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2012年云南高考理科数学试题及答案.doc
2012 年云南高考理科数学试题及答案
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷
一．
选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
（1）已知集合 {1,2,3,4,5}
A
,
B
的个数为（
）
{( ,
,
x y x A y A x
)
,
；,则 B 中所含元素
}
y A
(
)A 3
(
)B 6
(
)C
(
)D
【解析】选 D
x
5,
y
1,2,3,4
， 4,
x
y
1,2,3
， 3,
x
y
， 2,
1,2
x
y
共 10 个
1
（2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（
）
(
)A 12 种
(
)B 10 种
(
)C 种
(
)D 种
【解析】选 A
甲地由1名教师和 2 名学生： 1
2
C C 种
12
2
4
（3）下面是关于复数
1 :
p
z
2
z
2
1
i
2
2 :
z
p
的四个命题：其中的真命题为（
）
2
i
3 :p z 的共轭复数为1 i
4 :p
z 的虚部为 1
(
)A
,p p
2
3
(
)B
,p p
1
2
(
)C
,p p
(
)D
,p p
【解析】选C
z
2
1
i
)
2( 1
i
)( 1
i
( 1
i
)
1
i
1 :
p
z ，
2
p
2 :
2
z
i ， 3 :p z 的共轭复数为 1 i
， 4 :p
2
z 的虚部为 1
（4）设 1 2F F 是椭圆
E
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的左、右焦点， P 为直线 3
a
b
2
0)
x 上一点，
1
F PF 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（
2
)A 1
2
)B 2
3
(
)C
(
(
）
(
)D
【解析】选C
F PF 是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形
2
1
2(
PF
2
F F
2 1
（5）已知 na 为等比数列， 4
a
a c
)
3
2
a
7
a a ，则 1
a
8
2
c
e
c
a
3
4
， 5 6
2
a
10
(
)C
(
)B
5
（
）
(
)A 7
(
)D
【解析】选 D
a
4
a
7
a a
， 5 6
2
a a
4 7
a
8
4
4,
a
7
a
或 4
2
72,
a
4
a
4
4,
a
7
2
a
1
8,
a
10
1
a
1
a
4
2,
a
7
a
10
4
8,
a
1
1
a
1
a
10
7
a
10
7
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 (
N N 和
2)
实数 1
,
a a
2
,...,
a ，输出 ,A B ，则（
n
）
(
)A A B 为 1
,
a a
2
,...,
a 的和
n
(
)B
A B
2
为 1
,
a a
2
,...,
a 的算术平均数
n
(
)C A 和 B 分别是 1
,
a a
2
,...,
a 中最大的数和最小的数
n
(
)D A 和 B 分别是 1
,
a a
2
,...,
a 中最小的数和最大的数
n
【解析】选C
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（
）
(
)A 6
(
)B 9
(
)C
(
)D
【解析】选 B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3
1 1 6 3 3 9
V
3 2
此几何体的体积为
（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线
y
2
16
x
的准线交于 ,A B
两点，
AB
4 3
；则C 的实轴长为（
）
(
)A
2
(
)B 2 2
(
)C
(
)D
【解析】选C
设
:
C x
2
2
y
2
(
a a
交
0)
y
2
16
x
的准线 :
l x 于 ( 4,2 3)
A
4
( 4, 2 3)
B
得： 2
a
( 4)
2
(2 3)
2
2
a
4
a
2
4
（9）已知
0 ，函数 ( )
f x
在 (
上单调递减。则的取值范围是（
)
）
)
4
,
2
]
(
)C
sin(
x
1 3
,
2 4
[
)B
1(0,
2
]
(
)D (0,2]
(
[
)A 1 5
,
2 4
【解析】选 A
]
(
(
x
2
1
x
(
)D
)(
B C
)
,
,
[
[
3
4
2
合题意 排除 (
不合题意 排除 (
5
9
)
]
4
4
4
5
]
)
4
4
(
,
x
4
4
3
5
4
4
2
2
,
[
1
2
)
另： (
，
)
2
2
2
4
得：
3
]
4
2 2
]
[
,
（10） 已知函数
( )
f x
1
1)
x
ln(
x
；则
y
( )
f x
的图像大致为（
）
【解析】选 B
( )
g x
ln(1
x
)
x
( )
g x
x
1
x
( ) 0
g x
0
x
( ) 0
g x
1
x
0,
( )
g x
g
(0) 0
得： 0
x 或 1
均有 ( ) 0
f x 排除 ,
,A C D
0
x
（11）已知三棱锥 S ABC
SC 为球O 的直径，且
的所有顶点都在球O 的求面上， ABC
SC ；则此棱锥的体积为（
）
2
是边长为1的正三角形，
(
)A
2
6
【解析】选 A
(
)B
3
6
(
)C
2
3
(
)D 2
2
ABC
的外接圆的半径
r ，点O 到面 ABC 的距离
3
3
d
2
R
2
r
6
3
SC 为球O 的直径 点 S 到面 ABC 的距离为
2
d
2 6
3
此棱锥的体积为
V
1
3
S
ABC
2
d
1
3
3 2 6
4
3
2
6
另：
V
1
3
S
ABC
2
R
3
6
排除 ,
,B C D
（12）设点 P 在曲线
y
(
)A 1 ln 2
【解析】选 A
x
1
e
2
)B
(
上，点Q 在曲线 ln(2 )
x
y
上，则 PQ 最小值为（
）
2(1 ln 2)
(
)C 1 ln 2
(
)D 2(1 ln 2)
函数
y
函数
y
x
1
e
2
x
1
e
2
与函数 ln(2 )
x
y
互为反函数，图象关于 y
x 对称
上的点
1( ,
P x
2
x
e 到直线 y
)
x 的距离为
d
1
2
xe
x
2
设函数
( )
g x
1
2
x
e
x
( )
g x
1
2
x
e
1
( )
g x
1 ln 2
d
min
min
1 ln 2
2
由图象关于 y
x 对称得： PQ 最小值为 min
d
2
2(1 ln 2)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-
第 24 题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
a b
（13）已知向量 ,a b
夹角为 45 ，且
1, 2
a
10
；则
b
_____
【解析】
b
a b
2
10
3 2
_____
a b
(2
)
2
10
4
b
2
4
b
cos 45
10
b
3 2
(14) 设 ,x y 满足约束条件：
0
,
x y
1
x
y
3
x
y
【解析】
z
的取值范围为
2
y
x
的取值范围为
2
y
x
；则
z
[ 3,3]
约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域： (0,0),
O
(0,1),
A
B
(1,2),
C
(3,0)
则
z
[ 3,3]
2
x
y
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从
正态分布
N
2
(1000,50 )
，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命
超过 1000 小时的概率为
【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为
3
8
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
N
2
(1000,50 )
得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为
超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率
P
1
p
那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 2
p
1
p
（16）数列{ }na 满足 1
n
( 1)
a
n
a
n
2
n
1
，则{ }na 的前 60 项和为
p
1
2
1 (1
2
)
3
4
p
3
8
【解析】{ }na 的前 60 项和为
1830
可证明： 1
b
n
a
4
n
1
a
4
n
2
a
4
n
3
a
4
n
4
b
1
a
1
a
2
a
3
a
4
10
S
15
10 15
16 1830
a
a
4
n
2
a
4
n
2
a
4
n
16
b
n
16
4
3
15 14
n
2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
已知 ,
,a b c 分别为 ABC
三个内角 ,
,A B C 的对边， cos
a
C
3 sin
a
C b c
0
（1）求 A
（2）若 2
a ， ABC
的面积为 3 ；求 ,b c 。
【解析】（1）由正弦定理得：
a
cos
C
3 sin
a
C b c
0
sin cos
A
C
3 sin sin
A
C
sin
B
sin
C
sin cos
A
C
3 sin sin
A
C
sin(
sin
C
3 sin
A
cos
A
1
sin(
A
30 )
)
a C
1
2
30
30
A
60
（2）
bc
sin
A
bc
3
4
S
A
1
2
b
a
2
2
2
c
2
bc
cos
A
b c
4
解得：
b
c （l fx lby）
2
18.（本小题满分 12 分）
某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润 y (单位：元)关于当天需求量 n
（单位：枝， n N ）的函数解析式。
（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列，
数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？
请说明理由。
【解析】（1）当 16
n 时， 16 (10 5) 80
y
当 15
n 时， 5
n
y
5(16
n
) 10
n
80
得：
y
10
n
80
80(
n
(
n
15)
16)
(
n N
)
（2）（i） X 可取 60 ， 70 ，80
(
P X
60) 0.1,
(
P X
70) 0.2,
(
P X
80) 0.7
X 的分布列为
X
P
60
0.1
EX
60 0.1 70 0.2 80 0.7
70
0.2
76
80
0.7
DX
16
2
0.1 6
2
0.2 4
2
0.7
44
（ii）购进 17 枝时，当天的利润为
y
(14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76 .4
76.4 76
得：应购进 17 枝
（19）（本小题满分 12 分）
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