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2006年陕西高考文科数学真题及答案.doc
2006 年陕西高考文科数学真题及答案
注意事项：
1．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂
对应的试卷类型信息点。
3．所有答案必须在答题卡指定区域内作答，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共 60 分）
一、选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项是符合题目要求的（本大题共 12
小题，每小题 5 分，共 60 分）。
1．已知集合
P
Nx
(
1|
x
},10
集合
Q
xRx
{
|
2
6
x
},0
则
QP
等于
（A）{－2，3}
1
x
)(
xf
1
2．函数
（B）{－3，2}
（C）{3}
（D）{2}
(
Rx
)
2
的值域是
（A）[0，1]
（B） )1,0[
（C） ]1,0(
（D）（0，1）
3．已知等差数列
,}{
an 中
a
2
a
8
8
，则该数列前 9 项和 S9 等于
（A）45
（B）36
（C）27
（D）18
4．设函数
)(
xf
log
a
(
)(
abx
,0
a
)1
的图像过点（0，0），其反函数的图像过点（1，
2），
则 a+b 等于
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
5．设直线过点（0，a）其斜率为 1，且与圆 x2+y2=2 相切，则 a的值为
（A）±4
（B）
22
（C）±2
（D） 2
6．“α、β、成等差数列”是“等式 sin(α+ )=sin2β成立”的
（A）必要而不充分条件
（B）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分又不必要条件
7．设 yx, 为正数，则
(
x
y
1)(
x
)4
y
的最小值为
（A）15
（B）12
（C）9
（D）6
8．已知非零向量
AB与 满足
AC
）· BC =0 且
AB ·
| AB
|
AC =
| AC
|
1
2
.
（
AB
|
AB
|
AC
AC
|
|
则△ABC 为
（A）等边三角形
（C）等腰非等边三角形
（B）直角三角形
（D）三边均不相等的三角形
9．已知函数
)(
xf
2
ax
2
ax
(4
a
)0
. 若
x ，
1
x
2
x
1
x
2
=0，则
（A）
(
xf
1
)
(
xf
2
)
（C）
(
xf
1
)
(
xf
2
)
（B）
(
xf
1
)
(
xf
2
)
（D）
(
xf 与
)
1
(
xf
2
)
的大小不能确定
10．已知双曲线
2
2
x
a
2
y
2
(1
a
)2
的两条渐近线的夹角为 ,
3
则双曲线的离心率为
（A）
32
3
（B）
62
3
（C） 3
（D）2
11．已知平面外不共线的三点 A，B，C到的距离都相等，则正确的结论是
（A）平面 ABC必不垂直于
（B）平面 ABC必平行于
（C）平面 ABC必与相交
（D）存在△ABC的一条中位线平行于或在内
12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明
文（解密）. 已知加密规则为：明文 a,b,c,d对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，
明文
1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16. 当接收方收到密文 14,9,23,28 时，则解密得到的明文为
（A）1,6,4,7
（B）4,6,1,7
（C）7,6,1,4 （D）6,4,1,7
第二部分（共 90 分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共
16 分）.
cos
43
2 ）6 展开式中的常数项为
x
（用数字作答）.
的值为
14．（
13．
cos
167
43
77
sin
cos
1
x
.
15．某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地 1 人），其中甲和乙不
同去，则不同的选派方案共有
16．水平桌面α上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).
在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球，它和下面的 4 个球恰好都相切，则小球的球
心到水平桌面α的距离是
种（用数字作答）.
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分）
17．（本小题满分 12 分）
甲，乙，丙 3 人投篮，投进的概率分别是
2
5
1,
2
3,
5
.
现 3 人各投篮 1 次，求：
（Ⅰ）3 人都投进的概率；
（Ⅱ）3 人中恰有 2 人投进的概率.
18．（本小题满分 12 分）
已知函数
)(
xf
3
sin(
2
x
6
sin2)
2
(
x
12
)
(
Rx
).
（Ⅰ）求函数 )(xf 的最小正周期；
（Ⅱ）求使函数 )(xf 取得最大值的 x的集合.
19．（本小题满分 12 分）
,
如图，
,
Al
B
,
，点 A 在直线 l
上的射影为 A1，点 B在 l上的射影为 B1. 已知 AB=2，
AA1=1，BB1= 2 ，求：
（Ⅰ）直线 AB分别与平面 , 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角 A1—AB—B1 的大小.
20．（本小题满分 12 分）
已知正项数列 }{ na ，其前 n 项和 Sn 满足
10
S
n
a
2
n
5
a
n
6
，且
列，求数列 }{ na 的通项 .na
21．（本小题满分 12 分）
,
aaa
1
15
,
3
成等比数
如图，三定点 A（2，1），B（0，－1），C（－2，1）；三动点 D，E，M 满足
AD
ABt
，
BE
BCt
，
DM
tDEt
,
].1,0[
（Ⅰ）求动直线 DE 斜率的变化范围；
（Ⅱ）求动点 M 的轨迹方程.
22．（本小题满分 14 分）
)(
xf
kx
3
2
3
x
1
设函数
（Ⅰ）求函数 )(xf 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 )(xf 的极小值大于 0，求 k的取值范围.
( k
).0
2006 年陕西高考文科数学真题参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）.
1.A
2.B
3.C
4.C
5.B
6.A
7.B
8.D
9.A
10.D
11.D
12.C
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）.
13.
1
2
14.60
15.1320
16.3R.
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分）.
17．解：（I）记“甲投进”为事件 A1，“乙投进”为事件 A2，“丙投进”为事件 A3，则
.
(
AP
1
)
2
5
,
(
AP
2
)
1
2
,
(
AP
3
)
∴P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=
∴3 人都投进的概率为
3
25
.
3
5
2
5
1
2
3
5
3
25
.
)
1
)
)
)
(
BP
（II）设“3 人中恰有 2 人投进”为事件 B，则
(
)
(
(
)
AAAp
AAAP
AAAP
2
1
2
3
2
1
3
3
(
(
)
)
(
)
()
(
(
AP
AP
AP
AP
A
AP
2
3
1
2
1
3
21(
1)
3
11(
2
3)
31(
2
1
5
5
5
5
5
5
2
2
2
19
50
1)
∴3 人中恰有 2 人投进的概率为
(2sin3
)(
xf
cos
(2
x
x
.
18．解：（I）
(
)
AP
1
19
50
)
(
AP
2
)
(
AP
3
)
,
(2sin
x
cos
(2
x
)]
1
)
12
12
12
)
12
1
2
1]
)
12
6
.1)
3
3[2
2
sin[
2
(2
x
2
sin(
2
x
T
2
2
.
（II）
当
)(
xf
取最大值时
,
sin(
2
x
3
,1)
有
2
x
即
x
3
k
2
(
k
,
Z
),
2
k
5
12
所求
{
x
的集合为
xRx
|
k
5
12
,
k
Z
}.
19．解法一：（I）如图，连接 A1B，AB1.
∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB2⊥l，∴AA1⊥，BB1⊥a.
则∠BAB1，∠ABA1 分别是 AB 与和所成的角.
Rt△BB1A 中，BB1= 2 ，AB=2，
∴sin∠BAB1=
BB
AB
1
2
2
,
Rt△AA1B 中，AA1=1，AB=2，
∴sin∠ABA1=
AA
AB
1
1
2
,
∴∠BAB1=45°
∴∠ABA1=30°.
故 AB 与平面，，所成的角分别是 45°，30°.
（II）∵BB1⊥， ∴平面 ABB1⊥.在平面内过 A1
作 A1E⊥AB1 交 AB1 于 E，则 A1E⊥平面 AB1B.过 E 作
EF⊥AB 交 AB 于 F，连接 A1F，则由三垂线定理得 A1F⊥AB，
∴∠A1FE 就是所求二面角的平面角.
在 Rt△ABB1 中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B= 2 .
∴Rt△AA1B1 中，AA1=A1B1=1，∴
EA
1
1
2
AB
1
2
2
.
在 Rt△AA1B 中，
BA
1
2
AB
2
AA
1
14
.3
由 AA1·A1B=A1F·AB 得
A1F=
BA
1
AA
1
AB
1
2
3
3
2
,
∴在 Rt△A1EF 中，sin∠A1FE=
EA
1
FA
1
6
3
，
∴二面角 A—AB—B1 的大小为 arcsin
6
3
.
解法二：（I）同解法一.
（II）如图，建立坐标系，则 A1（0，0，0），
A（0，0，1），B1（0，1，0），B（ 2 ，1，0）.
在 AB 上取一点 F（x , y, z），则存在 t∈R，使得
AF
ABt
，
即(x, y, z－1)=t( 2 ,1,－1), ∴点 F 的坐标为( 2 t, t, 1－t).
要使
FA
1
AB
,
须
FA
1
AB
,0
即( 2 t, t, 1－t)·( 2 ,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得 t=
1
4
,
∴点 F 的坐标为
2(
4
1,
4
3,
4
),
FA
1
2(
4
1,
4
3,
4
).
设 E 为 AB1 的中点，则点 E 的坐标为（0，），
EF
2(
4
又
EF
AB
EF
AB
,
1,
1,
).
4
4
2(
1,
4
4
1,
4
FEA
1
又
cos
FEA
1
FA
1
|
FA
1
|
EF
|
EF
)1,1,2()
1
2
1
4
1
4
,0
.
为所坟一面角的平面角
2()
3,
4
4
9
2
16
16
2(
4
2
16
1,
4
1
16
|
)
1,
1,
4
4
1
16
1
16
1
8
1
16
3
4
3
16
1
2
1
3
3
3
,
∴二面角 A1—AB—B1 的大小为 arccos
3
3
.
20．
10
S
n
a
2
n
5
a
n
,6
①
10
a
2
2
a
1
5
a
1
,6
解之得 a1=2 或 a2=3.
又
10
S
n
1
a
2
1
n
5
a
n
1
6
(
n
)2
②
由①—②得
10
(
aa
n
2
n
a
2
1
n
(5)
a
n
a
n
1
),
(
即
a
n
a
n
1
)(
a
n
a
n
1
)5
0
n
a
,
a
1
a
,
aaa
15
3
1
,2
21．解：（I）
n
a
,0
1
n
,
不成等比数列
a
a
1
a
1
5
n
).2
,2
时
a
3
(5
n
.3
a
当
1
3
n
当
a
1
,12
a
15
,3
时
a
3
,72
,13
2
a
有
3
a
15
aa
1
15
.73
,
n
解法一：如图（1）设 D(xD, yD), E(xE , yE), M(x, y).
,2
y
D
)1
),2,2(
t
由
AD
ABt
,
BE
x
y
D
D
k
DE
t
2
,2
t
同理
2
.1
t
y
x
D
D
E
y
x
E
],1,0[
E
,
(
BCt
x
D知
,2
t
x
2
.1
y
t
E
2(1
2
t
t
2
2(
t
t
].1,1[
k
DE
)1
)2
.21
t
（II）
DM
,DEt
2
t
2,2
t
21
t
)1
4,2(
t
t
)2
4,2(
t
t
2
),2
t
(
2
,2
x
t
y
),21(2
x
t
2
,)21(
y
],1,0[
t
t
x
t
)1
2
t
2(
t
2
x
4
)21(2
t
]2,2[
即
x
y
,
2
.4
y
即所求轨迹方程为
2
x
,4
xy
].2,2[
解法二：（I）同上.
（II）如图，
OD
OE
OM
AD
OA
OB
BE
OD
DM
2
)
1(
OA
t
OA
OB
ADt
BCt
OD
DEt
1(2
)
OBtt
OA
OB
(
OBt
(
OCt
(
OD
OEt
2
.
OCt
)
OA
)
OB
OD
1(
)
OAt
1(
)
OBt
1(
)
)
ODt
,
OBt
,
OCt
OEt
设 M 点坐标为(x, y)，由
OA
),1,2(
OB
),1,0(
OC
)1,2(
得
x
y
t
2
2
1(
t
1(
t
],1,0[
1(22
)
0)
tt
2
)
1(21)
tt
],2,2[
x
t
)1(
)2(
),21(2
t
2
2
,)21(1
t
t
得消去
t
2
x
,4
y
故轨迹方程是
2
x
,4
xy
]2,2[
22．解：（I）当 k=0 时，f(x)=－3x2+1.
∴f(x)的单调增区间为
( 单调减区间为
,0[ 当 k>0 时
).
f
)(
x
2
3
kx
6
x
(3
xkx
∴f(x)的单调增区间为
(
],0,
),2
k
,2[],0,
k
),
单调减区间为
]2,0[
k
.
（II）当 k=0 时，函数 f(x)不存在极小值.
当 k>0 时，依题意
12
2
k
)2(
k
8
2
k
f
,01
即 k2>4. 由条件 k>0，所以 k的取值范围为（2，+∞）.
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