2010年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷.doc

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2010 年云南昆明理工大学高等数学考研真题 A 卷一、填空题:1~10 小题，每小题 4 分,共 40 分. (1) lim 0 x  1(  )2sin x 1 x  (2)已知当 0x 时, 1  ax (3)已知函数 )(xf x    cot   , a 2  ,1 x 1 与 xsin 是等价无穷小,则常数 a x 0 x  0  x 在点 0x 连续,则 a (4)设函数 y  )(xy 由方程 e y  6 xy  2 x 01  所确定,则  )0(y  (5)已知 arcsin 是 x )(xf 的一个原函数,则  x )( xf dx (6)  ( 2  2 3 x  2 sin x ) cos 2 xdx  (7)微分方程 y  2 y  5 y  0 的通解为 (8)设方程 xyz  2 x  2 y  2 z  2 确定函数 z  ,( yxz ) ,则 dz   )1,0,1( (9)积分  0 1 dx 1   e x 2 dy y 的值等于 (10)设曲面 S 为单位球面 2 x  2 y  2 z  1 的外侧,则 S xdydz  ydzdx  zdxdy  二、解答题：11~21 小题，共 110 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.. (11)(本题满分 6 分) 求 y sin 2 x 的 n 阶导数 )(ny . (12)(本题满分 10 分) 设 )( xf          sin ax , x  0 ,0 1 x  0 x )41ln( t  dt , x  0 , ( a 为常数). x  0

(Ⅰ)讨论 a 为何值时, )(xf 为可导函数; (Ⅱ)在 )(xf 可导时,求导函数. (13)(本题满分 14 分) 已知函数 y  3 x (  )1 x 2 ,求 (Ⅰ)函数的增减区间和极值; (Ⅱ)函数图形的凹凸区间和拐点; (Ⅲ)函数图形的渐进线. (14)(本题满分 10 分) 已知函数 )(xf 具有二阶导数 , 且  f )(  .0 (15)(本题满分 8 分) 求不定积分 arctan x 2 x dx . (16)(本题满分 10 分) lim 0 x  )( xf x  0 , f )1(  .0 试证 : 存在  (0,1), 使已知  e x  dx 2  0   2 ,计算  xe  1   x 22  x dx (17)(本题满分 10 分) 设抛物线 y  ( xa  )(1 x  )3 与两坐标轴围成的区域为 1S ,与 x 轴围成的区域为 2S . (Ⅰ)证明 1S 的面积 1A 等于 2S 的面积 2A ; (Ⅱ)求 2S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积V . (18)(本题满分 10 分) 求微分方程 ( 2 x  )1 dy  2( xy  cos x ) dx  0 满足初始条件 y x 0  1 的特解. (19) (本题满分 12 分) 求幂级数 n  0 2 ( n n )1  1  nx 的收敛区间及和函数. (20)(本题满分 10 分)

设 ),( vuf 有二阶连续偏导数, z  3 fx ( xy , y x ) ,求 z  y  及 2 z  yx  . (21)(本题满分 10 分) 计算二重积分  D dxdy 2 4  2 x  y 2 x  2 y x y  围成的区域. , 其中 D 是由曲线 y 1  1  2 x 及

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