力 学 与 实 践 年 第 卷 理论力学可视化教学与 ‘’ 尚 玫 “ 梅凤翔 北京理工大学宇航学院, 北京 “ ,, 模块输出位置、 速度 、加速度等运动信号 或给出 力、力偶 包括由约束产生的 圆粗缈回怪 “ 由度 “ 自由度 ”模块表示一个旋转自 ,, 模块表示一个平移 “ 尹 模块表示用户定义的刚 体 该模块被赋值于质量 、惯性张 四 量以及坐标系 ,, 模块给出刚体相 “ 对于指定坐标 系的位置 、速度 、 加速度 本文将通过算例介绍 的建模方法和数值 模拟结果 算例演示 例题 小车单摆系统 图 ,, ’户 砖献献 比 臀凹凹 摘要 理论力学中的运动学部分有很多机构在教学过程中 需要演示给学生观摩 , 如何用直观而易行的办法来完成该项 任务是个值得探讨的问题 而理论力学中的动力学部分 , 对 于系统的建模和分析己有 一套解析的办法 , 但缺乏直观性 本文通过算例演示了 软件在理论力学教学中的应用 中的 关键词 理论力学教学 , , 软件 中图分类号 文献标识码 文章编号 一 一 一 引 言 是 动态系统的建模 、仿真和综合分析 内嵌的 一个集成软件包 , 可用于 属于 运动学和动力学的模拟 式 动力学正问题 主动力 力偶 ,求得满足约束条件的运动 的 一部分 , 适用于机械系统的工程设计和刚体系统 通常有 类分析模 积分 动力学逆问题 求解能产生用户特指的某拓扑 开放系统的运动所需的力 力偶 运动学分析 求解能产生用户特指的某拓扑闭合系统的运 模型修整分析 动所需的力 力偶 求解动力系统的稳态或平衡状态 外表以方 块图形式呈现 , 只要进行鼠标的简单拖拉操作就可构造出复 杂的仿真模型 下面简单介绍组成仿真模型的常用模块 一 “ ,, 模块将约束模块的 端 固定 于惯性 空间 中 的某位置 处 曰口回 , “ , 定初始位 置和初始速度 ,,模块设 ,’模块施加 ’一义 “ 力或力偶激发约束模块 ,或予以某 位置 、速度 、加速度等运动信号 本文于 一 一 收到 国家自然科学基金项 目 尚玫 , 资助 年生 , 博士 , 副教授 , 从事动力学 与控制的教学与科研工作 公 卜 ,北京理工大学基础研究基金 图 小车单摆系统 · 

第 期 尚 玫等 理论力学可视化教学与 系统的运动微分方程 ￡告“一““, 看“’‘““一 蠢 , 。。“去‘’‘ 告 ,‘‘“一 建立的系统模型如图 所示 图 滑块单摆系统 形 求系统的运动方程 经常通过此例题给学生演示现象 不同的初始条件 , 系 统的动力学行为不同 冬冬冬 拐拐拐 份份份 之之、、 的的的 — 二一 图 小车单摆系统的仿真模型 以广义坐标表示 可以得到图 所示的模拟结果 二, 、、 」」 落﹄、“,三工 川川万兄、旅,、, ,、,、, 一 一 巴几片井 、丫“…‘ 图 小车单摆系统仿真结果 专门针对力学机械系统的建模和问题求 解 若想建立系统的动力学模型 , 就需恰当地选取各力学部 件 ,并将其连接在一起 显然 ,每一个模块对应一个力学元件 可以双击模块来输 入各力学部件对应的参数 , 例如 , 物体的质量 , 以惯性张量表述的转动惯量 , 质心的位置坐标 模块的参数包含 和表示方位的欧拉角或欧拉参数 旋转轴的方位 模块的参数为刚度系数 模块的参数包含 和阻尼系数 模块给出刚体的初始位置和方位 其中 模块给出刚体的运动变量的位置 、速度和加速度 若 需要还可以给出约束反力和约束反力偶 图 表述的是理论力学教科书中常见的例题 机构在铅 垂面内运动 ,均质杆 杆与滑块用刚度系数为 的扭簧连接 用光滑铰链与滑块连接 , 二时扭簧无变 ,沙 , 心 。 二, 一告 , 一 。“一“ 告“一 去“。一 ”。。·。普 ‘ 工自 ﹄二仔︸ 。工口二 夕 一‘ 丫州「」 。 二 口 百 “ “ , 口 月任一 是正定对称矩阵 , 是广义坐标的函数 多体系统动力学中 习惯表述为 一丢。 。 。一鬓, ,一, 一豁, 一“ 一告沪 一 。 告“一 告、。一 系统运动 的 方程 女 一‘ ”一护 箭 几丁 飞丁 甘 几 飞厂, 口 几了 ’ 下产一 图 和图 所选的时间区间不同 , 每幅图中均包括两条 下面表示滑 曲线 其中 , 上面表示摆杆的运动 块的运动 二亡 

力 学 与 实 践 年 第 卷 日 飞 〔 工〔 、 图 淞块 单摆系统 的仿 真结 果 。网 、她啊喇咖出侧咔协帅恤咖叫今晒切帅 川 几 〕 〔 马 〕 了 胡 硬, 汾 欠单摆 系统 的仿 真全 淞 例题 单摆 单摆的运动方程 为 一 图 表示 模块求解 单摆微分方程的过程 , 表 述 了动 力学模型中的各种算法和运算 , 但易构成代数环 图 滑块单摆系统的仿 真结 果 例题 双摆 图 所不为理论力学 中常 见的双摆系统 两个杆的质 量分别为 川 、二 长度分别为 , 势能和动能为 一 了,,【 ,之 夕 一 ,,, 夕 一了‘“‘ ‘子“犷‘“乡‘ 一口 , 双摆 的运动微分方程 。, 盆 ,, , 口一 沙了、 , 一口 。 、、 ,了, ,二 爹 , 。 , 乡 。 。一 二 沙兰、 , 一口 。, , , ￡古 ‘ 川 一 图 ,,,、、川 构建的单摆 的仿真模型 酬 表不 川 入 , 模块求解 单摆微分方程 的过 可测得力学 部件的物理特性 在此单 程 传感器 摆校 型中 , 可测得 上端铰链处的角位移和角速度 、 ‘ 鼎 一下 竿竿竿 乏乏中中 妄妄妄 妙妙妙 ‘‘‘ 图 川 、 、构建 的单摆 的仿 真模型 图 双摆 

第 期 尚 玫等 理论力学可视化教学与 川 竿竿竿 品品品 勺勺勺 份份份 易易易 勺勺勺 重重干干 芬芬芬 习习习 份份份 一 】一皿 场 产产产 乙乙 场 声声声 扮扮 切切切切切切切切切切切切 勺勺勺勺 。。。。。。。。。。。。。 乙乙乙乙乙 守守守守守守 世 脚 ” 二。川,囚 因 ·’ 。 一 平面四连杆机构的仿真模型 图 图 双摆系统的仿真模型 图 中上面为 ,下面为 图 双摆系统的仿真结 果 例题 平面四连杆机构 图 图 平面四连杆机构 图 平面四连杆机构的仿真结果 上述的仿真结果给出的是时间发生变化时系统的响应 如果仅对机构的定性行为感兴趣 , 还可用 动画演示模块进行分析 , 限于篇幅 , 此处从略 的 结 论 本文利用算例初步演示了 的建模过程 每一个算例都可以修改参数后用于不同的问题 , 比如例题 中的单摆考虑阻尼后的方程为 十了 可利用此模 型研究参激单摆 的非线性 进 一步还 可改写为 ‘“”子卜“一 碑‘ ·‘·“一。 此模型可以近似小孩荡秋千的动力学模型 可以留作小论文 要求学生讨论稳定性区域 、高度 的值变化时系统的 卜线性 现象 项 目中的大型建模和运算 就运算速度而言 , 适合作小型算例 分析 , 不适合用于科研 源码 

力 学 与 实 践 年 第 卷 文件的速度要快于 , 而 又快于 出版社 , 、 但对于教学中的算例而言 , 运算速度不是问题 参 考 文 献 马尔契夫著 李俊峰译 理论力学 北京 高等教育出版社 , 、 王琪 理论力学课件 七 · 张志涌 精通 版教程 北京 北京航空航天大学 尤 责任编辑 周冬冬 两种 中级动力学教材的最新修订 陈立群 ‘ 上海大学力学系, 上海 摘要 本文介绍两本优秀的美国中级动力学教材 教授著 工程动力学 》和 教授著 应用动力学 》的 年版 比较两书 的修 汀前后的内容 , 并分析两书的特 点 关健词 中级动力学 , 教材 , 修订 中图分类号 文献标识码 文章编号 一 一 一 和 到了 文献 介绍了 教授的《高等工程动力学 》 教授的 应用动力学 》等教材 该文发表后 ,笔者收 教授赠阅的新著 《工程动力学 》 后来 , 所著教材的第 版 《应用动力学 》 两书 又见到 都是难得的出自名家之手的精品教材 笔者仔细地阅读了两 书的修订版 , 并与原版进行了比对 本文先对比两书修订之 处 , 然后分析两书的特点 , 并对高等动力学教材使用提出些 个人看法 的 《工程动力学 》 基于在乔治亚理工学 院使用 《高等工程动力 学 》 ’ 多年的教学经验 , 重写了该书大部分内容 , 篇幅增 加了 多页 , 以至于作者认为修订版完全是本新的教材 该书以刚体动力学和分析动力学作为主要内容 , 称为 《工程 动力学 》比 《高等工程动力学 》更为恰当 《工程动力学 》中最重要的是作者对动力学课程的内涵 有了新的理解 动力学是物理学 、应用数学 、计算方法和基 本逻辑的跨学科融合 因此 , 希望能从物理和分析两个方面 理解基本原理 , 展示动力学学科概念紧密关联 的逻辑美 同 时 , 他还指 出 , 由于描述运动和求解方程的工具的发展 , 动 力学的研究 已经 由自然哲学变为工程科学 因此 , 作者希望 在不同背景的学生能接受的前提下 , 涉及现实世界工程问题 的复杂性 《工程动力学 》加强了数学分析和数值计算方法 在数 一 一 收到 本文于 陈立群 , 教授 , 博士导师 , 主要研究方向为非线性振动与控制 , 一 尤 动一章专 门讨论 了相对导数 在 学基础方面 , 基本事项一章增加了矢量代数和矢量微积分 , 把矢量运算和牛顿力学共同作为工程动力学的基础 相对运 原理一节 , 增加 了变分法和 序列法 在数值方法方面 , 不仅讨论 了完 整系统方程的求解 , 而且在受约束系统一章中 , 系统地阐述 了计算方法 , 包括算法 、数值误差控制和初始条件 , 并应用 于分析受干摩擦作用的系统 《工程动力学 》增加了 一些 《高等工程动力学 》没有的 内容 在刚体动力学中 , 增加了刚体碰撞 , 这是近来研究较 多的一个课题 在分析力学导论中 , 增加了虚功原理和动态 虚功原理 即国内教材中的动力学普遍方程 在分析力学的 其它建模方法 一章 , 增加了 方 方程的关系 在陀螺效 程 、 应一章 , 澄清和更新关于惯性导航系统的讨论 《工程动力 学 》删去 《高等工程动力学 》中方程的线性化的内容 方程 , 并讨论了 方程和 一 和 《工程动力学 》参考 等的力学史论 著补充了一些历史注记 特别澄清了动力学初等课程中的一 些习惯说法 , 如对 ’ 原理的解释 第 章对动力学 做出重要贡献的先驱的传记也有扩充 《高等工程动力学 》 有 , , , , ’ , , 和 叮 小传 , 工程动力学 》增加了 , , 和 的传记 , 但删掉 了 的传记 《工程动力学 》增加 了大量例题 多数例题含有现实工 程 问题常见的机构元素 , 作者希望通过例题引导学生从求解 到得到结论 有些例题也引入新的内容 例如 , 在刚体的惯性 效应的例题中计算了天体的引力矩 在变分法的例题中导出 了轴向运动缆绳的横向运动微分方程 , 并在 例题中将前述非线性偏微分方程截断为非线性常微分方程 序列法的 即使是两书相 同的题材 , 作者也重写了几乎全部 内容 补充了基本概念的解释 , 数学推导力求更普遍或更优美同时 便于接受 每章的参考文献都增加了新的书 目 习题也有增 混沌的控制与同步化 , 航天器姿态动力学的控制等