2015湖南高考理科数学真题及答案.doc

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2015 湖南高考理科数学真题及答案本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共 6 页，时间 120 分钟，满分 150 分. 一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.  1 2 i   （i 为虚数单位），则复数 z =（ 1 i ） 1.已知  z A.1 i B.1 i C. 1 i   D. 1 i   2.设 A,B 是两个集合，则” A B A A.充分不必要条件 C.冲要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ”是“ A B ”的（） 3.执行如图 1 所示的程序框图，如果输入 3n  ，则输出的 S  ( ) A. 6 7 B. 3 7 C. 8 9 4 9 D. x 2 1 y    1 y x   1 y       4.若变量 ,x y 满足约束条件，则 3  z x  的最小值为 y （） A.-7 B.-1 C.1 D.2 5.设函数 ( ) f x  ln(1  x )  ln(1  ，则 ( ) f x 是（ x ) ） A.奇函数，且在 (0,1) 上是增函数 B. 奇函数，且在 (0,1) 上是减函数 C. 偶函数，且在 (0,1) 上是增函数 D. 偶函数，且在 (0,1) 上是减函数 6.已知    x  5a   x  的展开式中含 3 2x 的项的系数为 30，则 a  （） A. 3 B. 3 C.6 D-6 7.在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为 A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 8.已知点 A,B,C 在圆 2 x 2 y  上运动，且 AB BC 1 .若点 P 部分（曲线（）的坐标为

9.将函数 ( ) f x  2 isn x 的图像向右平移 (0    个单位后得到函数 ( )g x 的图像，若对满足  的 1 ,x x ，有 1 x 2  x 2 min  ，则 （  ) 2  3  （2,0），则 PA PB PC     的最大值为（） A.6 B.7 C.8 D.9  ( g x 2 B. ( ) f x 1 5  12 A. )  3 2  4 C. D.  6 10.某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用 = 新工件的体积原工件的体积）（） A. 8 9 B. 16 9 C. 3 4( 2 1)   二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. ）切割，加工成一个个面落在原工件的率 D. 3 12( 2 1)   名运动员的成图 4 所示. 为1 35 号，人，则其中成员人数 11. 2 0(  x  1) dx  . 12.在一次马拉松比赛中，35 绩（单位：分钟）的茎叶图如若将运动员按成绩由好到差编再用系统抽样方法从中抽取 7 绩在区间[139,151]上的运动是 . 13.设 F 是双曲线 C： 2 2 x a  2 2 y b  的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点， 1 则 C 的离心率为 14.设 nS 为等比数列 na 的前项和，若 1 1 . 3 ,2 , a  ，且 1 S S S 成等差数列，则 na  2 3 . 15.已知 ( ) f x     3 , x x 2 , x x   a a ，若存在实数b ，使函数 ( ) g x  ( ) f x  有两个零点，则的取值范围 b . 是三、解答题 16.(Ⅰ)如图，在圆 O 中，相交于点 E 的两弦 AB、CD 的中点分别是 M、N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明：（1）  MEN   NOM  0 180 ；

（2） FE FN FM FO    （Ⅱ）已知直线 l :   5 x      y  3 2 1  2 t t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 3 线 C 的极坐标方程为   2cos  . （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ，直线l 与曲线 C 的交点为 A，B，求| MA MB  | | | 的值.  ，且 0 a b   1 a 1  . b a （Ⅲ）设 0, b 2 a b  ； 2 （2） 2 a （1） 17.设 ABC (1)证明：   B A A   2 C a  与 2 b b  不可能同时成立. 2 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， a b  tan A ，且 B 为钝角》 sin 的取值范围（2）求sin 18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 19.如图，已知四棱台 ABCD A B C D 1 1 1  1 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形， 1 AA  ，且 1AA  底 6 面 ABCD，点 P、Q 分别在棱 1DD 、BC 上. （1）若 P 是 1DD 的中点，证明： 1AB PQ ；（2）若 PQ//平面 ABB A ，二面角 P-QD-A 的余弦值为 1 1 3 7 ，求四面体 ADPQ 的体积.

20.已知抛物线 2 1 : C x y 的焦点 F 也是椭圆 4 C : 2 2 2 y a  2 2 x b  1( a 长为 2 6 . （1）求 2C 的方程；   的一个焦点， 1C 与 2C 的公共弦的 0) b  （2）过点 F 的直线l 与 1C 相交于 A、B 两点，与 2C 相交于 C、D 两点，且 AC  与 BD 同向（ⅰ）若| AC | | BD | ，求直线l 的斜率（ⅱ）设 1C 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线l 绕点 F 旋转时， MFD  总是钝角三角形 21.已知 0a  ，函数 ( ) f x  e ax sin ( x x 明：（1）数列{ ( f x 是等比数列 )}n   . 记 nx 为 ( ) [0, f x 的从小到大的第 n )) ( n N * ) 个极值点,证（2）若 a  1 2 e  1 ，则对一切 n N ， * x n |  ( f x n ) | 恒成立.

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