2008年上海高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年上海高考文科数学真题及答案考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分．考试时间 120 分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．不等式| x   的解集是 1| 1 ． 2．若集合 A  { | x x  、 { | x x 2} B   满足 }a A B  2 ，则实数 a  ． 3．若复数 z 满足 z  i (2  （i 是虚数单位），则 z  z ) 4．若函数 ( )  5．若向量 a 、b 满足| f x 的反函数 1  f log ( ) x   a  ，| | 1 b  | 2 2 ，则 ( ) x f x   ，且 a 与b ．．   | a b  ，则|  3 ．的夹角为 6．若直线 ax y   经过抛物线 2 y 1 0 x 的焦点，则实数 a  4 7．若 z 是实系数方程 2 x  2 x   的一个虚根，且| p 0 | 2 z  ，则 p  ．． 8．在平面直角坐标系中，从五个点： (0,0) A 、 (2,0) B 、 (1,1) C 、 (0,2) D 、 (2,2) E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）． 9．若函数 ( ) f x  ( x a bx  )(  2 ) a （常数 ,a b R ）是偶函数，且它的值域为 (  ，则 ,4] 该函数的解析 ( ) f x  ． 10．已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7， a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为 10.5．若要使该总体的方差最小，则 a 、b 的取值分别是． 11．在平面直角坐标系中，点 A 、B 、C 的坐标分别为 (0,1) 、(4,2) 、(2,6) ．如果 ( , P x y ) 是 ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当 w xy 取得最大值时，点 P 的坐标是．二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．设 P 椭圆 2 2 x y 25 16 1  上的点．若 1F 、 2F 是椭圆的两个焦点，则 1 PF | | PF 2 | | 等于

（） A ．4 B．5 C．8 D．10 13．给定空间中的直线l 及平面．条件“直线 l 与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面垂直”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．若数列{ }na 是首项为 1，公比为 a  的无穷等比数列，且{ }na 各项的和为 a ，则 a 的 3 2 值是（） A．1 B．2 C． 1 2 D． 5 4 15．如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、 D 的定圆所围成的区域（含边界）， A 、B 、C 、 D 是该圆的四等分点．若点 ( ,   , P x y 、点 ( P x y )  满足 x ) x 且 y y ，则称 P 优于 P ．如果  中的点Q 满足：不存在  中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（） A． AB B． BC C． CD D． DA 三．解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分 12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A B C D 1 1 1  中， E 是 1BC 的中点．求直线 DE 与平面 1 ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分 13 分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC ．小区的两个出入口设置在点 A 及点C 处．小区里有两条笔直的小路 AD 、 DC ，且拐弯处的转角为 120 ．已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿

DA 走到 A 用了 6 分钟．若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径OA 的长（精确到 1 米）． 18．（本题满分 15 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 10 分．已知函数 ( ) f x  sin 2 x ， ( ) g x  cos(2 x  ，直线 x  ) 6 t （t R ）与函数 ( ) f x 、 ( )g x 的图象分别交于 M 、 N 两点．（1）当 t （2）求|  时，求|  4 |MN 在 [0,  t |MN 的值；  ] 2 时的最大值． 19．（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分．已知函数 ( ) f x  x 2  ． 1 | x 2 |

（1）若 ( ) f x  ，求 x 的值； 2 （2）若 2 t f (2 ) t mf  ( ) t  对于 [1,2] t  0 恒成立，求实数 m 的取值范围． 20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 7 分．已知双曲线C ： 2 x 2 2 y  ． 1 （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点 M 的坐标为 (0,1) ．设 P 是双曲线 C 上的点， Q 是点 P 关于原点的对称点．记    MP MQ  ．求的取值范围；（3）已知点 D 、 E 、 M 的坐标分别为 ( 2, 1)   、 (2, 1) 、 (0,1) ， P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点 P 的直线，s 为 DEM 将 s 表示为直线l 的斜率 k 的函数．截直线l 所得线段的长．试 21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．

已知数列{ }na ： 1 1 a  ， 2 a  ， 3a 2 r ， 3 n   a a n  （ n 是正整数），与数列{ }nb ： 2 1 1 b  ， 2 b  ， 3 b   ， 4 b  ， 4n 0 1 0 b   （ n 是正整数）．记 b n nT  b a 1 1  b a 2 2  b a 3 3   b a n n ． a （1）若 1  a 2  a 3    a 1 2  64 ，求 r 的值；（2）求证：当 n 是正整数时， 12 nT   ； 4 n （3）已知 0 r  ，且存在正整数 m ，使得在 12 1mT  ， 12 2mT  ，…， 12 12mT  中有 4 项为 100．求 r 的值，并指出哪 4 项为 100．

参考答案一、填空题（第 1 题至第 11 题） 1． (0,2) 2． 2 3．1 i 4． 2x （ x R ） 5． 7 6．－1 7． 4 9． 22 x  4 10． 10.5 a  ， 10.5 b  11． 4 5 ,5) 8． 5( 2 二、选择题（第 12 题至第 15 题）题号答案 12 D 13 C 14 B 15 D 三、解答题（第 16 题至第 21 题） BC ，交 BC 于 F ，连接 DF ． 16．解：过 E 作 EF ∵ EF  平面 ABCD ∴ EDF 由题意，得 ∵ CF  1 2 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角． …… 4 分 EF  ． 1  CC 1 1 2 CB  ，∴ 1 DF  ． 5 …… 8 分 ∵ EF DF ，∴ tan  EDF  EF DF  5 5 ． ……10 分故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 arctan 5 5 ． …… 12 分 17．解法一：设该扇形的半径为 r 米．由题意，得 CD  500 （米）， DA  300 （米）， CDO  60  ． …… 4 分在 CDO 中， 2 CD OD  2  2 CD OD   cos60  OC 2 ， …… 6 分即 2 500  30 2 0)  2  500 (   r 300)  1 2 2  r ， …… 9 分 r  ( 4900 11 解得 r   445 （米）．答：该扇形的半径OA 的长约为 445 米．解法二：连接 AC ，作OH AC ，交 AC 于 H ． …… 13 分 …… 2 分

由题意，得 CD  500 （米）， AD  300 （米）， CDA  120  ． …… 4 分在 ACD 中， 2 AC  2 CD AD  2  2 AD CD   cos120   2 500  300 2  2 500 30  0   1 2 2 700 ∴ AC  700 （米）， …… 6 分 c o s  CAD  2 AC 2 AD CD   2 AC CD  2  1 1 14 ．在直角 HAO 中， AH  350 （米）， os c HAO ∴ OA  AH  cos HAO  4900 11  445 （米）．答：该扇形的半径OA 的长约为 445 米． …… 9 分  ， 11 1 4 …… 13 分 18．解：（1） | MN | | si 2 n(   ) cos(2      ) | 4 6 ． |  ．  4 2  3  ) | |  6 3 2  |1 cos   （2） | MN | |  2 sin t  cos(2 t  3 | sin(2 t   ) | 6 ． ∵ [0,  t  ] 2 ， 2 t     ] 6 6 [     6 , 3 2 sin 2 t  3 2 cos 2 | t ．， ∴| |MN 的最大值为 3 ． 19．解：（1）当 0 x  时， ( ) 0 f x  ；当 0 x  时，由条件可知 x 2 ∵ 2 x  ，∴ 0 1 x 2 x  log (1  2) ． 2  ，即 22 2 x 2 2   x 1 0   ，解得 2 （2）当 [1,2] t  时， 2 t t 2 (2  即 2(2 tm  1 )   ( 2 4 1t )  ， 1 2 2 t )  t m (2  1 t 2 )  0 ， …… 2 分 ……5 分 ……8 分 ……11 分 ……13 分 ……15 分  ． x 2 ( ) f x  1 x 2 x   ． 1 2 ……2 分 ……6 分 ……8 分 ……10 分 ∵ 22 t  ，∴ 0 m   2(2 t 1)  ． ……13 分

∵ [1,2] t  ，∴ 2 t (1 2 )     [ 17, 5]  ，故 m 的取值范围是[ 5,  ． ) ……16 分 20．解：（1）所求渐近线方程为 y  2 2 x  ， 0 y  2 2 x  ． 0 （2）设 P 的坐标为 0 x y ，则Q 的坐标为 0 x  ( ) ( , 0 ,  ． y ) 0   , MP MQ x y  (  0  1) (    x ,  y 0 0 )   x 0 2  y 0 0 2 1    3 2 x 0 2  2 ． ……3 分 ……4 分 ……7 分 ∵ 0 |x  ， 2 | ∴的取值范围是 (   ． , 1] （3）若 P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率 k  (0, 由计算可得，当 k  1(0, 2 ] 时， ( ) s k  2 k  2 1 1  k 2 ；当 k  ( 1 2 , 2 2 ) 时， ( ) s k  2 k k   k 1 2 1  k 2 ． 2 2     1 k 2 k    k k  1  k 2 ,0  k  1 , 2 1 2 1  k 2 , 1 2   k 2 2 . ∴ s 表示为直线l 的斜率 k 的函数是 ( ) s k a 21．解：（1） 1  a 2  a 3   12a ……9 分 2 2 ) ． ……11 分 ……15 分． ……16 分        3 4 1 2 r r ( r  2) 5 6 (    r  4) 7 8 (    r  6)  ． 48 4r   ，∴ 4 64 ∵ 48 4 r （2）用数学归纳法证明：当 n Z  时， 12 nT r  ． ……2 分 ……4 分   ． 4 n ①当 1n  时， 12 T  a 1  a 3  a 5  a 7  a 9  a 11   ，等式成立． 4 ……6 分 ②假设 n kT k 时等式成立，即 12   ，那么当 4 k n k  时， 1

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