n  ，即 1 n 3n   S 2 S n  ， 3n 由此得 S n 1 3   n 1   2( S n  ．········································································ 4 分 n 3 ) 因此，所求通项公式为 b n  S n  n 3  ( a  3)2 n 1  ， n N ．①·······························································6 分 * （Ⅱ）由①知 nS  n 3  ( a  3)2 n 1  ， n  N ， * 于是，当 n≥ 时， 2 a n  S n  S  1 n  n 3  ( a 3) 2   n 1  1   n 3  ( a 3) 2   n  2 2 3   n 1   ( a  3)2 n  2 ， a   1 n a n 4 3   n 1   ( a  3)2 n  2  n 2 n  2   2 12        3 2      a 3     ，当 n≥ 时， 2 a n 1  ≥ a n 12   n  2    3 2      a 3 ≥ 0 a ≥ ． 9 a 又 2  a 1   ． 3 a 1 综上，所求的 a 的取值范围是 9  ，．·························································· 12 分  第 8 页共 11 页

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