2018 吉林高考文科数学真题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.
i 2 3i
A. 3 2i
2.已知集合
A
A. 3
B. 3 2i
,
1,3,5,7
B
B. 5
C. 3 2i
D. 3 2i
2,3,4,5
,则 A B
3,5
C.
D.
1,2,3,4,5,7
3.函数
f x
x
e
x
e
2
x
的图像大致为
4.已知向量 a , b 满足|
| 1a ,
a b
1
,则 (2
a
a b
)
A.4
B.3
C.2
D.0
5.从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务,则选中的 2 人都是女同学的概率
为
A. 0.6
6.双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
B. 0.5
C. 0.4
D. 0.3
1(
a
0,
b
的离心率为 3 ,则其渐近线方程为
0)
A.
y
2
x
B.
y
3
x
C.
y
2
2
x
D.
y
3
2
x
7.在 ABC△ 中,
cos
C ,
2
5
5
BC ,
1
AC ,则 AB
5
A. 4 2
8.为计算
S
1
1
2
1
3
B. 30
1
1
1
99 100
4
C. 29
D. 2 5
,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
开始
N
T
0,
0
1i
是
i
100
否
N N
1
i
1
1
T T
i
A.
i
C.
1
i
3
i
i
S N T
S输出
结束
B.
i
i
i
D.
2
i
4
9.在正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中, E 为棱 1CC 的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切
值为
A. 2
2
10.若 ( )
f x
A. π
4
B. 3
2
C. 5
2
cos
x
sin
x
在[0,
]a 是减函数,则 a 的最大值是
B. π
2
C. 3π
4
D. 7
2
D. π
11.已知 1F , 2F 是椭圆 C 的两个焦点, P 是 C 上的一点,若 1
PF
PF ,且
2
PF F
1
2
60
,
则 C 的离心率为
1
A.
3
2
12.已知 ( )
f x 是定义域为 (
B. 2
3
的奇函数,满足 (1
)
f
,
C. 3 1
2
x
)
D. 3 1
f
(1
.若 (1) 2
,则
x
)
f
f
(1)
f
(2)
f
(3)
f
(50)
A. 50
B.0
C.2
D.50
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。、
13.曲线 2ln
y
x
在点 (1, 0) 处的切线方程为__________.
14.若 ,x y 满足约束条件
≥
≥
0,
0,
则 z
x
x
x
2
2
5
5
y
3
y
0,
≤
的最大值为__________.
x
y
15.已知
tan(
α
5π
4
)
,则 tan α __________.
1
5
16.已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA ,SB 互相垂直,SA 与圆锥底面所成角为 30 ,若 SAB△
的面积为 8 ,则该圆锥的体积为__________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和,已知 1
a , 3
7
S .
15
(1)求{ }na 的通项公式;
(2)求 nS ,并求 nS 的最小值.
18.(12 分)
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y (单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回
归模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为1, 2,
,17 )建立模型①:
ˆ
y
30.4 13.5
t
;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为1, 2,
, 7 )建
立模型②: ˆ
y
99 17.5
t
.
(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12 分)
如图,在三棱锥 P ABC
中,
AB BC
2 2
,
点.
PA PB PC AC
,O 为 AC 的中
4
(1)证明: PO 平面 ABC ;
(2)若点 M 在棱 BC 上,且
MC MB
2
,求点 C 到平面 POM 的距离.
20.(12 分)
设抛物线
4
C y
x:
2
|
AB .
| 8
的焦点为 F ,过 F 且斜率为 (
k k 的直线 l 与 C 交于 A ,B 两点,
0)
(1)求 l 的方程
(2)求过点 A , B 且与 C 的准线相切的圆的方程.
21.(12 分)
已知函数
f x
3
x
a x
2
1
3
.
x
1
(1)若 3
a ,求 ( )
f x 的单调区间;
(2)证明: ( )
f x 只有一个零点.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
x
y
2cos ,
θ
4sin
θ
( θ 为参数),直线 l 的参数方
程为
cos ,
1
α
x
t
sin
2
y
α
t
( t 为参数).
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ,求 l 的斜率.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
设函数 ( ) 5 |
f x
x a
|
|
x
.
2 |
(1)当 1a 时,求不等式 ( )
f x ≥ 的解集;
0
(2)若 ( )
f x ≤ ,求 a 的取值范围.
1
绝密★启用前
一、选择题
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
1.D
2.C
3.B
4.B
5.D
6.A
7.A
8.B
9.C
10.C
11.D
12.C
二、填空题
13.y=2x–2
14.9
15.
3
2
16.8π
三、解答题
17.解:
(1)设{an}的公差为 d,由题意得 3a1+3d=–15.
由 a1=–7 得 d=2.
所以{an}的通项公式为 an=2n–9.
(2)由(1)得 Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当 n=4 时,Sn取得最小值,最小值为–16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y$ =–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y$ =99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y=–30.4+13.5t上下,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很
好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额
有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010
年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据
建立的线性模型 y$ =99+17.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变
化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到
的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说
明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.解:
(1)因为 AP=CP=AC=4,O为 AC的中点,所以 OP⊥AC,且 OP= 2 3 .
连结 OB.因为 AB=BC= 2
2
AC ,所以△ABC为等腰直角三角形,且 OB⊥AC,OB=
1
2
AC =2.
由 2
OP OB
2
2
PB
知,OP⊥OB.
由 OP⊥OB,OP⊥AC知 PO⊥平面 ABC.
(2)作 CH⊥OM,垂足为 H.又由(1)可得 OP⊥CH,所以 CH⊥平面 POM.
故 CH的长为点 C到平面 POM的距离.
由题设可知 OC=
1
2
所以 OM= 2 5
3
,CH=
AC =2,CM=
OC MC
,∠ACB=45°.
2
3
sin
OM
BC = 4 2
3
ACB
= 4 5
5
.
所以点 C到平面 POM的距离为 4 5
5
.
20.解:
(1)由题意得 F(1,0),l的方程为 y=k(x–1)(k>0).
设 A(x1,y1),B(x2,y2).
1)
由
y
y
(
k x
2
4
x
得 2 2
k x
(2
k
2
4)
x
2
k
.
0
2
16
k
16 0
,故
x
1
x
2
4
2
2
2
k
k
.
所以
AB
AF
BF
(
x
1
1)
(
x
2
1)
4
2
2
4
k
k
.
由题设知
4
2
2
4
k
k
,解得 k=–1(舍去),k=1.
8
因此 l的方程为 y=x–1.
(2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2),所以 AB的垂直平分线方程为
y
,即
3)
2
(
x
y
x .
5
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
y
0
x
0
(
x
0
2
1)
5
,
(
y
0
x
0
2
2
1)
16.
x
解得 0
y
0
3
x
,
或 0
2
y
0
11
,
6.
因此所求圆的方程为
(
x
2
3)
(
y
2
2)
16
或
(
x
11)
2
(
y
2
6)
144
.
21.解:
(1)当 a=3 时,f(x)=
1
3
3
x
2
3
x
3
x
,f′(x)= 2
x
3
6
x
.
3
令 f′(x)=0 解得 x= 3 2 3
或 x= 3 2 3
.
当 x∈(–∞, 3 2 3
)∪( 3 2 3
,+∞)时,f′(x)>0;
当 x∈( 3 2 3
, 3 2 3
)时,f′(x)<0.
故 f(x)在(–∞,3 2 3
),( 3 2 3
,+∞)单调递增,在( 3 2 3
,3 2 3
)
单调递减.
(2)由于 2
x
3
2
x
x
x
2
3)
x
2
1)
x
3
a
0
.
1
≥0,仅当 x=0 时 g ′(x)=0,
x ,所以 ( )
1 0
f x 等价于
0
设 ( )g x =
2
x
3
x
x
3
a
1
,则 g ′(x)=
2
(
x x
2
(
x
2
所以 g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故 g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多
有一个零点.
又 f(3a–1)=
2
6
a
2
a
1
3
6(
a
1
6
2
)
零点.
综上,f(x)只有一个零点.
22.解:
,f(3a+1)=
0
1
6
1
3
,故 f(x)有一个
0
(1)曲线 C 的直角坐标方程为
2
x
4
.
1
2
y
16
y
当 cos
0 时, l 的直角坐标方程为 tan
x
2 tan
,
当 cos
0 时, l 的直角坐标方程为 1x .
(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程
(1 3cos
2
)
t
2
4(2cos
sin )
t
.①
8 0
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内,所以①有两个解,设为 1t , 2t ,则
t
1
t .
0
2
t
又 由 ① 得 1
t
2
4(2cos
1 3cos
sin )
2
k
tan
.
2
23.解:
(1)当 1a 时,
( )
f x
, 故 2cos
sin
, 于 是 直 线 l 的 斜 率
0
4,
2
x
2, 1
2
x
x
x
x
6,
1,
2,
2.
可得 ( )
f x 的解集为{ | 2
.
3}
0
x
x
(2) ( ) 1
f x 等价于|
x a
|
|
x
.
2 | 4
而|
x a
|
|
x
,且当 2
x 时等号成立.故 ( ) 1
f x 等价于|
2 |
2 |
a
|
a .
2 | 4
由|
a 可得
2 | 4
a 或 2
a ,所以 a 的取值范围是 (
6
, 6]
[2,
)