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2014年广东高考理科数学真题及答案.doc
2014 年广东高考理科数学真题及答案
一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合
M
{ 1,0,1}
，
N
{0,1,2}
，则 M N
A．{0,1}
B．{ 1,0,2}
C．{ 1,0,1,2}
D．{ 1,0,1}
2．已知复数 z 满足 (3 4 )
i z
，则 z
25
A． 3 4i
B． 3 4i
C．3 4i
D．3 4i
y
x
y
x
≤
y
≤
1
≥
1
， 且 2
z
x
的最大值和最小值分别为 m 和 n ，则 m n
y
3．若变量 ,x y 满足约束条件
A．5
B．6
4．若实数 k 满足 0
k ， 则曲线
9
C．7
2
x
25 9
2
y
k
D．8
1
与曲线
2
x
25
k
2
y
9
1
的
5．已知向量 (1,0, 1)
A．焦距相等
a =
A． ( 1,1,0)
B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等
，则下列向量中与 a 成 60 夹角的是
C．(0, 1,1)
B．(1, 1,0)
D．离心率相等
D．( 1,0,1)
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，
用分层抽样的方法抽取 2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
近视率/ %
小学生
3500 名
高中生
2000 名
初中生
4500 名
图 1
50
30
10
O
小学
初中
高中
年级
图 2
A．200，20
B．100，20
C．200，10
D．100，10
l
7．若空间中四条两两不同的直线 1
,
l
2
,
l
3
,
l ，满足 1
l
4
l ， 2
l
2
l ， 3
l
3
l ，则下列结论一定正确的是
4
l
A． 1
l
4
l
B． 1
//
l
4
C． 1l 与 4l 既不垂直也不平行
D． 1l 与 4l 的位置关系不确定
8．设集合
A
,
x x x x x
1
5
,
,
2
,
3
4
|
x
i
1,0,1 ,
i
1, 2,3, 4,5
，那么集合 A 中满足条件
“
1
≤
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
≤ ”的元素个数为
3
A．60
B．90
C．120
D．130
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9 ~ 13 题）
9．不等式 1
x
≥ 的解集为
x
2
5
．
10．曲线
y
xe
5
2
在点 )3,0( 处的切线方程为
．
11．从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为
．
12．在 ABC
中，角
CBA ,
,
所对应的边分别为
cba ,
,
. 已知
b
cos
cC
cos
B
2
b
，则
13．若等比数列 na 的各项均为正数，且
aa
11
10
aa
9
12
5
2e
a
，则 1
ln
ln
a
2
ln
20
a
b
a
．
．
（二）选做题（14 ~ 15 题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 1C 和 2C 的方程分别为
sin
2
cos
和 sin
1
.
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 1C 和 2C 交点的直
角坐标为
．
15．（几何证明选讲选做题）如图 3，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且
EB
2
AE
， AC 与 DE
交于点 F ，则
CDF
AEF
的面积
的面积
＝
．
D
F
C
A
E
B
图 3
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( )
f x
A
sin(
x
（1）求 A 的值；
， x R ，且
)
4
5(
f
12
)
3
2
．
（2）若
f
)(
f
)
(
3
2
，
,0(
)
2
，求
f
3(
4
)
．
17．（本小题满分 12 分）
随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
0.12
0.20
0.32
1f
2f
3
5
[25,30]
(30,35]
(35,40]
(40,45]
(45,50]
8
1n
2n
n n f 和 2f 的值；
,
1
（1）确定样本频率分布表中 1
,
2
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] 的
概率．
18．（本小题满分 14 分）
如图 4，四边形 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD ，
A
DPC
30
， AF
PC 于点 F ， FE ∥CD ，交 PD 于点 E ．
（1）证明：CF 平面 ADF ；
（2）求二面角 D AF E
的余弦值．
D
E
F
P
图 4
B
C
19．（本小题满分 14 分）
设数列 na 的前 n 项和为 nS ， nS 满足
（1）求 1
（2）求数列 na 的通项公式．
a a a 的值；
,
,
2
3
S
n
2
na
n
1
2
3
n
，
4
n
n N ，且 3 15
S ．
*
2
已知椭圆
20．（本小题满分 14 分）
2
y
b
a
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点 0
(
1
x
a
C
:
2
2
0
b 的一个焦点为 ( 5,0) ，离心率为
0)
5
3
．
(
P x y 为椭圆C 外一点，且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程．
)
,
21.（本小题满分 14 分）
设函数
( )
f x
，其中
k ．
2
1
2(
2
2
x
k
f x 的定义域 D （用区间表示）；
x
k
x
2
)
2
2
) 3
(
x
（1）求函数 ( )
（2）讨论 ( )
6
（3）若
f x 在区间 D 上的单调性；
k ，求 D 上满足条件 ( )
f x
f
(1)
的 x 的集合（用区间表示）．
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数 学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
题号
答案
1
C
2
D
3
B
4
A
5
B
6
A
7
D
8
D
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9 ~ 13 题）
9. (
, 3]
[2,
)
10. 5
x
y
3 0
（二）选做题（14 ~ 15 题，考生只能从中选做一题）
11.
1
6
12. 2
13.50
14. (1,1)
15.9
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分 12 分）
A
sin
2
3
3
2
A
，解得
3
2
A
3
.
f
16. 解：（1）
5
)
12
（2）由（1）得 ( )
f x
(
A
所以 ( )
f
f
(
)
3 sin(
3(
2
2
所以
cos
6
4
，又因为
所以
f
(
3
4
)
3 sin(
3
4
17.（本小题满分 12 分）
sin(
5
)
4
12
)
3 sin(
x
4
)
4
，
cos
,0(
)
2
)
4
3 sin(
4
)
2
2
sin )
3(
2
2
cos
2
2
sin )
6 cos
3
2
，所以
sin
1 cos
2
10
4
，
3 sin(
)
3 sin
3
10
4
30
4
.
17. 解：（1） 1
n ， 2
n ， 1
f
7
2
7
25
0.28
， 2
f
2
25
0.08
.
（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：
频率
组距
0.064
0.056
0.040
x
0.024
0.016
0
25 30
35 40 45 50
日加工零件数
（3）设“该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] ”为事件 A ，
(
P A
，即至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] 概率为 0.5904 .
) 1 (1 0.2)
0.5904
4
18．（本小题满分 14 分）
18.（1）证明：因为 PD 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ，所以 PD AD
.
因为在正方形 ABCD 中CD AD
，所以 AD 平面 PCD .
因为 CF 平面 PCD ，所以 AD CF
因为 AF CF ， AF AD A
（2）方法一：以 D 为坐标原点， DP 、 DC 、 DA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系
设正方形 ABCD 的边长为 1，
，所以CF 平面 ADF .
，又 CD PD D
.
z
C
(0,1,0),
P
( 3,0,0),
E
(
3
4
,0,0),
F
(
3 3
,
4 4
,0)
.
A
是平面 BCDE 的一个法向量.
B
则
D
(0,0,0),
(0,0,1),
A
CP
( 3, 1,0)
n
由（1）得
设平面 AEF 的法向量为 ( ,
EF
(
EA
,0)
，
, )
x y z
，
3
4
,0,1)
D
E
C
y
F
，
P
x
A
G
E
H
D
F
B
C
在 Rt △ ADF 中，
AD ，
1
DF
在 Rt △ ADE 中，因为
FC
所以
GH
2
DH
DG
2
CD
1
2
6 133
133
，所以
DH
21
7
.
P
PC
，所以
DE
1
4
PD
3
4
，所以
DG
57
19
.
3
2
1
4
，
所以
cos
DHG
GH
DH
2 57
19
，
所以二面角 D AF E
的平面角的余弦值为
2 57
19
.
3(0,
4
n
EF
n
令 4
EA
所以
3
4
x ，则 0
y ，
3
4
y
0
设二面角 D AF E
所以
cos
CP
CP
n
n
.
x
z
0
3
n
z ，所以 (4,0, 3)
)
2
的平面角为，且 (0,
4 3
19
2
2 57
19
，
所以二面角 D AF E
的平面角的余弦值为
方法二：过点 D 作 DG AE
因为 CD PD
，CD ED
因为 FE ∥CD ，所以 FE 平面 ADE .
因为 DG 平面 ADE ，所以 FE DG
.
因为 AE FE E
根据三垂线定理，有GH AF
所以 DHG
设正方形 ABCD 的边长为 1，
，
为二面角 D AF E
的平面角.
，所以 DG 平面 AEF .
是平面 AEF 的一个法向量.
2 57
19
.
于G ，过点 D 作 DH AF
， ED AD D
，所以CD 平面 ADE .
于 H ，连接GH .
7
a .
5
23,
a
.
n
1
，即 1
n
a
2
n
2
n
1
a
n
1
6
n
2
n
.
1)
1
6
k
2
k
2
4
k
k
1
1 6
2
k
2
k
3 2(
k
1) 1
，
a
1
19.（本小题满分 14 分）
19. 解：（1）当 2
34
n 时， 2
S
a
a
a
1
2
20
15
4
a
S
a
a
a
，所以 3
又 3
3
2
3
当 1n 时， 1
22
S
a
a
a
a
a
，解得 1
，又 1
1
7
5,
3,
a
a
a
.
所以 1
2
3
2
4
2
3
S
na
n
n
（2）
1
n
n
1)
2(
2
a
n
S
n ≥ 时，
当
1
n
n
2)
(2
2
n
na
a
① ②得
①
1)
3(
n
1
6
n
.
20
，
15
，解得 3
8
4(
1)
②
7
n
a
2
2
n
na
1
n
(2
n
n
*
n
a
6
2
1)
na
整理得
n
2
n
1
n N . 以下用数学归纳法证明：
1
，
猜想
3
当 1n 时， 1
a ，猜想成立；
1
ka
假设当 n
，
1
k
2
k
2
k
2
a
k 时，
k
k 时，
k
k
k
2
k
2
(2
a
k
当
2
1
6
1
1
n
k
1
猜想也成立，
所以数列 na 的通项公式为
na
2
n
1
，
n N .
*
20.（本小题满分 14 分）
20. 解：（1）依题意得
c ，
5
e
c
a
5
3
，
2
2
c
a
a ， 2
b
所以 3
4
，
2
2
x
y
所以椭圆 C 的标准方程为
9
4
2,l
（2）当过点 P 的两条切线 1
l 的斜率均存在时，
l
，则 2
l
设 1
(
k x
x
0
1
x
y
y
y
y
)
(
:
:
0
0
1
k
x
0
)
1
得
，
所以
联立
2
2
y
x
4
9
(
)
y
k x
x
y
0
0
2
2
18 (
(4 9 )
k
k y
x
0
2
(18 ) (
)
k
y
kx
0
0
2
)
4 9
(
kx
y
k
整理得
0
0
2
即 2
2
9)
y
x y k
x
0
0
0
0
2
y
0
2
x
0
l ，所以
l
因为 1
2
k
k k
1 2
(
2
0
0
2
y
k
9(
)
)
kx
kx x
0
0
2
4(4 9 )[9(
y
2
，
4 0
，
4
9
，
1
2
36 0
kx
，
2
)
0
36] 0
，
2
0
13
y
整理得 2
x
；
0
当过点 P 的两条切线 1
P 为 (3, 2) 或 ( 3, 2)
综上所述，点 P 的轨迹方程为 2
x
，均满足 2
x
0
y
2,l
2
y
0
2
.
13
13
.
l 一条斜率不存在，一条斜率为 0 时，
21.（本小题满分 14 分）
21. 解：（1）
( )
f x
1
3)(
2
，
2
2
x
x
(
(
k
x
x
(
(
x
2
2
2
x
，得 2
由 2
2
2
x
k
x
x
x
k
x
2
2
1)
1)
k
x
，
或
即
1
所以 1
x
k
x
x
或
或
所以函数 ( )
k
k
D
f x 的定义域
( )
2
( )
g x
f x
k
1) 0
2
k
2
k
, 1
2
2(
1
2)
) 3
，则
1)
或 2
k
x
3)(
2
2
（2）令
(
2
3
2
k
x
x
k
x
x
(
)
2
2
x
，
1
k
2,
.
)
2
k
k
2
2)
k
( 1
2
1
k .
，其中
2, 1
( 1
k
1
( )
g x
1)(
1)
，其中
1
2
k .
k
，
， x D
x
1
k
2
2
x
2
3
1
0
( 1, 1
k
↘
2)
( 1
)
2,
k
↗
4(
2)
k
2) 2(2
)(2
x
x
x
，
x ， 3
k
x
， 2
2
1
x
1
1
1
1
2
k
2
x
2
2(
( )
k
x
g x
g x
令 ( ) 0
x
，解得 1
1
x
k
因为
1
( )
所以 ( ),
g x g x
(
, 1
x
g x
( )
( )g x
k
2
随 x 的变化情况如下表：
k
↗
↘
2)
k
( 1
2, 1)
极大值
在区间 D 上的单调性相反，
f
k
y
k
2
1
f
1
2
k
2)
)
y
因为函数
所以 ( )
f x 在 (
k
，则 ( 1
)
)
x
x
x 对称，
.
上是增函数，
上是减函数.
( 1
，
( )
( )
f x
g x
与
, 1
和 ( 1, 1
2)
k
k
2,
2, 1)
在 ( 1
和( 1
k
k
( 1
（3）因为 ( 1
)
，所以 ( 1
)
g
x
g
x
( )
( )
f x
y
y
g x
所以函数
的图象关于直线
与
( 3)
所以 (1)
f
f
.
6
k ，所以 1
3 1
因为
①当 ( 1
2)
2, 1
x
时，
2, 3)
(1, 1
(1)
要使 ( )
k
x
f x
f
, 1
②当 (
2,
2)
( 1
)
x
k
k
时，
， 2
2
(1)
，即 ( )
(1)
令 ( )
2
2
(
3)(
g x
f
f x
g
x
k
x
x
x
2
2)
1)
6)(
t ，则 (
(
1)
3)(
(
2
k
k
t
t
k
x
x
t
，
令
2
整理得 2
5)] 0
，即[
(
(
3)][
15) 0
2
(
8
t
k
k
t
t
t
k
k
，即 2
5)
(
2
6
因为 1t 且
k
t
k
k
x
x
k ，所以
，
所以 2
5 0
2
(
, 1
1
2
4
x
x
x
k
，解得
所以 ( )
( 1
2
4)
f
f x
f
k
.
2
，则 ( 1
要使 ( )
k
x
f
f x
综上所述， 当
( 1
2
2
k
(1)
(1)
k
k 时，在 D 上满足条件 ( )
f
f x
2, 3)
4, 1
k
的 x 的集合为
2)
；
2)
(1)
(1, 1
，
5
，
4, 1
2, 1
( 1
( 1
6)(
2)
2)
2)
1)
2
6
k
k
k
k
k
k
k
k
(
2,
，
)
4)
.
2
2, 1
( 1
( 1
2)
k
k
k
k
k
4)
.
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