概率论与数理统计知识点.pdf-资料库

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 § 2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生 BA xx{ 或A x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ， B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生 BA xx{ 且A x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当 A， B 同时发生时，事件 A B 发生 A — B xx{ A 且 x B} 称为事件 A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 A — 发生 B BA ，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且SBA BA ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为对立事件 2．运算规则交换律 A B B A A B B A 结合律 ( BA ) C A ( CB ) ( CBA ) CBA ( ) 分配律 A （ CB ） ( A )B ( CA ) A ( CB ) ( CABA )( ) 徳摩根律 BA A — B BABA § 3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 An 称为事件 A 发生的频数，比值 n A 称为事件 A 发生的频率 n 概率：设 E 是随机试验， S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，记为 P（A），称为事件的概率 1．概率 ( AP 满足下列条件： ) （ 1）非负性：对于每一个事件 A 0 AP ) ( 1 （ 2）规范性：对于必然事件 S 1)S(P 1

（ 3）可列可加性：设 AA 1 2 , , , nA 是两两互不相容的事件，有 n P ( A k ) k 1 n k 1 AP k ( （ n 可 ) 以取） 2．概率的一些重要性质：（ i ） (P ) 0 （ ii ）若 AA 1 2 , , , nA 是两两互不相容的事件，则有 n P ( A k ) k 1 n k 1 AP ( k ) （ n 可以取）（ iii ）设 A ， B 是两个事件若 A B ，则 ABP ) ( BP ( ) AP ) ( ， P )B( P )A( （ iv ）对于任意事件 A， ( AP ) 1 （ v） AP ( 1) AP ( ) （逆事件的概率）（ vi ）对于任意事件 A， B 有 BAP ( ) AP ( ) BP ( ) ABP ( ) § 4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A { e i ]1 } { e i 2 } { e ki } ，里 i ， 1 i ,2 AP ( ) ，是， 2,1 i k 中某 n k 个不同的数，则有 k 1j eP i { } j k n A S 包含的基本事件数中基本事件的总数 § 5．条件概率（ 1）定义：设 A,B 是两个事件，且 ( AP ) 0 ，称件下事件 B 发生的条件概率（ 2）条件概率符合概率定义中的三个条件 ABP ) ( | ) ( ABP AP ) ( 为事件 A 发生的条。 1 非负性：对于某一事件 B ，有 ABP ) ( | 0 。规范性：对于必然事件 S， 2 ASP ( | ) 1 3 可列可加性：设 1 BB 2 , , 是两两互不相容的事件，则有 P ( AB i ) i 1 i 1 ABP ( i ) （ 3）乘法定理设 ( AP ) 0 ，则有 ABP ( ) 2 BAPBP ( ( ) | ) 称为乘法公式

（ 4）全概率公式： AP ) ( n i 1 BAPBP ( ) ( | i ) i 贝叶斯公式： ABP ) ( | k ( ) BAPBP k n ( | k ) BAPBP i ( ) ( | i ) i 1 § 6．独立性定义设 A ， B 是两事件，如果满足等式 ABP ( ) BPAP ( ) ( ) ，则称事件 A,B 相互独立定理一设 A ，B 是两事件，且 ( AP ) 0 ，若 A ，B 相互独立，则 ABP ) ( | BP 定理二若事件 A 和 B 相互独立，则下列各对事件也相互独立： A 与第二章随机变量及其分布 § 1 随机变量 —— AB 与，与， — AB — B 定义设随机试验的样本空间为 S {e}. X X(e) 是定义在样本空间 S 上的实值单值函数，称 X X(e) 为随机变量 § 2 离散性随机变量及其分布律 1．离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量 xXP ( k ) p k 满足如下两个条件（ 1） kp 0 ，（ 2） kP =1 1k 2．三种重要的离散型随机变量（ 1） 0 - 1 分布设随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律是 XP ( )k k p-1p ，）（ k-1 k 1,0 0 （ p )1 ，则称 X 服从以 p 为参数的 0 - 1 分布或两点分布。（ 2）伯努利实验、二项分布设实验 E 只有两个可能结果： A 与 — A ，则称 E 为伯努利实验 .设 P(A) p （ 0 p 1) ， — )AP( 此时 p-1 .将 E 独立重复的进行 n 次，则称这一串重复的独立实验为 n 重伯努利实验。 P )kX( n k k-n k qp ， k 2,1,0 ， n 满足条件（ 1） kp 0 ，（ 2） kP =1 注意到 1k 3

n k k-n k qp 是二项式（ nqp ）的展开式中出现 kp 的那一项，我们称随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布。（ 3）泊松分布设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2 … ，而取各个值的概率为 P )kX( - k e k! , k 2,1,0 , 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布记为）（~X § 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 )x(F P{X x}, - x 称为 X 的分布函数分布函数 xF ( ) XP ( x ) ，具有以下性质 (1) ( xF ) 是一个不减函数（ 2 ） 0 xF ( 1) ，且 F ( ) ,0 F ( ) 1 （ 3） xF ( )0 xF ( ), 即 xF ( ) 是右连续的 § 4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量 X 的分布函数 F（ x），存在非负可积函数 ( xf ) ，使对于任意函数 x 有 )x(F x - f ）（ t ,dt 率密度函数，简称概率密度则称 x 为连续性随机变量，其中函数 f(x) 称为 X 的概 1 概率密度 ( xf ) 具有以下性质，满足（ 1） ,0)( xf (2) )( dxxf 1 ； - （ 3） ( xP 1 xX 2 ) x 2 x 1 2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 )( dxxf ；（ 4）若 ( xf ) 在点 x 处连续，则有 )(F x， ( xf ) 若连续性随机变量 X 具有概率密度 xf ( ) 均匀分布 .记为 (2)指数分布），（ baU~X 若连续性随机变量 X 的概率密度为 ) ( xf 服从参数为的指数分布。（ 3）正态分布 1 a-b 0 ， a x b ，其他，则成 X 在区间 (a,b)上服从 x- e ， . x 0 ，其他其中 0 为常数，则称 X 1 0 4

若连续型随机变量 X 的概率密度为 xf )( 2 ） 2 ( x 2 - ， e 1 2 x ，（，其中 )0 为常数，则称 X 服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为 N~X ），（ 2 特别，当 0， 1 时称随机变量 X 服从标准正态分布 § 5 随机变量的函数的分布定理设随机变量 X 具有概率密度 (x -) f ， x x , 又设函数 ( xg ) 处处可导且恒有 )(, xg 0 ，则 Y= ( Xg ) 是连续型随机变量，其概率密度为 f Y ( y ) yhyhf X ( ) ( , 0 y ,) 其他，第三章多维随机变量 § 1 二维随机变量定义设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S {e}. X X(e) 和 Y Y(e) 是定义在 S 上的随机变量，称 X X(e) 为随机变量，由它们构成的一个向量（ X ，Y）叫做二维随机变量设（ X ， Y ）是二维随机变量，对于任意实数 x ， y ，二元函数 xF ），（ y P{(X x) (Y y)} 记成 P{X Yx ， y} 称为二维随机变量（ X ， Y）的分布函数如果二维随机变量（ X ，Y ）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（ X ， Y ）是离散型的随机变量。我们称 xXP ( ， i )yY j p ij ，， i 2,1j ，为二维离散型随机变量（ X， Y ）的分布律。对于二维随机变量（ X ，Y ）的分布函数 xF ），（ y ，如果存在非负可积函数 f（ x，y），使对于任意 x，y 有 xF ），（ y y x - - f ），（ u v dudv ，则称（X ，Y ）是连续性的随机变量，函数 f（ x， y）称为随机变量（ X ， Y ）的概率密度，或称为随机变量度。 § 2 边缘分布 X 和 Y 的联合概率密二维随机变量（ X ，Y ）作为一个整体，具有分布函数 xF ），（ y .而 X 和 Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为 ),xFX （ 5 ）（ YF y ，依次称为二维随机变量（ X ，Y ）

关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。 ip p ij P{X }x i ， 2,1i ， jp p ij P{Y }y i ， 2,1j ，分别称 1j 1i ip jp 为（ X， Y ）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律。 f X ( x ) ）,( yxf dy fY ( y ) ）,( yxf dx 分别称 f X )(x ， fY )( y 为 X ，Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度。 §3 条件分布定义设（ X ， Y ）是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 { jyYP } ,0 则称 yYxXP { i } j XP { yYx i , j } yYP { j } p ij p j , i ,2,1 为在 jyY 条件下随机变量 X 的条件分布律，同样 XyYP { j X i } yYxXP { , i xXP { i } } j p ij p i , j ,2,1 为在 ixX 条件下随机变量 X 的条件分布律。设二维离散型随机变量（ X ，Y ）的概率密度为 yxf ,( ) ，（ X ，Y ）关于 Y 的边缘概率密度为 f Y ( y ) ，若对于固定的 y， fY )( y 〉 0，则称 ,( yxf ) ) f y ( Y 为在 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度，记为 f YX ( yx ) = ,( yxf ) ) f y ( Y § 4 相互独立的随机变量定义设 xF ），（ y 及 (F xX ) ， (F yY ) 分别是二维离散型随机变量（ X ，Y ）的分布函数及边缘分布函数 .若对于所有 x,y 有 XP { , yYx } { XP }P{Y x y} ，即 ,{F yx )F(F} Y X x (y) ，则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。对于二维正态随机变量（ X ，Y ），X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 0 §5 两个随机变量的函数的分布 1，Z=X+Y 的分布设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度 ,( yxf ) .则 Z=X+Y 仍为连续性随机变量，其概率密度为 f YX )( z ( zf ）, yy dy 或 f YX )( z ,( zxf ） x dx 又若 X 和 Y 相互独立，设（ X ，Y ）关于 X ，Y 的边缘密度分别为 f X ( ), fx Y ( y ) 则 6

f YX z )( f X ( z y （） Y f y) dy 和 f YX z )( f X ( x ） f Y ( z dxx ) 这两个公式称为 f X , 的卷积公式 f Y 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2， Z Y X 的分布、 Z XY 的分布设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度 ,( yxf ) ，则 Z Y X ， Z XY 仍为连续性随机变量其概率密度分别为 f XY z )( xzxfx ) ,( dx f XY ( z ) 1 x xf ,( ) dx z x 又若 X 和 Y 相互独立，设（ X ， Y ）关于 X ， Y 的边缘密度分别为 f X ( fx ), ( y ) Y 则可化为 f XY z )( f X fx )( Y ( xz dx ) f XY z )( 1 x f X )( fx Y ( z x ) dx 3 M {Xmax 及， Y} N min{ YX } 的分布 , 设 X ， Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 yFxF )( ), ( Y X 由于 M {Xmax ， Y} 不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z 故有 P{M z} P{X Yz, z} 又由于 X 和 Y 相互独立，得到 M {Xmax ， Y} 的分布函数为 F )(max z N min{ YX } , 的分布函数为 11)(min F z F X 1)( z 第四章随机变量的数字特征 § 1．数学期望 zF ( Y ) )( zFzF )( Y X 定义设离散型随机变量 X 的分布律为 xXP { k } p k ， k=1,2 ，…若级数 k px k 绝对收 1k 敛，则称级数 k px k 的和为随机变量 X 的数学期望，记为 ( XE ) ，即 XE ( ) k px k 1k i 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( xf ) ，若积分 xf )( dxx 绝对收敛，则称积分 xf ( dxx ) 的值为随机变量 X 的数学期望，记为 ( XE ) ，即 XE ( ) dxxxf )( 定理设 Y 是随机变量 X 的函数 Y= ( Xg ) (g 是连续函数 ) 7

（ i ）如果 X 是离散型随机变量，它的分布律为 XP { }x k kp ，k=1,2，…若 k pxg ( ） k 绝对收敛则有 )Y(E ( XgE ( )) k pxg ( ） k k 1 （ ii ）如果 X 是连续型随机变量，它的分概率密度为 ( xf ) ，若 dxxfxg )( )( k 1 绝对收敛则有 )Y(E ( XgE ( )) 数学期望的几个重要性质 dxxfxg ( )( ) 1 设 C 是常数，则有 CE ) ( C 2 设 X 是随机变量， C 是常数，则有 CXE ( ) XCE ( ) 3 设 X,Y 是两个随机变量，则有 YXE ( ) XE ( ) YE ( ) ； 4 设 X， Y 是相互独立的随机变量，则有 XYE ( ) YEXE ( ) ( ) § 2 方差定义设 X 是一个随机变量，若 2XEXE { ) ( } 存在，则称 2XEXE { ) ( } 为 X 的方差，记为 D（ x）即 D（ x） = 标准差或均方差。 2XEXE { ) ( } ，在应用上还引入量 )(xD ，记为 ( x ，称为 ) XD ( ) XEXE ( ( 2 )) XE ( 2 ) 2 ( EX ) 方差的几个重要性质 1 设 C 是常数，则有 (CD ) ,0 2 设 X 是随机变量， C 是常数，则有 CXD ( 2 (C) XD ) ， CXD ( ) D(X) 3 设 X,Y 是两个随机变量，则有 YXD ( ) D(X) D(Y) 2E{(X - E(X))(Y - E(Y))} 特别，若 X,Y 相互独立，则有 YXD ( ) XD ( ) YD ( ) 4 ( XD ) 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 E(X) ，即 XP { XE ( )} 1 切比雪夫不等式：设随机变量 X 具有数学期望 (XE ) 2 ，则对于任意正数，不等式 -XP{ } 2 2 成立 § 3 协方差及相关系数 8

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