随机过程答案（陆大金）.pdf-资料库

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第一章概论第 1 题某公共汽车站停放两辆公共汽车 A 和 B，从 t=1 秒开始，每隔 1 秒有一乘客到达车站。 1 如果每一乘客以概率 2 的，并用 jξ 代表 t=j 时乘客登上 A 车的状态，即乘客登上 A 车则 jξ ＝1，乘客登上 B 车则 jξ 1 登上 A 车，以概率 2 登上 B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立＝0，则 P { ξ j = }1 = 1 2 P {, ξ j = }0 = 1 2 , 当 t＝n 时在 A 车上的乘客数为 η n = 个二项式分布的计算过程。 P n { =η （1）求 nη 的概率，即 k } = ? k = ,...,2,1,0 n ; n ∑ j 1 = ηξ n j , 是一（2）当公共汽车 A 上到达 10 个乘客时，A 即开车（例如 t＝21 时 21 =η 9 ，且 t＝22 时又有一个乘客乘 A 车，则 t＝22 时 A 车出发），求 A 车的出发时间 n 的概率分布。解（1）： P {η n = k } = n n k ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ 解（2）：名乘客；在时刻第名乘客登上车 10 = n 1 − P n } A{ 开车在时刻车 P 1-n 9A ( = 时刻，车有在 n 1 ⎛ − 1 ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ 9 2 ⎝ ⎠ ⎝ n ⎛ − 1 ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ 9 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ = 1 n n A) 第 2 题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为 T，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数 A。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程 )(tξ 。图题 1－2 画出了它的样本函数。试求 )(tξ 的一维概率密度 f tξ 。 )(x 解：

x f ( ) ξ t t P { ( ) ξ t P t { ( ) ξ = P 0 , η + n x A P x P ) ( ) ( δ δ + − = A 0 P P t A { ( ) 0} } ξ = = = A T nT n n 1) , ] [( ∈ − 是任意的脉冲宽度 n P t T nT A 1) , { [( } ∈ − = = n t T P [ ( 1) ]} { η > − − = n 1 T ∫ T t n T ( 1) − − T t n ( − + T d η T 1) ]} = − = η n ∈ (0, T ) = nT t − T t T t − = − n 1 = − ( T 1) n − T P t { ( ) ξ P { ( ) 0} 1 ξ = − = t = A } = T 1) = t T − ( n − 1) t ( − n − T P x ( ) δ 0 = P ( δ A x A ) − ⎛ ⎜ ⎝ + + t T x A ) − ⎞ ( δ ⎟ ⎠ − ( n − 1) x ( ) ⎞ δ ⎟ ⎠ ∴ = f ξ t ⎛ ⎜ ⎝ n x ( ) t T − 第 3 题设有一随机过程 )(tξ ，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题 1－3(a)、(b)画出了两个样本函数图。各样本函数具有统一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在 t=0 后的第一个零值点位于 0τ ， 0τ 是一个随机变量，它在（0，T）内均匀分布，即 fτ t )(0 = 1 ⎧ ⎪ T ⎨ ⎪⎩ (0 0( ≤≤ Tt ) 其它值）若锯齿波的幅度为 A，求随机过程 )(tξ 的一维概率密度。解（1）： )(tξ 取值在 0，A 之间，且均匀分布 f x )()( tξ = 1 ⎧ ⎪ A ⎨ ⎪⎩ (0 0( ≤≤ Ax ) 其它值）解（2）：令 )(tξ ＝x，则 x=k(t- 0τ )， 0( Ax ≤≤ ) ，t= ' t − t ' T ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ T ⎥ ⎦ , k 为斜率。所以 0τ =t- x k 。

f x )()( tξ = = 1 ⎧ ⎪ T ⎨ ⎪⎩ (0 第 4 题 = 1 k −• 1 A 其它值） 0( ≤≤ Ax ) 设有随机过程 t ωηωξζ cos sin t )( + = t ( ∞<<−∞ t ) 其中ω为常数，且ω>0，ξ和 η是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为 f x )( ξ = f x )( η = 1 2 π 1 2 π exp{ − exp{ − x 2 2 y 2 2 (} ∞<<−∞ x ) (} ∞<<−∞ y ) 即ξ和η是正态分布 N（0，1）随机变量。若把 )(tζ 写成 ζ t )( = V sin( ) φω + t 的形式，（1）求 vf ( v ), f ( ϕ ϕ v ϕ ), f v ,( ), ϕ 问 V 和φ是否统计独立。（2）画出 )(tζ 的典型样本函数；（3）求 )(tζ 的一维概率密度 )(z f tξ ； ∫ ωπ ζ t )( 0 2 / dt 2{ ω A Δ π （4）设有事件 A，解（1）： > c } ，其中 c 为常数，求出现 A 事件的概率 P(A)。 ηξ, 相互独立，故其联合概率密度为 f yx ,( ξη ) = f ξ x )( ⋅ f y )( η ，利用随机变量变换后的概率密度的公式，可得到 φ,v 的联合概率密度： f v v ),( φ φ = f ξ ( v sin ) φ ⋅ f ( η v cos ) φ ⋅ J ζ t )( = = = V ) φω Vt V ωφ + t sin ωηωξ sin( sin cos t + cos t + cos t ωφ sin = ξ ⎧ ⎨ = η ⎩ V V Jacobi 行列式： sin cos φ φ ⎧ V ⎪ ⎨ φ ⎪ ⎩ = 2 2 ηξ = tan 1 − + ξ η 0( < V +∞< ) 0( << )2 πφ

∂ v ( sin ) φ ∂ v ( cos ) φ J = ) ( , ∂ ξη V ( ) , φ ∂ = ∂ v ∂ v ( sin ) φ φ ∂ v ∂ v ( cos ) φ ∂ = φ ∂ sin V cos φ φ cos V − φ sin φ = V f v ,( V φ ) ϕ = = = v ,( | v f )) ,(( ), ϕηϕξ • ξη f yx J ,( |) • ξη f fx Vy )( )( ξ η 2 V eV 2 2 π − = | J | 所以 φ,v 的联合概率密度 f v v ),( φφ = 1 2 π exp( − v 2 2 ) ⋅ v 。该式分别对 φ,v 在各自的定义域内积分，即得 φ,v 的概率密度： f V v )( f v ,( V φ ϕϕ d ) 2 0 = ∫ π Ve − = 2 V 2 f ) ( ϕ φ = = = dv ∫ 0 +∞ v f ,( ) ϕ V φ eV 2 π 2 V 2 − dv ∞+ ∫ 0 1 2 π 因为 vf )( v ⋅ f )( φ φ = f v ),( φ v φ ，所以可知二者统计独立。解（2）：典型样本函数图形，略。解（3）：利用特征函数求解。在 t 时刻，cos(wt),sin(wt) 值均给定。高斯随机变量ξ的特征函数为 uξ ( ) Φ = exp 高斯随机变量η的特征函数为 uη ( ) Φ = exp ⎛ −⎜ ⎝ u 2 2 ⎛ −⎜ ⎝ u 2 2 ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ 因此 t ωηωξ cos sin t , 的特征函数分别为，

u ( cos Φ ξ t ω ) = exp 2 u ⎛ −⎜ ⎝ t ω cos ( 2 2 ) ⎞ ⎟ ⎠ ， u ( sin Φ η t ω ) = exp ⎛ −⎜ ⎝ 2 u t ω sin ( 2 2 ) ⎞ ⎟ ⎠ 又因为 u ( cos Φ ξ t ωηωξζ cos sin t )( + = t ，故随机变量 ζ 的特征函数为 ⋅Φ ηω ) t u ( sin t ω ) = exp ⎛ −⎜ ⎝ u 2 2 ⎞ ⎟ ⎠ ，所以随机变量ζ的概率密度为其特征函数的傅立叶反变换，计算得： f zζ ( ) = 1 2 π exp ⎛ −⎜ ⎝ z 2 2 ⎞ ⎟ ⎠ 解（4）： 2 2 ω / π 0 若 c 小于零，则事件 A 为必然事件，P（A）=1；若 c 大于等于零，考察 ∫ ωπ ζ t ，变形为： )( 2 ω π v = ∫ ωπ v ( ) φω sin dt dt + t 2 0 2 / 2 P{A}=P{ v >2 c }=P{ v > c }= 第 5 题 ∞ ∫ c v ⋅ exp ⎛ −⎜ ⎝ v 2 2 ⎞ ⎟ ⎠ dv = exp c ⎛ ⎞−⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 求第 4 题所给出的随机过程 )(tζ 的均值和自相关函数。解： E )}({ ζ t t t E } { cos ωηωξ = t E }{ sin}{ ωηωξ = 0 = sin + Et + cos 2 )} R t t E t t { ( ) ( ( , ) )} = ζ ζ 2 1 1 ξ t E t t t {( cos sin )( cos sin = + ξ ω η ω ξ ω η ω 1 1 2 2 t E t t E cos { }cos { }cos sin 2 + = ξ ω ω ξη ω ω 1 2 2 t t t E E }cos sin { { }sin sin ξη ω ω η ω ω + + 2 1 2 t t t t sin cos ω ω ω ω + 1 1 2 2 t t ) ω ω − 1 2 ) ωτ cos cos( cos( t 1 sin + t 1 = = = 2

第 6 题设有随机过程 )(tξ ，并设 x 是一实数，定义另一个随机过程 )(tη η ⎧ ⎨ η ⎩ t t )((1)( t t )( )((0 ξ ξ = = < ≥ x ) x ) 试证 )(tη 的均值和自相关函数分别为随机过程 )(tξ 的一维和二维分布函数。解： E E t < x x ) )}({ η P t )({ 1 ξ •= t P )({ ξ = < xF )( = ξ t t ()({ )} )({11 ηη ξ •= 2 1 P x t t )({ , ( ξ ξ = 1 1 xxF ( , = ξ P < ) t 1 2 1 0) •+ t P )({ ξ ≥ x } ) < 2 x 2 ) < ) 2 x 1 < t , ( ξ x ) 2 第 7 题设有随机过程 ({ ξ t ), ∞<<∞− t t )(}, ηξ = cos t ，其中η为均匀分布于（0,1）间的随机变量，即 fη y )( = 0(1 ⎧ ⎨ (0 ⎩ y )1 ≤ < 其它y 值）试证：（1） R t ( , 1 ξξ t 2 ) = （2） C t ( , 1 ξξ t 2 ) = 解（1）： t 2 t 1 1 cos cos 3 1 12 cos cos t 1 t 2 cos } 2 t ) = t 1 t R t E { cos ( , η η 2 1 ξξ t E t { }cos cos 2 = η 2 1 1 ∫ d t t cos cos η η 1 0 1 cos cos 3 t 1 = = t 2 2 2 解（2）： E { } η ηη = = 0 1 d 1 ∫ 2 E t { cos } E { } ξ η = = E { }cos η t = C t ( , 1 ξξ t 2 ) = E {( cos η t 1 − 1 2 cos )( cos η t 1 1 2 cos t t 2 − 1 2 cos t )} 2

= E { }cos cos 2 η t 1 t 2 − E { }cos cos η t 1 t 2 1 2 = = 第 8 题 E { }cos cos η t 1 t 2 + cos cos t 1 t 2 1 4 cos cos t 1 t 2 − 1 4 cos cos t 1 t 2 + 1 4 cos cos t 1 t 2 − 1 2 − 1 4 2 t 1 1 t cos cos 3 1 cos cos 12 t 1 t 2 设有一随机过程 )(tξ 作为图题 1－8 所示的线性系统的输入，系统的输出为 )(tη ，若 )(tξ 的相关函数为 tRξξ 1 t ,( 2 ) ，是求输出随机过程 )(tη 的自相关函数（用输入过程的相关函数表示）。解：第 9 题设 tωξ ), ( 2 R t t E t t { ( ) ( ) ( , )} = η η 1 2 1 ηη t T t E t T t ( ( )][ ( {[ ( ) ) )]} − − ξ ξ − ξ − ξ = 1 1 2 2 T T t E t E t T t { ( { ( ) ( ) ( )} − − = ξ − ξ − ξ ξ 1 2 1 t T E t E t t { ( ) ( { ( ) ( )} )} − ξ ξ + ξ ξ − 2 1 1 R t R t T t T t T ( ) ( , ) , − − − − 1 1 2 ξξ ξξ t T t R t R t ) ) ( , ( , + − − 1 1 ξξ ξξ = 2 2 2 2 2 )} 是§3 例二所定义的随机电报信号（即任何时刻 tωξ ), ( 以概率 1／2 取值 0 或 1，单位内时间波形平均变化次数为 ξλ ）， tωη 也是 0、1 随机电报信号，它在单位内时 ), ( 间波形平均变化次数为 ηλ ，且 tωξ ), ( tωη 是相互统计独立的；又设随机过程 ), ( tωζ ), ( 和是 tωξ ), ( 、 tωη 两随机信号之和，即 ), ( tωζ ), ( ＝ tωξ ), ( ＋ tωη 。 ), ( （1）试画出 tωζ ), ( 的典型样本函数；（2）试求 tωζ ), ( 的一维概率密度；（3）设有两时刻 t1,t2,求 )( 1tζ 和 ( 2tζ 的二维联合概率密度。 ) 解（1）：略。解（2）：

t , ) 0} = t , ) 1} = t , ) 1} = = P { ( ξω P { ( ζω t , ) 0} { ( ηω P = • = t , ) 0} = = 1 1 1 2 2 4 P t P t P , ) 1} { ( , ) 0} { ( { ( ηω = = ξω = ζω t P P t , ) 0} { ( { ( , ) 1} = ηω = + ξω 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 P t t { ( , ) 1} { ( , ) 2} ξω = = 1 1 1 4 2 2 1 z ( ) 4 = • + • = = • = P { ( ζω 1) − + ηω z ( ) 1 4 1 2 ( δ ( δ f ζ δ P = − = + z z ∴ 2) 解（3）：随机电报信号 t1,t2 之间发生偶数次变化的概率是 ([ λ ( ∞ ∑ k = 0 t 2 − k ! t ([ λ t 1 k )] ( − λ t − t 1 ) 2 e t 1 k )] 2 − k ! ( − λ t − t 1 ) 2 e + ∞ ∑ k = 0 [ ( − λ t t 1 k )] − ! 2 k ( − λ t − t 1 ) 2 e ) = 1( − (2 λ t − t 1 ) 2 + e ) 随机电报信号 t1,t2 之间发生奇数次变化的概率是 k = = ∑ even 1 2 1 2 k = = ∑ odd 1 2 1 2 )( 1tζ 和 = ([ λ t t 1 k )] ( λ − t − t 1 ) 2 e 2 − k ! t ([ λ 1( − (2 λ t − t 1 ) 2 − e ) ( ∞ ∑ k = 0 t 1 k )] 2 − k ! ( − λ t − t 1 ) 2 e − ∞ ∑ k = 0 [ ( − λ t t 1 k )] − ! 2 k ( − λ t − t 1 ) 2 e ) ( 2tζ 的二维联合概率密度＝ )

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