CAcos
2
60
cos
22
[cos(
)CA
)]CAcos(
1
2
,
)CAcos(
1
2
代入上式得
代入上式并整理得
,0
9
分
6
分
cos
2)
2
2
)CAcos(
CA(
1)
2
CAcos(
23)
2
CAcos
2
)3
22)(2
3
0
0
2
0
2
2
12
分
解法二:由题设条件知B=60°,A+C=120°.
设
则
,2CA
可得
A
60
C,
60
)3(
分
1
Ccos
cos(
1
60
cos(
)
)
1
60
1
1
2
cos
3
2
sin
)
2
将
将
CAcos
2
CAcos
2
CAcos(
2
)CAcos(
2
2
2
CA(
24
2
CAcos(
2
CAcos
22
2
CAcos
2
CAcos
2
从而得
cos
2
2
2
CA
2
1
Acos
1
所以
1
2
1
4
cos
cos
3
4
2
cos
cos
2
cos
sin
3
2
3
4
)7(
分
sin
2
依题设条件有
1Bcos
2
cos
2
cos
22
3
4
cos
24
cos
2
cos
2
Bcos
3
4
整理得
2
2
cos
23
)9(0
分
cos
)3
0
2(
cos
22
cos
2(
从而得
22)(2
cos
0
3
)2
0
CAcos
2
2
2
12(
分
)
(22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥侧面AC1.
(Ⅰ)求证:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.
注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).
[Key]
(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.
① ∵
∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
② ∵
∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.
③ ∵
∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,
④ ∵
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤ ∵
FG
1
2
AA
1
1
2
,BB
1
即
BE
1
2
,BB
1
故
BE
EB
1
(Ⅱ)解
本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.
(Ⅰ)①∵面A1EC⊥侧面AC1,
2分
②∵面ABC⊥侧面AC1, 3分
③∵BE∥侧面AC1,
4分
④∵BE∥AA1,
5分
⑤∵AF=FC,
6分
(Ⅱ)解:分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D.
EB
1
EB,CC//
1
1
CC
1
1
2
BB
1
1
2
BACB
1
1
1
60
1
EB
1
2
CBA
1
1
BDA
1
1
DC
1
1
1
1
ACB
1
DBA
1
BDA
1
1
1
2
1
1
CDA
1
1
CAB
1
1
1
即
DA
)9(CA
分
1
1
1
180(
ADB
30
1
1
,90
∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得DA1⊥A1C,
所以∠CA1C1所求二面角的平面角.
11分
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°,
∴∠CA1C1=45°,即所求二面角为45°.
12分
:
23.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果
人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(
糖食单产
(
总产量
耕地面积
,
人均粮食占有量
总产量
总人口数
)
[Key]
本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似计算的
方法和能力.满分10分.
解:设耕地平均每年至多只能减少X公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.
依题意得不等式
1(M
10M
)x10
4
4
1(
10
)5%)(
分
3
10
x
化简得
)01.01(1.11[
10
3
22
10(%)
10
%)11(P
P
10
)01.01(1.11[
22.1
C1(
22.1
10
01.0
C
]
1
10
]
2
10
2
01.0
)]
3
10
1[
3
10
1[
1.1
22.1
1.1
22.1
1.4
x
(1.4
公顷
)9)(
分
.1(
)
1045
答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.
10分
2
(24)已知l1、l2是过点P(- 2 ,0)的两条互相垂直的直线,且l1、l2与双曲线y
2
=1各有两个交点,分
-x
别为A1、B1和A2、B2
(I)求l1的斜率k1的取值范围;
(II)若|A1B1|= 5 |A2B2|,求l1、l2的方程
(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.
解:(I)依题设,l1、l2的斜率都存在,因为l1过点P(- 2 ,0)且与双曲线有两个交点,故方程组
y
x(k
1
2
y
1
k)(2
2
1
x
)0
)1(
)1(
分
有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得
k(
2
1
x)1
2
2
xk22
1
k2
2
1
01
)2(
若k
2
1-1=0,则方程组①只有一个解,即l1与双曲线只有一个交点,与题设矛盾,故k
2
1-1≠0即|k1|≠1
方程②的判别式为
1
22
)k22(
1
k(4
2
1
k2)(1
2
1
)1
k3(4
2
1
)1
设的斜率为k2,因为l2过点P(- 2 ,0)且与双曲线有两个交点,故方程组