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北理工《随机信号分析》复习总结.pdf

发布时间：2022-06-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：7.08M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    第1章 概率论
    1.1 概率空间的概念
    1. 古典概率
    2. 几何概率
    3. 统计概率
    4. 概率空间
    第2章 随机过程
    2.1 随机过程的基本概念及其统计特性
    1. 随机过程的基本概念
    2. 随机过程的分类
    3. 随机过程的概率分布
    4. 随机过程的数字特征
    5. 随机过程的特征函数
    2.2 随机过程的微分与积分
    1. 随机连续性
    2. 随机过程的微分
    3. 随机过程的积分
    2.3 平稳随机过程和遍历随机过程
    1. 平稳随机过程
    2. 遍历随机过程
    2.4 随机过程的联合概率分布和互相关函数
    1. 联合概率分布
    2. 互相关函数和互协方差函数
    2.5 正态随机过程
    1. 一般正态随机过程
    2. 平稳正态随机过程
    3. 正态随机过程的性质
    2.6 离散时间随机过程
    1. 离散时间随机过程的定义
    2. 离散时间随机过程的概率分布
    3. 离散时间随机过程的数字特征
    4. 平稳离散时间随机过程相关函数的性质
    第3章 平稳随机过程的谱分析
    3.1 随机过程的谱分析
    1. 能量信号和功率信号
    2. 能谱密度和功率谱密度
    3. 随机过程的功率谱密度
    3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质
    1. 功率谱密度的性质
    2. 有理谱分解定理
    3.3 功率谱密度和自相关函数的关系——Wiener-Khinchine定理
    3.4 随机过程的互谱密度
    1. 互谱密度及其与互相关函数的关系
    2. 互谱密度的性质
    3.5 白噪声
    1. 理想白噪声
    2. 限带白噪声
    3.6 离散时间随机过程的功率谱密度
    1. 离散时间随机过程的功率谱密度
    2. 平稳随机过程的采样定理
    3. 功率谱密度的采样定理
    第4章 随机信号通过线性系统的分析
    4.1 线性系统的基本理论
    1. 线性时不变系统
    2. 连续时间线性时不变系统和离散时间线性时不变系统
    4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
    1. 时域分析
    2. 输出平稳性、遍历性
    3. 频域分析
    4.3 随机信号通过离散时间系统的分析
    1. 时域分析
    2. 输出平稳性
    3. 时域分析
    4.4 信号的产生与白化
    1. 信号的产生
    2. 信号的产生
    4.5 白噪声通过线性系统的分析
    1. 白噪声通过线性系统
    2. 等效噪声带宽
    3. 白噪声通过理想线性系统
    4.6 线性系统输出端随机信号的概率分布
    第5章 窄带随机过程
    5.1 复随机过程和解析过程
    1. 复随机过程
    2. Hilbert变换
    3. 复解析随机过程
    5.2 窄带随机过程 的表示方法
    1. 窄带随机过程表示
    2. 同相分量和正交分量的性质
    3. 随机过程表示方法的扩展
    5.3 窄带Gauss随机过程的统计特性分析
    1. 同相分量和正交分量的概率密度
    2. 包络和相位的概率密度函数
    5.4 窄带Gauss过程包络平方的概率密度
    第6章 随机信号通过非线性系统
    6.1 随机信号通过无记忆系统的概率分布
    1. 无记忆非线性系统的基本概念
    2. 传输特性可导时非线性系统输出概率密度的计算
    6.2 随机信号通过无记忆系统的矩
    1. 直接法
    2. 特征函数法
    3. 级数法
    第1章 概率论 1.1 概率空间的概念 随机信号分析·部分概念与公式 Sorted out by & 若 表示随机试验，简称试验，试验中每一个可能的结果称为样本点，用 或 表示。试验 中一切可能 结果的集合称为样本空间，用 或 表示，即 下讨论三类具体的随机现象的模型及其性质。 1. 古典概率 ①古典概率的计算式 设 是一试验，其概率空间 若所观察的随机现象用 表示，其中包含 个样本点，则事件 出现的概率 式(1-3)即为古典概率中事件概率的计算式。 ②古典概率及其事件的性质 1) (非负性)事件发生的可能性大小是一非负的不超过 1 的实数，即 2) (规范性)必然事件的概率是 1，即 其中 表示试验 中的必然事件。 (1-1) (1-2) (1-3) (1-4) (1-5) 3) (可列可加性)若有限个两两互不相交的试验 中的事件的和事件仍是试验 中的事件，则和事件的概率等于 每一个事件的概率之和，即 (1-6) 2. 几何概率 设 为区域 大小的量度，区域 中任意可能出现的小区域 用量度 表示，则事件 发生的概率 (1-7) 式(1-7)即为几何概率中事件概率的计算式。 ➢ 几何概率满足非负性、规范性和可列可加性。 3. 统计概率 设 是一试验， 是其样本空间， 是试验 的事件。若在同样的条件下，将 独立重复地进行 次， 事件 出现了 次，则称 是这 次试验中事件 出现的频数，比值 (1-8) 称为 次试验中事件 出现的频率。 ➢ 统计概率满足非负性、规范性和可列可加性。 4. 概率空间 若有一个试验，所有样本点的集合构成样本空间 ，在样本空间中一个样本点或若干样本点的适当集合 称为事件域， 中的每一集合称为事件。若 ，则 就是事件 的概率，并称这三个实体的结合 为一个概率空间。 1
    目 录 ©Josh G. and Gatsby V. All Rights Reserved. 第 1 章 概率论 ························································································································································ 1 1.1 概率空间的概念 ·················································································································································· 1 第 2 章 随机过程 ······················································································································································ 3 2.1 随机过程的基本概念及其统计特性 ····················································································································· 3 2.2 随机过程的微分与积分 ······································································································································· 6 2.3 平稳随机过程和遍历随机过程 ···························································································································· 8 2.4 随机过程的联合概率分布和互相关函数 ············································································································ 10 2.5 正态随机过程···················································································································································· 12 2.6 离散时间随机过程 ············································································································································ 13 第 3 章 平稳随机过程的谱分析 ······························································································································ 17 3.1 随机过程的谱分析 ············································································································································ 17 3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质 ······················································································································· 18 3.3 功率谱密度和自相关函数的关系——WIENER-KHINCHINE 定理 ······································································· 19 3.4 随机过程的互谱密度 ········································································································································· 19 3.5 白噪声 ······························································································································································ 20 3.6 离散时间随机过程的功率谱密度 ······················································································································· 20 第 4 章 随机信号通过线性系统的分析 ··················································································································· 22 4.1 线性系统的基本理论 ········································································································································· 22 4.2 随机信号通过连续时间系统的分析 ··················································································································· 23 4.3 随机信号通过离散时间系统的分析 ··················································································································· 25 4.4 信号的产生与白化 ············································································································································ 26 4.5 白噪声通过线性系统的分析 ······························································································································ 27 4.6 线性系统输出端随机信号的概率分布 ··············································································································· 28 第 5 章 窄带随机过程 ············································································································································· 29 5.1 复随机过程和解析过程 ··························································································································· 29 5.2 窄带随机过程的表示方法 ························································································································ 31 5.3 窄带 GAUSS 随机过程的统计特性分析 ····································································································· 33 5.4 窄带 GAUSS 过程包络平方的概率密度 ····································································································· 34 第 6 章 随机信号通过非线性系统 ·························································································································· 35 6.1 随机信号通过无记忆系统的概率分布 ··············································································································· 35 6.2 随机信号通过无记忆系统的矩 ·························································································································· 36 2
    第2章 随机过程 2.1 随机过程的基本概念及其统计特性 1. 随机过程的基本概念 ①随机过程的定义 定义 1 设随机试验 的样本空间为 ，若对 ，总有一个确知的时间函数 与之对应；由此， 对所有 ，可以得到一族时间 的函数，称为随机过程。 定义 2 若对于每个特定的时间 ， 都是随机变量，则称 为随机过程。 ②随机变量(Random Variables)和随机过程(Stochastic Processes) “随机变量”框架对应于某一准则，在该准则下，实验的每次结果都可以用一个“数”进行刻画。随机变 量 与一样本空间 相关联，对于样本空间中的每一事件 ，都以一个“数”赋予随机变量 ，表示为 ， 简写为 。 “随机过程”框架也对应于某一准则，在该准则下，实验的每次结果需用一个时变函数 而不是一个数 进行刻画，比如某空间观测系统单个通道的输出信号，其每次实验结果为一时变函数(确定信号)，时变函数 称为随机过程的一个样本函数或一次实现(realization)，随机过程记为 ，简写为 。 ③随机过程在不同情况下的含义 表 2-1 随机过程在不同情况下的含义 变量 变量 固定 固定 变量 固定 变量 固定 的含义 时变函数/信号集合/族(ensemble) 样本函数 随机变量 确定数 2. 随机过程的分类 ①按照信号幅值/状态连续和离散进行分类 表 2-2 按时间和状态对随机过程分类 时间 连续 离散 连续随机过程 连续随机序列 离散随机过程 离散随机序列 幅值(状态) 连续 离散 ②按照统计分布进行分类：宽平稳随机过程(e.g. 热噪声)、正态(Normal)随机过程、Markov 随机过程、独立增量 随机过程、Rayleigh 随机过程、独立随机过程等。 3. 随机过程的概率分布① ①一维概率分布 (2-1) 其中 是某一固定的时刻。对于 1D-PDF，若连续随机过程的 分段单调可导(固定 时)，则可采用概率近似 相等法求取。下用一例简单说明。 例 若随机过程 ，其中 ，试求 。 解 考虑随机变量 ，其属于区间 的概率为 ① 随机过程的基本分析方法：采用时间固定(Time Freezing)法，使随机过程退减为随机变量，由此可直接采用针对单个随机变量的统 计特性分析方法，求取概率分布函数，概率密度函数，特征函数，矩；若考虑两个时刻的联合统计特性分析，可采用针对两个随机 变量的联合统计特性分析方法；依此类推，N 个时刻的联合统计特性分析，可采用针对 N 个随机变量的联合统计特性分析方法。 3
    2.1 随机过程的基本概念及其统计特性 由 当 ，有 时，有 ，其图示如图 2-1。由图知， ，即随 机 变 量 落 入 区 间 的 概 率 可 用 随 机 变 量 落 入 区 间 的概率来表示，也即 进一步表示为 整理移项得 其中 ②二维概率分布 其中 、 是某两个固定的时刻。 ③ 维概率分布 其中 是某 个固定的时刻。 ④概率分布函数的主要性质 图 2-1 ，代入上式，可得 (2-2) (2-3) 序号 性质 描述 表 2-3 PDF 的主要性质 1 2 3 4 5 6 4 状态小于 为不可能事件 状态全小于 为必然事件 PDF 具有非负性 PDF 具有规范性(归一性) — —
    4. 随机过程的数字特征 随着时间选择的密度和长度增加，联合概率分布可以较为全面地刻画和描述信号的统计信息。但在实际中， 对于一般的随机过程，其概率分布往往难以甚至无法确定。而随机过程的数字特征往往可直接利用观测进行估 第 2 章 随机过程 计，在很多场合甚至只需要利用一个样本函数或一次实现即可。 ①数学期望(一阶矩/均值/统计平均/集平均) ②均方值和方差 1) 均方值(二阶原点矩) ➢ 均方根 2) 方差(二阶中心矩) ➢ 标准差(方差根/均方差) ③自相关函数和协方差函数 1) 自相关函数(二阶混合原点矩) ➢ 自相关函数的特性： (2-4) (2-5) (2-6) (2-7) (2-8) (2-9) a) 反映了 在任意两个时刻样本函数的时域起伏程度，与信号带宽有关； b) ，即 的均方值是自相关函数的特例； c) 归一化的自相关函数 反映了两个状态的正交程度，越接近 0 时正交程度越强，越接近 1 时 线性程度越强。 2) 协方差函数(二阶混合中心矩/中心化自相关函数) ➢ 协方差函数的特性： (2-10) a) 反映了 在任意两个时刻的起伏值之间的相关程度； b) 归一化的自相关函数 反映了两个状态的正交程度，越接近 0 时正交程度越强，越接近 1 时 线性程度越强。 5. 随机过程的特征函数 ①一维特征函数 ➢ 高斯过程的一维特征函数 ➢ 矩生成函数( 阶原点矩函数) (2-11) (2-12) (2-13) 5
    2.2 随机过程的微分与积分 ②二维特征函数 ➢ 相关函数 ③ 维特征函数 ④第二类特征函数 ➢ 累积量生成函数 2.2 随机过程的微分与积分 1. 随机连续性 若随机过程 满足 (2-14) (2-15) (2-16) (2-17) (2-18) (2-19) (2-20) 对于零均值的平稳随机过程，二阶累积量和三阶累积量分别与自相关函数和三阶矩相等，但 则称过程 在 时刻均方意义下连续，简称过程 在 时刻均方连续(或称 连续)。若用过程 的相 关函数表示，则有 (2-21) (2-22) (2-23) 因此，若对于 、 时刻，函数 在 上连续，则随机过程 必在 时刻均方连续。 由随机过程 的均方连续性可以导出①其数学期望必然具有连续性，即 因此可将结果写为 即对随机过程 可以交换求极限与数学期望的次序。 ① 证明如下：设随机变量 ，由 ，有 则 由于 即 6 均方连续，即 ，则
    2. 随机过程的微分 ①随机过程均方微分的定义 对于随机过程 ，若均方意义下的极限 存在，则称 具有均方意义下的微 第 2 章 随机过程 分，简称均方微分，记为 ②随机过程可微的条件 (2-24) 随机过程 可微的充分条件是满足 Cauchy 准则：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶偏导数，即 (2-25) 表 2-4 随机过程均方微分的统计特性 的平稳性 非平稳 ① 平稳 0 存在 ③随机过程均方微分的统计特性 统计特性 均值 互相关函数 相关函数 自相关函数 3. 随机过程的积分 ①随机过程均方积分的定义 对于随机过程 ，若均方意义下的极限 则称随机变量 为过程 具在区间 上的均方积分。 ① ② ③  平稳时其余两个关系式可同理推得。  非平稳时其余两个关系式可同理推得。 ③ ② (2-26) (2-27) . ， 7
    2.3 平稳随机过程和遍历随机过程 ②随机过程均方可积的条件 随机过程 均方可积的充分条件为 (2-28) ③随机过程均方积分的统计特性 表 2-5 随机过程均方积分的统计特性 时的表达式 统计特性 均值 方差 4. 自相关函数 2.3 平稳随机过程和遍历随机过程 1. 平稳随机过程 ①严平稳(Strict-Sense Stationary, SSS)随机过程 1) 严平稳随机过程的定义 设随机过程 的 维概率密度满足 或其 维概率分布满足 则称 为严(格)平稳随机过程。 (2-29) (2-30) ➢ 由此，严平稳随机过程的统计特性与时间绝对起点无关，或者说具有时间平移不变性。 2) 严平稳随机过程的统计特性 一维 统计特性 概率分布 均值 均方值 方差 概率分布 二维 自相关函数 自协方差函数 8 表 2-6 严平稳随机过程的统计特性 表达式 特点 均为与时 间无关的 常数 仅与时间 差有关
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