2007年江苏南京农业大学高等代数考研真题.doc

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2007 年江苏南京农业大学高等代数考研真题一、（20 分）．设 f(x), g(x)为数域 P 上的多项式，求证：(f(x), g(x))=1 的充要条件是 (f(x)g(x), f(x)+g(x))=1. 二、（20 分）．当 xai (i=1, 2, , n)时，计算下列行列式 Dn= . a 1 x . . . x x a 2 . . . x x x . . . x . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x . . . na 三、（20 分）．证明：A 是正定或半正定实对称矩阵的充要条件是，存在实矩阵 S 使 A=STS。其中 ST 表示 S 的转置矩阵。四、（20 分）．设 A，B 都是正交矩阵，若A+B=0，证明以下结论： (1) A+B=A(AT + BT)B； (2) A+B 是降秩矩阵。

五、（20 分）．设 f 与 g 是 n 维向量空间 V 中的两个线性变换，而且 f 是幂等的（即 f2 =f）。求证： (1) ker f=x-f(x) xV； (2) V=ker f  Im f ； (3) 如果 ker f 与 Im f 都是 g 的不变子空间, 则 fg=gf。六、（20 分）．设向量组1，2，，s 线性无关, 1，2，，s，,  线性相关, 而且 与都不能由向量组1，2，，s 线性表示。证明：1，2，，s，与1，2，，s ， 等价。七、（20 分）．设 A 为 n 阶实矩阵，Rn 为实数域 R 上 n 维列向量空间, W=Y Rn  XTAY=0, 对一切 X Rn 均成立, W1=Y Rn  AY=0 , 则下列结论成立。 (1) W= W1, 且 W 为 Rn 的子空间； (2) dim W + R(A)=n。其中 dim W 表示子空间 W 的维数。八、（10 分）．求复数域上矩阵

A=         1 0 0 0 0 4 1  0 0 0 0 0 2 1  2  0 0 1 0 1  0 0 2 1  2          的若当标准形。九、（10 分）．当 a0 时，讨论 b 取何值时, 方程组      ax 1 ax 1 ax 1    bx 2 2( b bx 2    2 x 3 )1 x 2 ( b  2 x  3 x  )3 x 1  1  3 2 b  3  1 有唯一解, 无解, 有无穷多解时, 并说明解集合的几何意义。

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