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高等数学知识点整理高等数学知识点整理.doc
第一章 函数
1.函数的定义
(1) 函数的定义
定义 1 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集,如果对于每个数 Dx ,变量 y 按
.数集 D 称为
照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称 y 是 x 的函数,记作
该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.
)(xf
y
当自变量 x 取数值 0x 时，因变量 y 按照法则 f 所取定的数值称为函数
在点 0x
.当自变量 x 遍取定义域 D 的每个数值时,对应的函数值的全体组
),
( 0xf
Dxxf
(
处的函数值，记作
yy
成的数集W =
称为函数的值域.
)(xf
y
)
定义 2 设 D 与 B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则 f ，使得对 D 中任何一
个实数 x ，在 B 中都有惟一确定的实数 y 与 x 对应，则对应规则 f 称为在 D 上的函数，记
为
f
:
x
:
Df
B
,
或
y
y 称为 x 对应的函数值，记为
其中， x 称为自变量， y 称为因变量.
y
(
Dxxf
),
,
由定义 2 知, 函数是一种对应规则，在函数
中， f 表示函数， )(xf 是对应
于自变量 x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习
y
的形式表示 y 是 x 的函数.但应正确理
惯上常把在 x 处的函数值 y 称为函数，并用
2
(
x
xf ）
x
解，函数的本质是指对应规则 f .例如
就是一个特定的函数， f 确定
的对应规则为
)(xf
3
4
)(xf
y
10
f
)(
3
)(
)(4
2
10
就是一个函数.
(2) 函数的两要素
函数
y
)(xf
的定义域 D 是自变量 x 的取值范围，而函数值 y 又是由对应规则 f 来确
定的，所以函数实质上是由其定义域 D 和对应规则 f 所确定的，因此通常称函数的定义域
和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，
就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如
y
与
x
z
2v
，就是相
同的函数.
2． 函数的三种表示方法
(1) 图像法
用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观
性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论
研究.
(2) 表格法
将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表
示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便
于作理论研究.
(3) 公式法
用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为
解析法. 这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得
直观.
在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况：
1 分段函数
在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如
)(
xf
x
2
x
ln
,1
x
0,
x
2,
x
,0
,2
,5
x
就是一个定义在区间
]5,
② 用参数方程确定的函数
( 上的分段函数.
用参数方程
x
y
)(
t
)(
t
（t Ι ）
表示的变量 x 与 y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数
y
1
2
x
(
x
)]1,1[
可以用参数方程
y
cos
sin
t
t
0(
t
)
表示.
3 隐函数
如果在方程
yxF
,(
)
0
中，当 x 在某区间 I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该
方程的惟一的 y 值存在，则称方程
yxF
,(
)
0
在区间 I 内确定了一个隐函数.例如方程
x
e
xy
01
就确定了变量 y 是变量 x 之间的函数关系.
注意 能表示成
y
)(xf
(其中 )(xf 仅为 x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把
一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如
x
e
xy
01
可以化成显函数
y
xe1
x
.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如
xe
xy
e y
0
.
3． 函数的四种特性
设函数
y
)(xf
的定义域为区间 D ，函数的四种特性如下表所示.
函数的四种特性表
定 义
图像特点
函
数
的
特
性
奇
偶
性
单
调
性
有
界
性
周
期
性
设函数
y
)(xf
的定义域 D 关于原点对称，若对任意 Dx 满
足
f
(
x
)
(
xf
),
则称 )(xf 是 D 上的偶函数；若对任意 Dx 满
足
f
(
x
)
(
xf
),
则称
)(xf 是 D 上的奇函数，既不是奇函数也
不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数
若对任意
,
xx
1
2
),(
ba
，当
x 时，有
1
x
2
( 1xf
)
( 2xf
)
,
则称函数
y
)(xf
是区间
),( ba 上的单调增加函数；当
x 时，
1
x
2
有
( 1xf
)
( 2xf
)
,则称函数
y
)(xf
是区间
),( ba 上的单调减少
函 数 ， 单 调 增 加 函 数 和 单 调 减 少 函 数 统 称 单 调 函 数 ， 若 函 数
y
)(xf
是区间
),( ba 上的单调函数，则称区间
),( ba 为单调区间
如果存在
0M
，使对于任意 Dx 满足
)(
Mxf
则称函
数
y
)(xf
是有界的
如 果 存 在 常 数 T ， 使 对 于 任 意
则称函数
)(
xf
)(xf
y
(
Txf
)
Dx ，
DTx
， 有
是周期函数，通常所说的周
偶函数的图
形 关 于 y 轴 对
称 ; 奇 函 数 的 图
形关于原点对称
单调增加的
函数的图像表现
为自左至右是单
调 上 升 的 曲 线 ;
单调减少的函数
的图像表现为自
左至右是单调下
降的曲线
图像在直线
y
M
与
My 之间
在每一个周
期内的图像是相
同的
期函数的周期是指它的最小周期
4． 基本初等函数
六种基本初等函数见下表
六种基本初等函数表
函数
常函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
解析表达式
Cy （C 为常数）
ax
y （ a 为常数）
xa
1
0
y （
, a 为常数）
a
a 且
xa
log
0
1
y
a 且
a
（
cos
tan
,
sin
,
y
yx
yx
arccos
arcsin
,
,
y
yx
yx
csc
sec , y
y
x
x
arc
arc
,
yx
, a 为常数）
cot
,
yx
arctan
,
x
y
sec
arc
,
yx
cot x
,
csc
x
5. 反函数、复合函数和初等函数
反函数、复合函数和初等函数的定义见下表
几种函数的定义表
函数种类
定 义
举 例
设函数
y
)(xf
为定义在数集 D 上的函数，
函数
y
sin
x
其值域为W ．如果对于数集W 中的每个数 y ，在
反函数
数集 D 中都有惟一确定的数 x 使
y
)(xf
成立，则
得到一个定义在数集W 上的以 y 为自变量，x 为因
变量的函数，称其为函数
y
)(xf
的反函数，记为
x
f
)(1 y
，其定义域为W ，值域为 D
π(
2
x
π
2
)
的反函数为
y
x
1(
arcsin
)1
y
若 函 数
y
)(uf
的 定 义 域 为 1D ， 函 数
由 函 数
y 和
2u
u
)(x
在 2D 上 有 定 义 ， 其 值 域 为
x
cos
u
复合函数为
复 合 而 成 的
W
2
{
uu
(
),
Dxx
2
}
且
2 DW ，则对于任
1
y
(cos x
2)
．
一
2Dx ，通过函数
u
)(x
有确定的
2Wu 与
由 函 数
y
1
u
复合函数
之对应，通过函数
y
)(uf
有确定的 y 值与之对
和
u
e2
x
不能复合
成复合函数
应．这样对于任一
2Dx ，通过函数u 有确定的 y
值与之对应，从而得到一个以 x 为自变量， y 为因
变量的函数，称其为由函数
y
)(uf
和
u
)(x
复
合而成的复合函数，记为
([
y
f
x
)]
，其定义域
为 2D ，u 称为中间变量
初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
复合运算而得到的，且用一个式子表示的函数，称
为初等函数
)(
xf
2
2
x
1
ln(5
x
)
4
第二章 极限与连续
１．极限的定义
(1) 函数极限、数列极限的描述性定义
极限定义表
类型
描述性定义
极限记号
x
时函数
)(xf
极限
的
x
时函数
)(xf
极限
的
x
时函数
)(xf
极限
的
x
x
0
时函数
)(
xf
极限
的
在
x
b
y
设函数
)(xf
b( 为某个正实数)时
有定义，如果当自变量 x 的绝对值无限增大时，相应的
函数值无限接近于某一个固定的常数 A ，则称 A 为
x
（读作“ x 趋于无穷”）时函数 )(xf 的极限
lim
x
)(
xf
A
或
)(
xf
(
xA
)
设 函 数
y
)(
xf
在
,(
a
()
a
为 某 个 实 数 )内 有 定
lim
x
)(
xf
A
或
义，如果当自变量 x 无限增大时，相应的函数值 )(xf 无
)(
xf
(
xA
)
限接近于某一个固定的常数 A ，则称 A 为
作“ x 趋于正无穷”）时函数 )(xf 的极限
x
（读
设函数
y
)(
xf
(
在
,
a
)
( a 为某个实数)内有定
lim
x
)(
xf
A
或
义，如果当自变量 x 无限增大且 0x 时，相应的函数
)(
xf
(
xA
)
值
)(xf 无限接近于某一个固定的常数 A ，则称 A 为
x
（读作“ x 趋于负无穷”）时函数 )(xf 的极限
设函数
y
)(xf
在点 0x 的去心邻域
,ˆ( 0 xN
)
内
lim
x
x
0
)(
xf
A
或
有定义，如果当自变量 x 在
,ˆ( 0 xN
)
内无限接近于 0x
)(
xf
(
xA
0x
)
时，相应的函数值 )(xf 无限接近于某一个固定的常数
A ，则称 A 为当
x （读作“ x 趋近于 0x ”）时函
0x
数 )(xf 的极限
设函数
y
)(xf
在点 0x 的左半邻域
(
,
x
0
x
0
)
lim
x
x
0
)(
xf
A
或
x
x
0
时函数
)(
xf
极限
的
内有定义，如果当自变量 x 在此半邻域内从 0x 左侧无限
接近于 0x 时，相应的函数值 )(xf 无限接近于某个固定
的常数 A ，则称 A 为当 x 趋近于 0x 时函数 )(xf 的左极
限
)(
xf
(
xf
或
0
A
(
xA
)0
x
0
)
设 函 数
y
)(xf
的 右 半 邻 域
(
)
xx
,0
0
内 有 定
lim
x
x
0
)(
xf
A
或
义，如果当自变量 x 在此半邻域内从 0x 右侧无限接近于
0x 时，相应的函数值
)(xf 无限接近于某个固定的常数
A ，则称 A 为当 x 趋近于 0x 时函数 )(xf 的右极限
)(
xf
(
xf
或
0
A
(
xA
)0
x
0
)
对于数列 nu ，若当自然数 n 无限增大时，通项 nu
无限接近于某个确定的常数,则称 A 为当 n 趋于无穷时
数列 nu 的极限，或称数列 nu 收敛于 A
lim
n
un
A
或
un
nA
(
)
x
x
0
时函数
)(
xf
极限
的
数列 nu
的极限
若数列 nx 的极限不存在，则称数列 nx 发散
（2）单侧极限与极限的关系定理
lim 不存在
n
u
n
①
②
lim
x
lim
x
x
0
)(
xf
A
的充分必要条件是
)(
xf
A
的充分必要条件是
)(
lim xf
x
lim
x
lim
x
0
x
)(
xf
lim
x
0
x
)(
xf
A
．
)(
xf
A
．
（３）极限存在准则
①单调有界数列极限的存在定理
单调有界数列必有极限．
②夹逼准则
若 当
,ˆ( 0 xNx
)
时 ， 有
(
xg
）
)(
xf
)(
xh
， 且
)(
xf
A
．
lim
)(
xgx
x
0
A
，
lim
)(
xhx
x
0
A
， 则
lim
x
x
0
夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立.
2. 极限的四则运算法则
)(
xg
都存在，则
)(
xf
设
及
lim
x
x
0
lim
x
x
0
(1)
(2)
lim
x
x
0
lim
x
x
0
)(
xf
)(
xg
lim
x
x
0
)(
xf
lim
x
x
0
)(
xg
；
)()(
xgxf
lim
x
x
0
lim)(
xf
x
x
0
)(
xg
,
)(
xCf
C
lim
x
x
0
lim
x
x
0
)(
xf
(C 为任意常数);
(3)
lim
x
x
0
)(
xf
)(
xg
lim
x
x
0
)(
xf
)(
xg
lim(
x
x
0
)(
xg
)0
．
上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立．
3． 两个重要极限
(1)
lim
0
x
x
sin
x
,1
一般形式为
lim
)(
xu
0
sin
)(
xu
)(
xu
1
（其中 )(xu 代表 x 的任意函数）．
(2)
lim
x
11
x
x
e
,
一般形式为
lim
)(
xu
1
1
)(
xu
)(
xu
e
４． 无穷小量与无穷大量
（其中 )(xu 代表 x 的任意函数）．
在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时, 均以
x 的极限变化过程为例.
0x
其他极限变化过程,有完全类似的结论．
（１）无穷小量
在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称
无穷小．例如,如果
lim
x
x
0
)(
xf
0
，则称当
x 时,
0x
)(xf 是无穷小量．
注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无
论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数．
（２） 无穷大量
在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷
大量，简称无穷大．
应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号
lim
x
x
0
)(
xf
，
表示“当
x 时,
0x
)(xf 是无穷大量” ．
（３）无穷小量与无穷大量的关系
在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无
穷大量．
（４）无穷小量的运算
① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量．
② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量．
③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量．
④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量．
（5）无穷小量的比较
下表给出了两个无穷小量之间的比较定义．
无穷小量的比较表
设在自变量
x 的变化过程中，
0x
x 与
)(
)(
x
均是无穷小量
无穷小的比较
定 义
)(
x
是比 )(
x
高阶的无穷小
lim
x
x
)(
x
)(
x
0
0
记 号
)(
x
)(
x
（
x ）
0x
x
与 )(
x
)(
是同阶的无穷小
lim
x
x
)(
x
)(
x
0
)(
xa
与 )(
x
是等阶无穷小
(
CC
为不等于零的常数
)
lim
x
x
0
)(
x
)(
xa
1
)(~)(
x
x
（
x ）
0x
（６） 极限与无穷小量的关系定理
)(
xf
的充分必要条件是
)(
xf
lim
A
x
x
0
A
)(
x
，其中 )(xa 是当
x 时的无穷小
0x
量．
（７） 无穷小的替换定理
设 当
x 时 ，
0x
1
(
~)
x
2
(
x
)
，
1
~)(
x
2
)(
x
，
lim
2
x
x
2
0
)(
x
)(
x
存 在 ， 则
lim
x
x
0
1
1
)(
x
)(
x
2
2
)(
x
)(
x
．
5．函数的连续性
⑴ 函数在一点连续的概念
① 函数在一点连续的两个等价的定义：
定义１ 设函数
)(xf 在点 0x 的某个邻域内有定义，若当自变量的增量
x
x
0x
趋
于零时，对应的函数增量也趋于零，即
(
xf
0
y
lim
0
x
lim
0
x
x
)
(
xf
0
0
)
，
则称函数
)(xf
在点 0x 处连续，或称 0x 是 )(xf 的一个连续点．
定义２ 若
lim
x
x
0
)(
xf
(
xf
0
)
，则称函数
)(xf 在点 0x 处连续．
② 左右连续的概念 若
lim
x
x
0
)(
xf
(
xf
0
)
，则称函数 )(xf 在点 0x 处左连续；若
lim
x
x
0
)(
xf
(
xf
0
)
，则称函数
)(xf 在点 0x 处右连续．
⑵ 函数在一点连续的充分必要条件
函数 )(xf 在点 0x 处连续的充分必要条件是 )(xf 在点 0x 处既左连续又右连续．
由此可知，函数 )(xf 在点 0x 处连续，必须同时满足以下三个条件：
① 函数 )(xf 在点 0x 的某邻域内有定义，
②
存在，
lim
x
x
0
)(
xf
( 0xf
③ 这个极限等于函数值
⑶ 函数在区间上连续的概念
)
．
在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连
续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左
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