课程编号： 北京理工大学 2006-2007 学年第二学期 2005 级数学物理方程期末试题（B 卷） 班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________ 一、填空（请写在答题纸上，每题 5 分，共计 40 分） 1. 设弦一端在 0 x  处固定，另一端在 x l 处做自由运动。则弦振动问题的 边界条件为：________________________________。 2. 边界为  的区域  上函数u 的第二类边界条件为__________________ 。 3. 三维泊松方程是______________________________。 4. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 5. 定解问题 u  tt  | u  t   0 2 u ， xx 2 u x  ， t      | t x 0  0  的解__________________________。 6. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 7. 设 2( ) J x 为 2 阶贝塞尔函数，则 2 d x J kx 2( dx   )   =__________________。 8. 写出 4 阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 二、（10 分）求解定解问题： 2 a u ， xx ) ( t u l  ， x ) x    u t  (0 u  x  ( u x ，0 ，  ) 0  t ， x l   0 t  ， ， 0 x l   0 . t ， ，  0 

三、（10 分）设      ，求解定解问题： , y 0 x  0, yy 4 5 u u u   xy xx ) 0, ( u x  ，0 ) 2 . ( x u x  ，0 y      四、（10 分）设 u  ， ，用积分变换法求解下面问题： ( u x y ) 1 xyu y y    ， ， ，  ) 1 0 (1 u y   ， ， ，   ) ( 1. x u x   ，0   y 2 x ， 0 x 五、（12 分）求拉普拉斯方程在半空间 0 x  内的格林函数；并求解定解问题： u   u    xx (0 z ， ， u yy y u ) zz  0  ， ， ( y y z  ， ， ， 0 x     z )   六、（12 分）求满足下面定解问题的解： u u   tt xx  ) (0 u t ，   ( ) u x ，0     0 sin x ， ) 0 ( u   ， ( ) 0 u x  t t ，0 ， ， x    0 t  0 x   ， ，  0 t .  七、（6 分）求解定解问题： u  tt  | u   | u  x   0 t t ，  0, 0 x u   ， xx 0 0, t   ， 0. t t   ， x t  （提示：多项式 ( nt n  0,1,2, ! n  的 Laplace 变换为 1 p  ） n )