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2005年大学生数学建模竞赛B题特等奖论文.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.51M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    DVD 租赁优化方案 西北工业大学王 颖 高德宏 施 恒 指导教师：孙浩 摘 要 线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经 营者主要关注的预测、购买和分配。本文提出了简单随机抽样、分类 预测和关联预测等三种方法进行需求预测。针对问题一，利用需求预 测得到观看 DVD 的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买 DVD 的数量 (见文中表 2、表 3). 以会员的最大满意度为目标函数， 建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前 30 位 会员的分配结果 (见文中表 4). 在问题三中，我们考虑到 60\%的会 员由于两次租赁而导致可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略， 在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来 网站拥有量小，并且会员的满意度达到 99.38%(见文中表 6、表 7). 文 章最后还给出了考虑归还 DVD 周期的情形下购买与分配的模型。 第 2 页 共 15 页
    一、问题的重述 这是一个在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快 递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其 偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。 每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担）， 就可以继续下次租赁。考虑以下问题： 1）网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观 看这些 DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据 显示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现 有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保 证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要 求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？ 2）题中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员 的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？ 请具体列出前 30 位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些 DVD。 3）假设题中表 2DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如 何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月 内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？ 4）作为网站的经营管理人员，在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重 要问题值得研究？请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型进行解答。 二、模型假设及符号说明 1、模型的假设 （１）以一个月为一个周期，考虑在一个周期内 DVD 的租赁情况； （２）一个周期结束，所租赁出的 DVD 全部归还网站，不影响下一个周期的租赁； （３）一个会员在一个周期内租赁到自己想看的 DVD 的时间不影响他的满意度； （４）会员只有在将第一次租赁的三张 DVD 还回网站之后，才能进行第二次租 赁； （５）每个会员同一种 DVD 只租赁一次； （６）DVD 在租赁过程中无损坏； 2、符号说明 jn jp ij ijx ija 网站第 j 种 DVD 的购买量 会员租赁第 j 种 DVD 的概率 第i 个会员是否租赁第 j 种 DVD 第i 个会员是否租赁到第 j 种 DVD 第i 会员对第 j 种 DVD 的偏爱程度 第 3 页 共 15 页
    ijb ijy 第i 个会员租赁到第 j 种 DVD 的满意度 网站是否为第i 个会员购买第 j 种 DVD 三、问题的分析 问题一，要求网站提供的 DVD 能够满足他的会员至少有 50%能够在一个月内 看到该 DVD，作为网站的经营者，考虑到利益的问题，因此希望购买到尽可能少 的 DVD 。根据历史数据，60%的会员每月租赁两次，即一部分 DVD 有一定的流通 周期，我们在考虑模型的时候先不考虑时间问题，将 DVD 全都看作是一月被租赁 一次，然后根据流通周期以及它被租赁的概率，将所计算的结果按一定的比例减 小。 问题二，这是一个优化分配问题。根据各个会员对不同种 DVD 的偏爱程度， 以及网站是否满足了他的要求，建立以满意度为目标的目标函数，在 DVD 数量有 限的情况下，对其进行合理的分配，使目标函数达到最大值。 我们综合考虑问题一和问题二，在此基础上分析问题三。经营者要尽可能的 减小成本，即每种 DVD 购买量尽可能的少的，同时，DVD 的购买量要满足 95%的 会员在一个月内能够看到自己想看的 DVD；要求会员的总体满意程度最大，也就 是对确定数量的 DVD 进行优化分配。此问题为一个双目标规划，即要求各种 DVD 数目最小的情况下，尽可能的使总体满意度最大。 四、模型的建立及求解： 1、问题一模型的建立及求解 设随机变量  ij  1   0  DVD 表示第 个会员租赁第 张 j 表示第 个会员不租赁第 张 i i j DVD 显然随机变量 ij 服从两点分布，即 { P   ij 1} 其中 jp 的取值见表 1.  ， { P p   ij j 其中 i  1,2,  ,100,000 . 0} 1   p j （1） 网站通过问卷调查，得到 1,000 位会员愿意观看 5 种 DVD 的人数，根据这 些统计数据，我们可以得到网站会员租赁这些 DVD 的概率（频率是概率的近似 值）。 DVD 名称 第i 张 DVD 被租赁的概率 设随机变量  j 表 1 会员租赁 5 种 DVD 的概率 DVD1 0.2 p  1 DVD2 0.1 p  2 DVD3 p  3 0.05 DVD4 p  4 0.025 DVD5 p  5 0.01 100,000   ， 1,2,  ij j   5 ，即 j 表示 100,000 个会员中租赁第 j , i 1  第 4 页 共 15 页
    张 DVD 的总数，由于 ij （ 1,2, i   ,100,000 ）之间相对独立，也就是会员之间 是否租赁该张 DVD 是相互独立的，因而 j 服从二项分布，即： { P  j  k } C  k 100,000  ( p j k ) (1   p j ) 100,000 k  , j 1,2,   ,5 同时可以得到： E (   ) 100,000 j p j , j 1,2,   ,5 D (   ) 100,000 j p j (1   p j ), j 1,2,   ,5 （2） （3） （4） 由于租赁的人数是随机的，因而为了满足至少 50%的租赁会员看到 DVD，网 站应该准备的 DVD 的数量也是随机的，为此我们以它的数学期望为应该准备的 DVD 的数量，即： E (50% )  j  j E ( 1 2 ) 50,000  p , j j 1,2,   ,5 （5） 如果以 (50% )j E  为该种 DVD 的准备量，则我们可以得到满足至少 50%的人 看到该 DVD 的概率为： P  50%   E  j 1 2 (  j )    ) 1 ( E  j 2 D  E (50% )  j (50% )  j      50%  j D E (50% )   j (50% )  j  50% 1 2 (  j  E  j (50% )  j D )    0     P  p           (0)    1 2 (6) 其中约等式是由 De Moivre-Laplace 中心极限定理得到。 为了提高满足至少 50%的人看到该片的可靠度，我们需要改变提供的数量。 设可以保证至少 50%的人看到该片的可靠度为 99%，即 ( ) 99% t  ，由此可以得 到 2.33 t  ，即: P      50%  j D E (50% )   j (50% )  j    2.33     99% （7） 50%  j  E (50% ) 2.33   j  D (50% )  j 第 5 页 共 15 页
     50,000 p j  2.33  100,000 p (1   j p ) j （8） 1 2 同时，由于 60%的会员每个月会租赁 DVD 两次，40%的会员每个月会租赁 DVD 一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的 DVD 归还，这样就可以满足 其他会员的租赁要求，但是因为该张 DVD 是被会员在一个月内第一次租赁，还 是被会员在第二次租赁的情况是随机的，所以我们假设上述这两种情况是等可能 的，所以该张 DVD 可以被再次利用的期望值为： 0 30%    （9） 60%  1 2 1 2 由此我们可以得出：只需要准备所需量的 70%就可以满足题目中的要求。 综上所述，我们以 99%的可靠度满足至少 50%的租赁会员能够看到某种 DVD 所需要准备的该种 DVD 的数量为： 70% 50,000     p j  2.33  1 2 100,000 p (1   j p ) j    （10） 代入相关数据，我们可以得到为了保证至少 50%的人一个月内看到该 DVD， 网站需要准备该 DVD 的张数（见表 2）。 表 2 网站为了保证至少 50%的人一个月内看到该 DVD 需要准备的张数 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 可靠度 张数 50% 70% 80% 99% 7,000 7,024 7,038 7,104 3,500 3,518 3,529 3,578 1,750 1,763 1,771 1,807 875 885 890 916 350 356 360 375 为了保证在三个月内使得 95%的会员看到其所想要租赁的 DVD，只需要提供 一个月内使得 95%的会员看到其想要租赁的 DVD 总量的 1 3 DVD 的流通量相当于一个月内 DVD 流通了三个周期的量。因而以 99％的可靠 度使得三个月内 95%的人看到该 DVD，网站应准备的张数为： p 1 70% 100,000 95% （11）  3 代入相关数据，我们可以得到为了保证至少 95%的人三个月内看到该 DVD， 2.33 0.95 100,000 ，这是因为三个月内  1           p j   p j    j 网站需要准备该 DVD 的张数（见表 3）。 表 3 网站为了保证至少 95%的人三个月内看到该 DVD 需要准备的张数 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 可靠度 张数 50% 70% 80% 99% 4,434 4,449 4,458 4,499 2,217 2,228 2,235 2,266 1,109 1,117 1,122 1,144 555 560 564 580 222 226 228 238 2、问题二模型的建立及求解： 第 6 页 共 15 页
    设 x ij 1,    0,  i i 表示第 个会员分到了第 张DVD 表示第 个会员没有分到第 张DVD j j ，则对会员的分配矩阵为： A  x 1,1 x 1,1  x 1000,1       x  1,2 x  1,1    x 1000,2 x 1,100 x 2,100  x 1000,100              1 2 X X  X 1000       其中 iX 为一维行向量，表示对第i 个会员的 DVD 分配情况。 由题目中的表 2，我们可以得到会员对 DVD 的偏爱程度矩阵为： B  a 1,1 a 1,1  a 1000,1       a  1,2 a  1,1    a 1000,2 a 1,100 a 2,100  a 1000,100              B 1 B 2  B 1000       （12） （13） 其中 ija 表示第 i 个会员对第 j 张 DVD 的偏爱程度。 iB 为一维行向量，表示第i 个 会员对各类 DVD 的偏爱程度。 由于 ija 的数字越大，表示偏爱程度越小，同时会员得到该 DVD 的满意度越 小，因而我们定义第i 个会员对分配到第 j 张 DVD 的满意度为 ijb ，即 b ij      1 , a ij 0 , a ij  0 a ij  0 b 1,1 b 1,1  b 1000,1 b  1,2 b  1,1    b 1000,2 b 1,100 b 2,100  b 1000,100        C 1 C 2  C 1000             （14） (15) 则会员的满意度矩阵为       C  其中 iC 为一维行向量，表示第i 个会员对分配到各类 DVD 的满意度。因而，第i 个 会员对分配方案 A 的满意度为： T X C i  i  100  x b ij ij j 1  (16) 当第i 个会员得到其偏爱程度为 1、2 和 3 的 3 张 DVD 时，他是最满意的，其 满意度为 1 2    ，由此可以得到第i 个会员的标准化满意度为： 11 6 1 3 1 第 7 页 共 15 页
    100  j 1  x b  ij ij 11 6  6 11  T X C  i i 11 6 100  j 1  x b  ij ij , i  1,2,  ,1000 (17) 为了使所有的会员获得最大的满意度，只要使他们的满意度和达到最大，由 此可以得到目标函数为： max 6 11 1000  1000 100  i 1  j 1  x b  ij ij (18) 在分配的过程中，每种 DVD 分配给会员的总数不超过网站准备的总数，即： 1000  i 1  x ij  , n j j  1,2,  ,100 (19) 在一次分配中，每个会员获得 3 张 DVD；如果不够 3 张就视为分给该会员 0 张 DVD，即： 0  100  j 1  x ij  3, i  1,2,  ,1000 (20) 综合上述分析，可以得到该问题的模型为： max 6 11,000 1000 100  i 1  j 1  x b ij ij . . s t 1000  i 1  x ij  , n j j  1,2,  ,100 0  100  j 1  x ij  3, i  1,2,  ,1000 ijx i 取 或 ， 0 1  1,2,  ,1000 j ，  1,2,  ,100 (21) 根据上述模型，我们使用 Lingo 软件进行求解，结果如下： 目标函数的最大值为 89.13％； 没有得到 DVD 人数为 0； 得到 1 张 DVD 人数为 6； 得到 2 张 DVD 人数为 54； 得到 3 张 DVD 人数为 940； 比率分别为 0% , 0.6% , 5.4% , 94% 。 表 4 前 30 位会员获得 DVD 的情况 名称 客户 分配 C0001 用户获得的 第 1 张 DVD (该张偏爱度) D008（1） 用户获得的 第 2 张 DVD (该张偏爱度) D041（7） 用户获得的 第 3 张 DVD (该张偏爱度) D098（3） 第 8 页 共 15 页
    C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010 C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030 D006（1） D032（4） D007（1） D011（3） D019（1） D008（2） D031（4） D053（1） D055（2） D059（1） D002（2） D021（3） D023（2） D013（1） D055（9） D047（2） D044（1） D066（4） D045（1） D045（2） D038（3） D029（2） D037（4） D009（1） D022（1） D050（4） D008（1） D026（4） D037（2） D044（2） D050（2） D018（2） D066（1） D053（2） D026（3） D035（5） D078（3） D060（1） D063（2） D031（1） D078（2） D052（1） D066（9） D084（1） D051（3） D060（2） D084（1） D061（3） D050（5） D055（2） D081（3） D041（2） D069（2） D068（2） D058（1） D034（2） D030（2） D062（1） D062（4） D080（1） D041（3） D068（2） D066（4） D081（1） D100（2） D085（3） D066（4） D041（7） D096（1） D029（6） D085（3） D097（2） D067（1） D078（3） D086（2） D089（2） D053（1） D057（1） D095（1） D076（1） D081（4） D095（3） D078（7） D055（1） D098（5） 经计算，前 30 位会员的标准满意度为 92.0%，获得 3 张 DVD 的比率为 93.3%， 也就是 93.3%的会员能够得到他想看的 DVD。 3、问题三模型的建立以及求解： 为了利用题目中表 2 给出的数据，给出一种合理的购买方案，我们分两次完 成购买方案。 第一阶段购买方案：  ( Y i 设 y ,1 i 买方案矩阵为: , y i ,  y i ,1 ,100 ) 表示针对第 i 个会员的需求所选取的购买方案，则购 第 9 页 共 15 页
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