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随机过程刘次华.pdf

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：8.00M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    第 一 章 　　预 备 知 识 概 率 空 间 随机试验是概率论的基本概念，试验的结果事先不能准确地 预言，但具有如下的三个特性： ）可以在相同的条件下重复进行； 每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可能 的结果； 每次试验前不能确定哪个结果会出现 随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间 或基本事件空间，记为 中的元素 称为样本点或基本事件， 的子集 称为事件，样本空间 称为必然事件，空集 称为不可 能事件 由于事件是集合，故集合的运算（并、交、差、上极限、下极限、 极限等）都适用于事件 在实际问题中，我们不是对所有的事件（样本空间 的所有子 集）都感兴趣，而是关心某些事件（ 的 某 些 子 集 ） 及 其 发 生 的 可 能性大小（概率） 这 样，便 导 致 代数 和 上的概率的概念 定义 设 是一个集合， 是 的某些子集组成的集合 族 如果 ，则 ）若 ）若 ，则
    则 称 为 代 数（ 域 ） ）称为可测空间 中的元素 称 为 事 件 由定义易知： ） ）若 ）若 ，则 定 义 设（ 是可测空间， （ ） 是 定义 在 上 的 实 值函数 如 果 ）任意 ） ； ）对两两互不相容事件 （ 当 时 ， ）有 则 称 是（ ） 上 的 概 率， ）称为概率空间， ）为 事 件 的概率 由定义易知： ） ； ）若 率具有单调性； ，则 ） ）一 ，即 概 ）设 ，则 定 义 设（ ）是概率空间， ，如果对任意
    则 称 为独立事件族 随机变量及其分布 随机变量是概率论的主要研究对象 ，随机变量的统计规律用 分布函数来描述 定 义 设（ ）是概率空间 上 的实 函 数 ，如 果对 任 意实 数 是 上 的 随机 变量 ，简记为随机变量 称 为 随 机变 量 的 分布 函数 分 布 函 数 ） 具有 下列 性 质： ， ）是非降函数：即当 时 ，有 （ ）是 右 连 续 ，即 是 定 义 在 ，则 称 ； 可以证明，定义在 （ ）上实值函数 ，若 具 有 上述三个性质，必存在一个概率空间（ ）及其上的随机变 量 ，其分布函数是 在应用中，常见的随机变量有两种类型：离散型随机变量和连 续 型 随 机 变 量 离 散 型 随 机 变 量 的概率分布用分布列描述： ， ， ， … 其分布函数 连 续 型 随 机 变 量 的概率分布用概率密度 ） 描述 ，其 分布 函 数
    常见随机变量的分布参见表 下 面 我 们 讨 论 维随机变量及其概率分布 定 义 设（ ） 是 概 率 空间 ， 是 定 义 在 上 的 维空间 中 取 值 的 向 量 函 数 如 果 对 于 任 意 ，则 称 ）为 维随机变量或 维随机向量 称 ， … ， … ， 为 ， … ）的联合分布函数 维联合分布函数 对 于 每 个 变 元 函 数； 续 的 ； ）对于每个变元 ）具 有下列 性质： ）是非降 ）是右连 ） 对于 中的任意区域（ ，其 中 ， ， … ， 可以证明，对于定义在 上 具 有 上 述 性 质 的 实 函 数 ，必存在一个概率空间（ ）及其上的 维 随 机 变 量 ，其联合分布函数为 在应用中，常见的 维随机变量 也有两种类型 ：离 散型和连续
    型 若随机向量 ）的每个分量 ，都是离散型随 机变量，则称 是离散型随机向量 对于离散型随机向量 ），其 联 合 分 布 列 为 其中 是离散集， ， 的联合分布函数 若 存 在 定 义 在 上 的非 负函 数 ， ， ，对于任意（ ，随机向量 ）的联合分布函数 则称 是连续型随机向量， ）称 为 的联合概率密 度 和 则称 价于 定义 设 是一族随机变量，若对于任意 ，有 是独立的 如 果 ｝是一族独立的离散型随机变量， 式 等 其中 是 的任意可能值， 如 果 ｝是一族独立的连续型随机变量， 式 等 价于 其中 是随机向量 … ， ）的 联 合 概
    率密度， ）是随机变量 的 概 率 密 度 ， 独立性是概率中的重要概念 在实际问题中，独立性的判断通 常是根据经验或具体情况来决定的 随机变量的数字特征 随机变量的概率分布完全由其分布函数描述，但是如何确定 分布函数却是相当麻烦的 在实际问题中，我们有时只需要知道随 机变量的某些特征值就够了 定 义 设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 ， 若 为 的数学期望或均值 上式右边的积分称为 积分 则 若 是离散型随机变量，分布列 ， ， ， … 若 是连续型随机变量，概率密度为 ，则 随机变量的数学期望是随机变量的取值依概率的平均 定 义 设 是随机变量，若 ，则 称 一 为 的 方差 随机变量的方差反映随机变量取值的离散程度 定义 设 是 随 机变 量 ，则 称
    为 的 协 方 差，而 为 的相关系数 ，则 称 若 相关系数 随机变量的数学期望和方差具有如下性质： 不相关 表示 之间的线性相关程度的大小 ） 若 维 随机 变量 （ ） 的 联 合 分 布 函 数 为 ）是 维 连续 函数，则 ） 独 立 ，则 独 立 ，则 ） 若 ）若 是 常 数； ，其中 是 常 数； ，其 中 不等式）若 ，则 （ 单调 收敛 定理 ）若 ，则 引 理 ）若 ，则 有关的证明可参考 特征函数、母函数和拉氏变换 特 征函 数是 研究 随机 变量 分 布律 的一 个重 要工 具 由于分布 律和特征函数之间存在一一对应关系，因此在得知随机变量的特
    征函数之后，就可以知道它的分布律 用特征函数求分布律比直接 求分布律容易得多，而且特征函数具有良好的分析性质 为 此 ，我 们首先介绍特征函数 定 义 设随机变量的分布函数为 （ ），称 为 的特征函数 特 征 函 数 是 实 变 量 的复值函数，由于 ，故 随 机 变量的特征函数必然存在 当 是离散型随机变量，分布列 则 ， ， ， … 当 是连续型随机变量，概率密度为 ，则 随机变量的特征函数具有下列性质： ） ， ）在（ （ ）上一致连续 ）若 随机 变量 的 阶矩 存 在 ，则 的 特 征函 数 可微分 次 ，且 当 时 ，有 是 非 负 定 函 数 即 对 任 意 正 整 数 及 任 意 实 数 和 复 数 ，有 ）若 是相互 独立的随机变 量 ，则 … 的特征函数 ） … 其 中 是随机变量 的 特 征 函 数 ， ， …
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