离散模型 1、 分析问题： 离散模型主要是应用于预测经济发展的趋势、人口增长的走势、银行存贷款的额度、生物繁衍、疾病 传播等模型的问题。 2、 模型假设： 离散模型的假设一般采用 Xn 、Yn 的形式，从而建立一系列不连续却相互关联的点集，由相应的 n 值 及点的间隔构造的函数为下面模型的建立提供了基础。 3、 模型建立： 离散模型的基本形式：Xn+1 = f ( Xn , Xn-1 , t )，即该函数由当前值 Xn+1 ，先前值 Xn ，Xn-1 …… 及 变 量 t 构 成 ， 它 通 常 被 称 为 差 分 方 程 。 一 阶 线 性 常 系 数 的 差 分 方 程 表 示 为 ： Xn+1=aXn +b, 或 Xn= na 0x + a  1 n b a ( 1)  。除此之外还有二阶和高阶差分方程，可根据具体的题目需要建立相应的模 型。当然，大多数数学模型是很难一次性就建立完成的，尤其是像离散模型往往涉及大量数据的采集和归 纳问题，由此可能要建立一系列的差分方程构成方程组，才能实现模型的建立。 4、 模型求解： 求解离散模型主要就是求解差分方程，即根据 n 值及初始变量 0x ，来求出 Xn 的值。求解差分方程 可以用线性函数的思想，将离散的点集抽象成连续性的模型来求解。求解差分方程时一般会涉及多个变量， 例 1 

A B   1n   1n n b  A B A B  a n n n ; ; 比较直观的解法就是根据初始变量 a,b,A0,B0 及 n 值逐次代入方程组中求得 An,Bn 的值，这种方法计 算小范围数据时比较容易，一旦涉及大量数据计算过程将非常繁琐。 再一种计算方法可采用变量代换的方法使方程中只留一个变量，如前面的问题经变量代换后可得 A 2 n   a A 1 (1   n  ) ab A n  0 这个方程由已知的 A0,A1 等通过迭代即可求出 An 的值。 除了上述方法外，涉及多个变量的差分方程还可以转化成矩阵来表示，仍然是上面的模型，用矩阵形 式可表示为：     A B     n  1 n  1  1   a  b  1        A B     n n 继而可以推出：     A B     n n  1   a  n b  1        A B     0 0 经转换后的矩阵模型，可以借用 MATLAB 强大的计算功能求解，很容易得到 An ，Bn 的值。 下面就离散模型的问题举出一道例题。 例： 拥有 10000 人的 A 军与拥有 5000 人的Ｂ军展开一场战斗，A 军的杀伤力 a=0.1 ，Ｂ军的杀伤力ｂ=0.15， 做出模型来预测战斗结果。 解： 依问题可简化模型为： A A B A   1 n   b n n n  B 0.15 n 2 

B B A B A 0.1    1 n   a n n n n 将 10000 人划作一个作战单位，所以Ａ０=10，Ｂ０=5，通过上述模型可预测下面的结果（精确到小 数２位）： n（次） An Bn 0 10 5 1 9.25 4.00 2 8.65 3.08 3 8.19 2.21 4 7.86 1.39 5 7.65 0.61 6 7.55 -0.16 算到 n=6 就不用继续往下算了，因为 B 军已出现负值，超出了定义范围，模型已失效。从表中也可以 看出，最后 A 军尚有 7550 名士兵。 将以上的模型变换成二阶差分方程再来考虑它的数值解，以上差分方程可合并为：  0 A 2 n  2  2  A 1 n  A A ) (1 ab   1 n n  A 0 0.985   nA nA n X    2 ， 2 n A 2 n  nA X n ，其中和 X 是要确定的数，则   1 1 n X  。 即 令 所以原式可变为 nX （ 2 2 X X  0.985 ）=0，解得 X 1=1.1225, X 2=0.8775。一般而言，此两 根的线性组合即为所求：  (0.8775) n n   (1.225) nA  A 10     A 1.225 0.8775     0 1    由初值 可求得=1.94，=8.06，所以最终表达式为：   9.25 n 1.94(1.225) A A  ( b  nA  B nB = 1.58(1.225)   ) 1 而 n n n  n 8.06(0.8775) ，代入后可得： n  6.58(0.8775) n 尽管从数学的角度 n 可以取到无穷，但考虑实际情况，对这个模型而言，n 的有意义的取值范围只是 3 

[0,5]。 还可以用矩阵的方法解这个问题，即写成：    A B    n 1   1 0.1      0.15 1       A B    n 4