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2002年黑龙江高考文科数学真题及答案.doc
2002 年黑龙江高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3
至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
（1）直线
1(
)
xa
01
y
与圆
2
x
2
y
2
x
0
相切，则 a 的值为
（A） 1,1
（B）
2.2
（C）1
（D） 1
1(
2
3
2
i
3)
的值是
（2）复数
（A） i
（3）不等式
1(
（B）i
|1)(
x
x
（C） 1
（D）1
|)
0
的解集是
（A）
0|{
x
x
}1
（B）
|{
xx
0
且
}1x
（C）
1|{
x
x
}1
（D）
|{
xx
1
且
}1x
（4）函数
y 在 ]1,0[ 上的最大值与最小值这和为 3，则 a ＝
xa
（B）2
（C）4
（D）
1
4
（A）
1
2
（5）在
（A）
)
(
4
2
)2,0( 内，使
5,(
)
4
|{
xxM
,
（6）设集合
sin
x
cos
x
（B）
k
2
1
4
,
k
NM
5
,
（C）
成立的 x 的取值范围是
5,
(
)
4
4
1
k
4
2
（D）
(
)
4
（C）
，
Z
}
k
,
|{
N
xx
NM
，那么 k
（A）
（B）
NM
5
x
（7）椭圆
2
2
ky
的一个焦点是 )2,0(
（D）
(
4
)
,
5(
3,
)
4
2
Z
}
，则
NM
（A） 1
（B）1
（C） 5
（D） 5
（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个
圆锥轴截面顶角的余弦值是
（A）
（9）
3
4
0
（B）
4
5
（C）
3
5
（D）
3
5
a
x
y
1
，则有
（A）
log
a
(
xy
)
0
（B）
0
log
a
(
xy
1)
（C）
1
log
a
(
xy
)
2
（D）
log
a
(
xy
)
2
（10）函数
y
（A） 0b
（11）设
c
（
bx
2
x
（B） 0b
,0(
)
4
，则二次曲线
,0[
)
）是单调函数的充要条件是
（C） 0b
tgy
2
ctg
（D） 0b
1
的离心率取值范围
2
x
（A）
1,0(
2
)
（B）
1(
2
2,
2
)
（C）
2(
2
)2,
（D）
,2(
)
（12）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有
（A）8 种
（D）20 种
（B）12 种
（C）16 种
第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．
（13）据新华社 2002 年 3 月 12 日电，1985 年到 2000 年间。我国农村人均居住面积如图所
示，其中，从
年 2000 年的五年间增长最快。
（14）函数
y
（15）
2
(
x
)(1
2 （
x
1
x
)2
x
7
展开式中 3x 的系数是
x
,1(
)
）图象与其反函数图象的交点为
（16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛
物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为 )1,2( 。
能使这抛物线方程为
y
2
10
x
的条件是第
（要求填写合适条件的序号）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）如图，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近
似满足函数
Ay
sin(
)
x
b
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段时间的函数解析式；
（18）甲、乙物体分别从相距 70 米的两处同时相向运动。甲第 1 分钟走 2 米，以后每分钟
比前 1 分钟多走 1 米，乙每分钟走 5 米。
（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 米，乙继续每
分钟走 5 米，那么开始运动几分钟后第二相遇？
P
ABCD
的底面是边长为 a 的正方形， PB 平面
（19）四棱锥
ABCD 。
（1）若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60 ，求这个四棱锥的
体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面 PAD 与面 PCD 所成的二
面角恒大于 90
（20）设函数
)(
xf
2
x
|
x
1|2
， Rx
（1）讨论 )(xf 的奇偶性；
（2）求 )(xf 的最小值。
、
)0,1(N
)0,1(M
距离的比为 2 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1，
（21）已知点 P 到两定点
求直线 PN 的方程。
（22）（本小题满分 12 分，附加题满分 4 分）
（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模
型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一
种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1、图 2 中，并作简要说明；
（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分）
如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积
与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明。
参考答案
2
C
3
D
4
B
5
C
6
B
7
B
8
C
9
D
10
A
11
D
12
B
一、选择题
题号 1
答案 D
二、填空题
（13）1995
2000 （14）
)1,1(),0,0(
（15）1008
（16）②⑤
三、解答题
（17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是
（2）图中从 6 时到 14 时的图象是函数
Ay
30
10
sin(
)
x
20
b
℃
的半个周期
∴
1
2
2
，解得
8
由图示，
A
)10
10
b
6
14
1
2
sin(
10
30(
x
8
这时，
y
)
20
将
x
,6
y
10
代入上式，可取
1
2
10(
)30
20
3
4
x
8
3
)
4
综上，所求的解析式为
y
10
sin(
20
（
]14,6[x
）
（18）解：（1）设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意，有
0
2
n
，整理得
13
n
140
70
)1
5
n
n
2
(
nn
2
，解得 7n
，
20n
（舍）
第 1 次相遇是在开始后 7 分钟．
（2）设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有
2
n
，整理得
3
70
)1
5
n
n
2
(
nn
2
13
n
420
0
，解得 15n
，
28n
（舍）
第 2 次相遇是在开始后 15 分钟．
（19）解（1）∵ PB 平面 ABCD ，∴ BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影，∴
∴ PAB
而 PB 是四棱锥
是面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，
PAB
3
a
ABCD
60
的高，
60
P
AB
PA
tg
PA
DA
∴
V ABCD
P
1
3
3
aa
2
3
3
3
a
（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 PAD 与 PCD恒为全等
三角形．
AE
AE
，垂足为 E ，连结 EC ，则
，故 CFA
，
ADE
是面 PAD 与面 PCD所成的二面角的平面角．
DP
EC
CDE
CED
90
作
∴
．
设 AC 与 DB 相交于点O ，连结 EO ，则
EO
AC
．
2
2
a
OA
AE
AD
a
在△ AEC 中，
cos
AEC
2
AE
2
EC
2
AE
2(
EC
)
OA
2
(
AE
2
)(
OA
AE
AE
2
)
2
OA
0
所以，面 PAD 与面 PCD所成的二面角恒大于 90
)2(
（20）解：（I）
)2(
f
，由于
7
f
)2(
3
,
f
f
)2(
，
f
)2(
f
)2(
故 )(xf 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）
)(
xf
2
2
x
x
x
x
3
x
1
x
2
2
由于 )(xf 在
,2[ 上的最小值为
)
f
故函数 )(xf 在
(
内的最小值为
)
,
)2(
3
4
3
，在
( 内的最小值为
)2,
f
1(
2
)
3
4
（21）解：设 P 的坐标为
,(
yx ，由题意有
)
|
|
PM
PN
|
|
2
，即
(
x
)1
2
2
y
2
(
x
)1
2
2
y
，整理得
2
x
2
y
6
x
01
因为点 N 到 PM 的距离为 1，
|
MN
2|
所以
PMN
30
，直线 PM 的斜率为
3
3
直线 PM 的方程为
y
3
3
(
x
)1
将
y
3
3
(
x
)1
代入
2
x
2
y
6
x
01
整理得
2
x
4
x
01
解得
2 x
3
，
2 x
3
则点 P 坐标为
2(
1,3
)3
或
2(
1,3
)3
2(
1,3
)3
或
2(
1,3
)3
直线 PN 的方程为
y
1 x
或
y
1 x
．
（22）解（I）如图 1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图 2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的
1
4
个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．
，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三
（II）依上面剪拼方法，有
柱 V
V ．
锥
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为 2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为 1 的正三角
形，其面积为
3
4
．现在计算它们的高：
锥h
2(1
3
3
2
)
2
6
3
，
h柱
tg
1
2
30
3
6
．
V
柱
V
锥
(
h
－ h
柱
1
3
)
3
4
3(
6
6
9
)
3
4
223
24
0
锥
所以
柱 V
V ．
锥
（III）如图 3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为
顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作
垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为
一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．
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