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数字图像处理第四章答案.doc
4.1 重复例 4.1，但是用函数 ( )
t
的 t 值。对你的结果和例子中的结果之间的任何不同，解释原因。
解：
和 ( ) 0
2 (
A W
/ 4)
/ 4
W
f
f
t ，对于其他所有
F
W
4
W
4
f
t e
j
2
t
dt
j
2
t
2
Ae
dt
A e
j
j
2
t
W
4
W
4
A e
j
j W
A e
2
j
j W
2
j W
2
e
j W
2
e
j
W
2
sin
F
sin
AW
j
e
e
2
j
2 sin
A
W
2
W
2
傅立叶变换的幅值是不变的；由于周期不同，
~
F
4.2 证 明 式 （ 4.4-2 ）
f
~
t e
f
f e
n
f
n
n
j
2
n Tt
n
j
2
t
dt
t
t
t n T e
j
2
t
dt
t n T e
j
2
t
dt
中 的
~
F 在两个方向上是无限周期的，周期为1/ T
证明：
(1) 要证明两个方向上是无限周期1/ T ，只需证明
根据如下式子：
可得：
其中上式第三行，由于 k, n 是整数，且和的极限是关于原点对称。
(2) 同样的需要证明
根据如下式子：
~
F
可得：
j
2
t
dt
t
t
t n T e
j
2
t
dt
t n T e
j
2
t
dt
n
f
~
f
t e
f e
n
f
n
j
2
n Tt
n
其中第三行由于 k, n 都为整数，所以
4.3 可以证明（Brancewell[2000]）1
j
2
kn
e
1
。
( ) 1
t
和
( )
t
。
使用前一个性质和表 4.3 中的平移性质，证明连续函数 ( )
t
f
cos(2
nt
)
的傅立叶
变换是
F
1/ 2
n
n
，其中是一个实数。
证明：
根据一维傅里叶变换公式：
utj
etf
)(
2
dt
utj
cos(
ent
)
2
2
dt
ntj
2
e
[
utj
ntj
e
]
e
2
2
dt
可得：
F(u)
1
2
1
2
2
ntj
utj
ee
2
dt
1
2
ntj
utj
ee
2
2
dt
根据傅里叶变换性质可得：
根据一个常数 f(t)=1 的傅里叶变换是一个脉冲响应可得：
j
2
nt
所以可得如下两个等式：
(1)
(1)
(
)
n
( + )
n
e
e
nt
- 2
j
所以：
F(u)
1
2
(
nu
)
)
(
nu
4.4 考虑连续函数 ( )
t
f
cos(2
nt
)
f
f
(a)
t 的频率是多少?
t 的周期是多少？(b)
(a) 根据 2
(b) 频率为 n ，给定的正弦波的连续傅立叶变换如在图。 P4.4（a）（见习题 4.3），采样数据
（示出了几个期间）的变换所示的一般形式的如图 P4.4（b）（虚线框是一个理想的过滤器，
，所以周期为 1/
nt
2
n
t
将允许重建如果该正弦函数进行采样，采样定理满意）。
4.8
解：
(a) 根据正交性，将式(4.4-5)直接代入式(4.4-4)得
M
1
M
1
1[
M
0
r
1
M
0
n
1
M
F
r
[
r
0
n
0
F
m
1
M
F
m
j
F e
r
2
rn M
/
2
j mn M
/
]
e
e
j
2
rn M
/
2
j mn M
/
]
e
最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件，将式(4.4-4)代入式(4.6-5)应用同样的过程生
成 nf 的相似特性。
(b) 如上小题，根据正交性，将式(4.4-7)直接代入式(4.4-6)得
( )
F r e
j
2
rx M
/
j
2
/
x M
]
e
F r
( )[
2
rx M
/
j
e
j
2
/
x M
]
e
1
M
M
1
[
1
M
0
r
M
0
1
x
0
F
(
)
x
1
M
1
M
0
r
)
(
F
最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件，将式(4.4-6)代入式(4.6-7)应用同样的过程
生成
f x 的相似特性。
4.9 证明式(4.4-8)
F u kM F u
和式(4.4-9)
f x
kM
f x
的正确性。
证明：
(1) 证明等式
F u kM F u
k
0, 1, 2...
将u
u kM
代入 4.4.6 式
F u
1
M
n
0
( )
f x e
j
2
ux M
/
,
u
0,1,2,
,
M
1
：
F u kM
1
M
n
0
( )
f x e
j
2 (
u kM x M
) /
M
1
0
F(u)
n
( )
f x e
j
2
ux M
/
j
2
kx
e
最后一步因为 k 和 x 都是整数，
(2) 同理可以对 4.4.9 式周期性的证明，将u
j
2
kx
e
1
。
u kM
代入 4.4.7 式
f x
1
M
1
M
n
0
( )
F u e
j
2
ux M
/
,
u
0,1,2,
,
M
1
1
M
1
M
n
0
1
M
n
0
F u e
j
2 (
u kM x M
) /
F u e
j
2
ux M
/
j
2
kx
e
f x
kM
=
1
M
f x
4.10 证明一个变量的离散卷积定理的正确性[见式(4.2-21)、式(4.2-22) 和式
(4.2-10) ]。
证明：
证明卷积定理等价于证明
( )
f x
( )
h x
F(u)H(u)
和
( ) ( )
f x h x
F(u) H(u)
从式 4.4.10
( )
f x
( )
h x
1
M
m
0
(
f m h x m
) (
)
和式 4.4.6
F u
1
M
n
0
( )
f x e
j
2
ux M
/
,
u
0,1,2,
,
M
1
离散傅里叶变换的定义，得到：
xf
)(
)(
xh
M
1
M
1
x
0
m
0
emxhmf
()(
)
1
mf
)(
1
emxh
)
(
M
x
0
1
mf
)(
H(u)
e
j
2
um
/
M
M
m
M
m
0
0
emf
)(
M
1
H(u)
0
H(u)F(u)
m
j
2
um
/
M
j
2
ux
/
M
j
2
ux
/
M
同理可以证明 ( ) ( )
f x h x
F(u) H(u)
M
1
M
1
x
0
0
m
)(
mF
emtHmF
()(
Muxj
2
/
)
1
M
M
1
x
0
emtH
)
(
Muxj
2
/
mF
)(
h(x)
e
Mumj
2
/
)(
xh
emF
)(
Mumj
2
/
1
uHuF
)(
)(
1
2
M
1
M
1
M
M
1
m
0
M
1
m
0
1
M
M
1
0
m
)()(
xfxh
4.11 写出二维连续卷积的表达式
对 4.2.20 式进行卷积运算得到：
f(t,z) h(t,z)
f
(
)
d d
) (
h t
z
,
,
4.14 证明一维连续和离散傅里叶变换都是线性操作
解：
若连续傅里叶变换
是线性的，只需证明：
代入傅立叶变换定义
其中第二步由于积分的分配率。
同样的，离散傅里叶变换：
4.16 证明连续和离散傅里叶变换都是平移和旋转不变的。
证明：
平移不变：根据二维离散傅立叶变换
可得
旋转不变：根据二维离散傅立叶反变换
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