2019辽宁考研数学二真题及答案.doc-资料库

2019 辽宁考研数学二真题及答案一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当 x  时，若 0 x  tan A 、 1. 【答案】C . 与 x B 、2 . kx 是同阶无穷小量，则 k  （） C 、 3 . D 、 4 . 【解析】因为 x  tan ~ x  ，所以 3 x 3 k  ，选 C . 3 2、曲线 y  x sin x  2cos x 　　－     ２   x 3  ２    的拐点是（） A 、 ,     ２２　   . B 、  0,2　 . C 、  , 2 　  . D 、 3 3,   　   ２２    . 【答案】C . 【解析】 y   x cos x  　　， sin x y    x sin x ，令 y    x sin x  ，解得 0 x  或 0 x  。当 x  时， y  ；当 x  时， 0 3、下列反常积分发散的是（） y  ，所以  0 , 2 　  是拐点。故选 C . A 、   0  xxe dx . B 、   0 2 xxe  dx . C 、   0 tan arx 2 1 x  x dx . D 、   0 1 x x  2 dx . 【答案】 D . 【解析】 A 、   0 x  xe dx     0  x xde   xe  x  0    0 x  e dx  1 ，收敛； B 、   0 2  x xe dx  1 2   0 2  x e 2 dx  1 2 ，收敛；

C 、   0 tan arx 2 1 x  x dx  1 arctan 2 2 x  0  2  8 ，收敛； D 、   0 x x  2 1 dx  1 2   0 1  1 2 x d (1  2 x )  1 2 ln(1  2 x )  0   ，发散，故选 D 。 4、已知微分方程的  y  ay   by  x ce 通解为 y  为（） ( ) C C x e 1  2  x x  ，则 , ,a b c 依次 e A 、 1,0,1 . B 、 1,0, 2 . C 、 2,1,3 . D 、 2,1,4 . 【答案】D. 【解析】由题设可知 r   是特征方程 1 2 r  ( r  1) 2  ， 0 ar b   的二重根，即特征方程为 0  2, b a 　所以 4 c  。故选 D 。 1 。又知 * y x e 是方程  y  2  y   y x ce 的特解，代入方程的 5 、已知积分区域 D      , x y  x 　  y     2  ， I 1   D 2 x  2 y dxdy ，  I 2  I 3   D  D 2 x sin  1 cos  2 y dxdy   y 2 2 x ， dxdy ，则（） 2 I  I  . 1 I A 、 3 【答案】 A . 【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。 I  . D 、 2 I B 、 2 I C 、 1  . 3 I 1    I I I I 2 3 3 I  . 1 由 x  y   ，可得 2 2 x  2 y    2     2 【画图发现 x  y   包含在圆 2 2 x  2 y    2     2 的内部】，令 u  2 x  2 y ，则 0  D 2 x  2 y dxdy   D sin 2 x  2 y dxdy 。   ，于是有 u  2 u  sin u ，从而令 ( ) 1 cos   f u u  sin u  ，则 ( ) f u  sin u  cos u ， ( f  4 ) 0  。 ( ) f u 在 0,   4  内单调   

减少，在    4 2  ,    单调增加，又因为 (0) f  1 cos  u  sin u ，从而 sin 2 x  2 y dxdy  D  (1 cos  6、设函数 ( ), f x g x 的二阶导数在 x a 处连续，则 ( ) f  ( 2  D  ，故在 0, ) 0   2  内 ( ) f u  ，即 0    2 x  2 y dxdy ) 。综上，选 A 。 lim a x  ( ) f x  ( x a  ( ) g x 2 )  0 是两条曲线 y  ( ) f x ， y  在 x a 对应的点处相切及曲率相等的（） ( ) g x A 、充分非必要条件. B 、充分必要条件. C 、必要非充分条件. D 、既非充分也非必要条件. 【答案】 A . 【解析】充分性：利用洛必达法则，由 lim a x  ( ) f x  ( x a  ( ) g x 2 )  0 可得 lim a x   ( ) f x 2(  ( ) g x ) x a   0 及 lim a x  f  ( ) x ( ) g x  2  ， 0 进而推出 ( ) f a  ( ) g a  ， ( ) f a  ( ) g a  ， ( ) f a  ( ) g a 。由此可知两曲线在 x a 处有相同切线，且由曲率公式 K   y [1 (  y 3  2 2 ) ] 可知曲线在 x a 处曲率也相等，充分性得证。必要性：由曲线 y  ( ) f x ， y  ( ) g x 在 x a 处相切，可得 ( ) f a  ( ) g a  ， ( ) f a  ( ) g a ；由曲率相等  ( ) f a [1 (   2 ( )) ] f a  3 2  ( ) g a [1 (   2 ( )) ] g a 3 2  当 ( ) f a    ( ) g a 时，所求极限  ，可知 ( ) f a  ( ) g a  或 ( ) f a    ( ) g a 。  lim a x  lim a x  ( ) g x 2 )  ( ) f x 2( ( ) f x  ( x a   ( ) g x  ) x a  因此必要性不一定成立。故选 A 。 7、设 A 是 4 阶矩阵， *A 为 A 的伴随矩阵，若线性方程组  ( ) g x lim a x  f  ( ) x  2    ( ) f a ，而 ( ) f a 未必等于 0， Ax  的基础解系中只有 2 个 0 向量，则 * ( r A  （）。 ) A 、0 . B 、 1 . C 、 2 . D 、3 .

【答案】 A . 【解析】因为方程组 Ax  的基础解系中只有 2 个向量，，所以 4 0 ( r A    ， ) 2 4 1 则 * ( r A  0，故选 A 。 ) r A ( ) 2  ，从而 8、设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 2 A  A  2 E ,且 4A  ，则二次型 Tx Ax   2 y 3 的规范型为（） A 、 2 2 y y 1 2 【答案】C . 【解析】设是 A 的特征值，根据 2 A B 、 2 y 1  y 2 2 .  2 y 3 . C 、 2 y 1  y 2 2  2 y 3 . D 、 2 y 1   y 2 2  2 y 3 .  A  得 2    ，解得 E 2 2 1 或 2  ；又因为 4A  ，所以 A 的特征值为 1，-2，-2，根据惯性定理， Tx Ax 的规范型为 2 y 1  y 2 2  。 2 y 3 故选C 。二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、 lim( 0 x  x  2 )x 2 x  . 【答案】 24e 。【解析】 2 x lim( 0 x  x  2 ) x  lim[1 (  x  0 x  x 2  1)] 2 x  2 x lim ln[1 ( e  x 0 x   x 2 1)]  2 lim 0 x  1  x  x 2 x  e   2(1 ln 2) e  24 e . 10、曲线 sin x t t       1 cos y t  在 3 2 t  对应点处的切线在 y 轴上的截距为。【答案】 3  2 2  . 【解析】斜率 dy dx  t sin 1 cos t t   3  2 1   ，切线方程为 y    3 x  2  ，截距为 2 3  2  。 2 11、设函数 ( ) f u 可导， z  yf ( 2 )y x ，则 2 x z  x   y z  y   。【答案】 yf    2y x    .

2 y x 2 , f     y x  z  　　  y   x  )   的弧长为 6     2 2 y x  f    2 y x    ， 2 x z  x   y z  y   yf    2 y x    ．．【解析】 z  x    3 2 y x  f    x (0 y 12、曲线 ln cos  【答案】 1 ln 3 2 ds 【解析】  1  2  y dx  1 tan  2 xdx  sec xdx s   6 0  sec xdx  ln(sec x  tan ) x  6 0  1 2 ln3. ( ) f x dx  ． 1  0 13、已知函数 ( ) f x x   x 1 2 t sin t dt ，则【答案】 1 (cos1 1)  ． 4 【解析】设 ( ) F x x   1 2 t sin t dt ,则 1  0 ( ) f x dx  1  0 xF x dx ( )  1 2 1  0 F x dx ( ) 2  1 2 [ 2 x F x ( )] 1 0  1 2 1  0 2 ( ) x dF x   1 2 1  0 2 x F x dx  ( )   1 2 . 1  0 2 x 2 x sin x dx   1 2 1  0 x sin 2 x dx  1 4 cos 2 x 1 0  1 4 (cos1 1)  14 、已知矩阵 A  1 2  3 0       1  1 2  0 0 1  2 3 0 1 1  4       A 11 A 12  ．， ijA 表示元素 ija 的代数余子式，则【答案】 4 . 【解析】由行列式展开定理得 0 1  2 3 1  1 2  0 1 2  3 0 A 11 A 12 A    0 1 1  4  1 2  3 0 0 1  1 0 0 1  2 3 0 1 1  4  1  1 0 1  2 3 1 1   4 1  0 0 1 1  1 0 4 3 4   ．三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、（本题满分 10 分）已知函数 ( ) f x     2 x x xe x  , 1, x x   0 0 ，求 ( ) f x ，并求函数 ( ) f x 的极值．【解析】当 0x  时， ( ) f x  x 2 x  e 2 ln x x ，  ( ) f x  2 x 2 x (ln x 1)  ；当 0x  时，  ( ) f x  ( x  1) x e ； f   (0)  lim 0 x   ( ) f x  x f (0)  lim 0 x   2 x 1 x  x  lim 0 x   2 x 2 x (ln 1 x  1)   ，即 ( ) f x 在 0x  处不可导．综合上述：  ( ) f x      x 22 x ( x  (ln 1) e  x x , 0 x   0 ； 1), x 1 e 当 1 当 1 e x f x 令 ( ) x  得驻点 1 0   1, x 2  ； 0x  是函数 ( ) x   时， ( ) 0 f x  ；当 1 f x    时， ( ) 0x f x  时， ( )  ；故 1 0 x   是函数的极小值点，极小值为 1  ；当 f x 的不可导点。 1 e ( 1) 1 x    ； 2   时， ( ) 0 f x  ； e 0 0 x f 1  1 e 是函数的极小值点，极小值为 f 1( ) e 2 e  ；函数 ( ) e f x 在 0x  处连续且有极大值 (0) 1  ． f 16、（本题满分 10 分）求不定积分  ( x  3 x  2 2 1) ( x 6   x 1) dx ．【解析】设 3 x  2 2 1) ( x 6   x 1)  A  x  1 ( x B 1)  2  Cx D  2 1 x x   ( x  （1）两边同乘以（2）两边同乘以 x 且令 x   ，可得 x  且令 1x  ，可得 1) ( 2 A C 3B  ； 0  ；（ 3 ）两边分别令 x  ， 0 x   ，可得 1      6 A B D    A B C D     2 4 ；解得  3 4 A   2, C  2, D  。 1 则 3 x  2 2 1) ( x 6   x 1) ( x    2  x  1 ( x 3 1)  2  2 1 x 2    x x 1 ，于是  ( x  3 x  2 2 1) ( x 6   x 1) dx       2  x  1 ( x 3 1)  2  2 1 x 2    x x 1  dx  

  2ln x 1   3  1 x   ( d x 2 x 2 1) x   1 x     2ln x 1   3  1 x  2 ln( x    1) x C 。 17、（本题满分 10 分）设函数 ( ) y x 是微分方程 y   xy  2 x 2 e 1 2 x 满足条件 (1)y e 的特解．（1）求 ( ) y x 的表达式；（2）设平面区域 D  {( , x y ) |1   x 2,0   y ( )} y x ，求 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得 ( ) y x  e xdx  (  1 2 x 2 x 2 e  e  (  ) x dx dx C  )  e 2 x 2 (  1 2 x dx C  )  e 2 x 2 ( x C  ) ，把初始条件 (1)y （2）旋转体的体积为 e 代入，得 2   xV  1 0C  ，从而得到 ( ) y x 2 ( ) y x dx  2   1 2 x xe dx  2 x 2 . xe 4 ( e  e ) ．   2 18、（本题满分 10 分）设平面区域 D  {( , x y ) | x  ,( y x 2  y 2 3 )  y 4 } ，计算二重积分  D y x  2 x y  2 dxdy ．【解析】显然积分区域 D 关于 y 轴对称，由对称性可得  D x  2 x 2 y dxdy  0 ；将 2 x (  y 2 3 ) 4  化为极坐标，有 y 0   r 2 sin  ，于是  D x y  2 x y  2 dxdy   D y  2 x 2 y dxdy  sin 2  3      4 4 d 0 r sin  dr  1 2  3  4  4 5 sin   d   1 2  3  4  4 (1 cos  2 2 )  d cos   43 2 120 . 19、（本题满分 10 分）设 n 是正整数，记 nS 为曲线 y x  e sin x (0   x ) n 与 x 轴所形成图形的面积，求 nS ，并求 lim .n S n  【解析】当 x   2 ,(2 k k   1)  时， sin 0x  ；当 x   (2 k  1) ,(2 k  2)   时， sin 0x  ，故曲线 y x  e sin x (0   x ) n 与 x 轴之间图形的面积应表示为

S n  n  e  0  x sin xdx n   k  0  ( k 1)   e k   x sin xdx ，  x e sin xdx ，作变量替换 u x k  ，先计算于是有 ( k 1)     b k k  kb    0 ( u k   )  e sin( u k  )  du    e   k 0 e  u sin udu  e  k  [   k   e 1 . e     2  e   k 0  sin e  u e 1 2 u sin u du u  cos u  ]  0 所 S n  n   b k  n  k  e k  0 k  0 因此 lim n  S n  lim n  (  e     1) ( e 2 1)(1 e   1) 2(  e    ( e  n  )   2(1  1)(1 e  )   e  1  e  2( 1)  e  。 n  (  e )   n  ) 1)(1 e   1) 2(  e  以， 20、（本题满分 11 分）已知函数 ( , u x y 满足关系式 ) 2 2 u  2 x   2 2 u  2 y   3 u  x   3 u  y   0 ．求 ,a b 的值，使得在变换 ( , u x y )  ) ax by ( , v x y e  导数的等式．之下，上述等式可化为函数 ( , v x y 的不含一阶偏 ) 【解析】在变换 ( , u x y )  ) ax by ( , v x y e  之下 u  x   v e  x  ax by   ) av x y e ( , ax by  ， u  y   v e  y  ax by   ) bv x y e ( , ax by  , 2 u  2 x  2 u  2 y    2 v  2 x  2 v  2 y  ax by  e  2 a ax by  e  2 b v  x  v  y  ax by  e  2 ) a v x y e ( , ax by  ， ax by  e  2 ) b v x y e ( , ax by  ；把上述式子代入关系式 2 2 u  2 x   2 2 u  2 y   3 u  x   3 2 2 v  2 x   2 2 v  2 y   (4 a  3) v  x    (3 4 ) b u  y  v  y   0 ，得到  2 (2 a  2 2 b  3 ) ( , b v x y ) 0 

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