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实验五 KRAKEN 程序的使用方法【实验目的】掌握声场计算的简正波方法；掌握矩阵分解技术的数值算法；熟悉 KRAKEN 程序的使用；掌握宽带信号的滤波技术。【实验原理】 Kraken 程序是基于简正波理论的声传播计算软件，实际上是一整套称之为声学工具箱的模型化工具中的一部分。程序开发者 Michael B. Porter 的目的是开发一个计算更精确、更有效的简正波模型软件，使之能处理一些更为复杂的海洋模型。基本理论简正波方法需要解与深度有关的波动方程。对于某些问题（例如理想液体波导），方程的解是各阶简正模式之和。但是对于大多数，即使是相当简单的情况（例如 Pekeris 波导），这种处理方法也是不恰当的，这是因为分离变量后将不能构成简正模式完备集，因而成为一个奇异问题。在此，采用另一种求解方法：声场解的形式写为如(2.1)式所示的谱积分表达式，将围线闭合并且按照留数之和来计算这一积分，从而得到声压场的解。 ( ) krk r ( zzG , ( zrp , dk ) J k ) ; 0 r r r s s 式中的格林函数满足以下条件： , ) ( krkHkzzG ( )( ) ; 1 0 r r dk r r , (2.1) ∫∞= 0 1 ∫= 2 − k 2 r ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ −= ( δ ), s z z − 2 π ⎡ ( ) z ρ ⎢ ⎣ 1 ( ) z ρ ⎤ ( ) zG ′ ⎥ ⎦ ′ + ( 2 Gk r ) ( ) 0 + T f ) ( ( 2 DGk r ) + B f ( T 2 kg r ( ) 0 ρ ( B 2 g k r ( ) D ρ 2 ⎡ ω ⎢ ( ) 2 c z ⎢ ⎣ ) ( ) dG 0 dz = ,0 ) ) ( DdG dz = 0 顶部(T)和底部(B)的边界条件含有函数 BTf , 和 BTg , 。在标准教科书中给出了这一问题的解： ( kzzG ; , s ( zp 1 ) r −= ) ( zpk ; r 2 < ( )r kzW ; s > ; k r ) (2.2) 其中, z < = min ( zz , ) , s ( z > ) kzW ; = = ( )s ( kzpkzp ; 1 max ( zz , ) ′ 2 ; r r 。 ( )rkzW ; 是朗斯基行列式： ) kzpkzp ; ′− 1 ), ( ) ( ′ 2 ; r r 式中 p1,p2 分别为满足边界条件的任意非平凡解。对于(2.1)式中的积分,我们可以

利用柯西定理把积分围线改变到复平面上。对于 Pekeris 波导问题，它有一个来自下半空间边界条件的单个分支割线，我们接着把半圆 ∞C 和分支割线 C 分支割线加起来，使谱积分表达式中的围线闭合，其中分支割线可以有不同的选择。这样，利用柯西定理就可以把积分写成围线所围留数之和： ∞ ∫ ∞− + ∫ C ∞ + ∫ C 分支割线 = M ∑ iπ 2 m 1 = res ( k rm ). )rmk 式中 ( res 割选择,留数的个数可能为零,有限个或无限多个。是围线包围的第 m 个极点的留数,对于不同的问题和不同的分支切 - 1k 2k− 2k 1k 图 2.1-1 Pekeris 问题使用 EJP 割线时特征值的位置分支割线有多种选择，我们选择图 2.1-1 所示的 EJP 割线，它是以 Ewing， Jardetzky 和 Press 命名的。这条割线走过实 rk 轴上的[ k− 2, k ]2 和整个虚轴。垂直波数 k bz , = k 2 2 − k 2 r 沿着这条割线为实数。这样就可以用简正波的留数之和以及支线积分代替原来沿实波数轴的积分。支线积分代表了辐射到海底的谱成分( 0 < kr < k 2 )的贡献和随距离增大而逐渐消失的谱成分的贡献，因此它的重要性是随距离的增大而逐渐减小的。当 ∞C 的半径趋于无限大时，由于汉克尔函数按指数规律衰减，故这一段围线的贡献为零。将式(2.2)给出的格林函数表达式代入式(2.1)，于是得到用留数之和加分支割线积分表示的声场表达式： ( zrp , ) = i 2 M ∑ m 1 = ( kzp ; rm 1 kzW ; ∂ ( < s r ( ) zp 2 ) k / ∂ ; k > rm ) kr = k r rm ) krkH ( )( 1 0 rm − ∫ C EJP rm (2.3) 式中 rmk 是朗斯基行列式的第 m 个零点，确定这些特征值的方程称为特征方程或久期方程。若 =mkW ) ( 0 ，则 p ;(2,1 mkz ) 线性相关且可以通过简单换算使 mkzp ;(1 ) ＝ mkzp ;(2 ) 。这样，可以定义 =)(zmψ mkzp ;(1 ) = mkzp ;(2 ) ，则可以用 mψ

把声场写成 zrp ),( = i 2 M ∑ m 1 = ( z ) ψψ s m kzW ); ∂ m ( s k ∂ z )( | kk = m krkH ) ( )1( 0 m − ∫ C m EJP (2.4) 为简化该表达式，通过对 )(zmψ 进行适当的换算，可以令 kzW ∂ /); ( s k ∂ | = mkk = 1 ，则声压场为 zrp ),( = i (4 ρ z s ) M ∑ m z ( ψψ m 1 = m s ) rkHz )( m )1( 0 ( ) -∫ EJPC (2.5) 这里，垂直简正波被归一化，如下式所示 D ∫ 0 z )( 2 ψ m z )( ρ dz − 1 k m 2 T ) gfd ( / dk 2 ψ m )0( + k m 1 k m 2 B ) gfd ( / dk 2 ψ m k m ( D 1) = 数值方法在分层介质条件下，简正波方程的解是一个复杂的特征值问题， Kraken 方法采用有限差分方法求解方程，可以得到快速精确的解。则离散化模式问题就变成为以下代数特征值问题： ( xIkA ) 0 = − 2 r Kraken 模型将整个深度 D 划分成 N 个等间隔的宽度 h＝D／N，相应地得到 N＋1 个点，图 2.1-2 含有界面的有限差分网格假设 ρ为常数，则垂直简正波函数满足以下模式方程 z )( ′′ ψ + ( 2 ω z c )( 2 − k 2 ) ψ z )( = 0 f T ( k 2 ) ψ )0( + T g 2 ) k ( ρ )0( ′ ψ = 0 f B ( k 2 ) ( ψ D ) + B g 2 ) k ( ρ ( ′ ψ D ) = 0 (2.6)

将前向差分、后向差分和中心差分估计，代入(2.6)式得 ψ j 1 − +−+ 2{ h 2 [ 2 ω z ( 2 c ) j − k 2 r ]} ψψ j + j = 0 j=1……N-1 1 + T T f g B B f g ψ 0 + ψ N + {1 ρ 2 ωψψ )0( 2 − h + c [ 0 1 2 − k ] ψ 0 h 2 0} = {1 ρ ψψ N N − h 1 − − [ 2 ω Dc ( 2 ) − k 2 r ] ψ N h 2 0} = (2.7) 将(2.7)式中第一式写为 2-[1 h ρ 1 h ρ ψ j + 1 − + 2 h ( 2 ω z ( 2 c ) j 2 - k )] ψ j + 1 h ρ ψ j 1 + = 0 (2.8) 0 3 2 2 2 3 e e d d e 1 OO e 1 d e 再将上式所有的差分方程联立，可得 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 记为其中 O d e =ψrkA ( 2 e d N e e 0 ) N N N − 1 N − 2 N − 2 − 1 − 1 e d N N = 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ψ ⎡ 1 ⎢ ψ ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ψ ⎣ N M ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ +− 2 2 h 2 ω [ zc ( 2 h ρ 2 − k 2 ] ) 0 + k f T ( kg T ( 2 2 ) ) 2- h 2+ 2 ω [ zc ( 2 h ρ k 2 ] -) j j=1……N-1 2- + 2 h 2 ω [ zc ( 2 h ρ 2 k 2 ] -) N − B k f ( kg B ( 2 2 ) ) 1 ρh j=1……N d 0 = d j = d N = e j = 在分界面上可用边界条件将各层联系起来。上层是水，下层是海底，利用法向振速连续 ) ' ψ D ( ρ w = ) ' ψ D ( ρ b

得 ⎧ ⎨ ⎩ Ψ−Ψ N h w N 1 − − ⎡ ⎢ ⎣ 2 ω ( Dc 2 − ) − k 2 r ⎤ Ψ⎥ ⎦ N h w 2 ⎫ ⎬ ⎭ ρ w = ⎧ ⎨ ⎩ Ψ−Ψ N 1 + h b 即 Ψ h N 1 − ρ ww + + +Ψ− N [ 2 ω +Ψ− N [ 2 ω N + ⎡ ⎢ ⎣ 2 ω ( Dc 2 + ) − k 2 r ⎤ Ψ⎥ ⎦ N h b 2 ⎫ ⎬ ⎭ ρ b − ( ) Dc 2 h ρ ww ( ) Dc 2 h ρ b b − ] Ψ− k 2 r h 22 w N ] Ψ− k 2 r h 2 b N 2 + Ψ h b N 1 + ρ b = 0 上式形式与(2.8)式类似，因此可将两层介质各自的对称矩阵构成三对角矩阵求解本征值。一旦求得本征值，特征向量可用反迭代法求得。目前计算本征值的方法可以分为两大类．第 1 类方法假设本征值的虚部很小，忽略其虚部或采用摄动的方法，使得本征方程解耦，然后进行求解．这种方法的计算速度快，精度高，但是由于它不能计算虚部比较大的高号简正波本征值，因而只能应用于不需要考虑高号简正波的情况。例如 KRAKEN 算法．第 2 类方法是直接在复数域内求解本征方程，例如 KRAKENC 算法，虽然它能够处理任意号数的本征值，但是其计算速度非常慢，不适用于声场的快速计算。 Kraken 程序应用 Kraken 是在直角坐标系和柱坐标系下处理与径向相关问题的简正波程序，其中与径向相关的解采用绝热或耦合简正波方法给出。Kraken 程序可自由选择绝对软、绝对硬、均匀半空间等边界条件，能处理分层介质环境，考虑了界面的粗糙度和弹性介质的情况，并可计算表面和底部平面反射系数。求特征值的方法能有效的保证收敛，特征函数的计算非常可靠，并且通过外插法达到高精度，还可扩展到解决三维可变环境中的问题[35]。 Kraken 程序的模块结构图 2.1-3 为 KRAKEN 程序的模块结构，其中方框内为程序名，圆框内为输入输出文件。从图中可以看出，KRAKEN 程序实际上是由多个子程序构成的，不同的子程序可以分别完成某一方面的任务。按其功能主要分为以下三个部分： 1. 模式计算包括 KRAKEN、KRAKENC 及 KRAKENL，在处理实际问题时只需选择其中一个。它们的主要功能是读入 ENVFIL(环境文件)，计算出各阶简正波的波数，相速度以及深度方向的声场等值，并存入 MODFIL(模式文件)及一个二进制的 “隐含”文件 SHDFIL 中，以供其他程序调用。KRAKEN 程序忽略了弹性介质中的衰减，而 KRAKENL 则较少使用，相比之下，KRAKENC 时处理实际问题时较常用的选择。

2. 声场计算程序绝热近似或单向耦合模式。 FIELD ：计算水平方向上各点的声场值。对于环境与距离有关的问题采用 FIELD3D ：使用绝热近似理论计算三维可变环境问题的声场。需要输入一个附加的一个海底环境参数文件 FLPFIL。 3. 绘图程序 PLOTMODE：绘制各阶简正波深度方向的声场。 PLOTGRN：绘制深度分离的波动方程格林函数。 PLOTTLR：绘制特定深度沿水平方向的传播损失。 PLOTTLD：绘制特定距离沿深度方向的传播损失。 PLOTTRI：绘制三维可变环境的三角网。 PLOTFIELD：采用直角坐标或极坐标绘制传播损失。 PLOTRAYXY：绘制声线图。上述各绘图子程序中，有的只需环境文件 ENVFIL(如：PLOTSSP),有的还需要调用 KRAKEN 及 FIELD 程序所产生的 MODFIL 文件和 SHDFIL 文件。图 2.1-3 KRAKEN 程序包的模块结构 Kraken 程序的输入输出 Kraken 程序的输入文本文件称为环境文件，其后缀名为.ENV，下面以一具体实例说明运行 Kraken 程序所需输入的海洋环境参数，如下所示： 'FRAMIV Twersky S/S ice scatter' ! TITLE

50.0 ! FREQ (Hz) 4 ! NMEDIA 'NST' ! OPTIONS 0.0092 8.2 5.1 ! BUMDEN (1/m) ETA (m) XI (m) 750 0.0 3750.0 ! NMESH SIGMA (m) Z(NSSP) 0.0 1436.0 0.0 1.03/ ! Z(m) CP CS(m/s) RHO(gm/cm3) 50.0 1437.7 / 100.0 1441.9 / 150.0 1450.0 / 200.0 1458.4 / 300.0 1460.5 / 400.0 1461.0 / 500.0 1462.0 / 900.0 1465.8 / 1200.0 1469.0 / 1800.0 1477.0 / 2500.0 1487.9 / 3750.0 1510.4 / 35 0.0 3808.33 3750.0 1504.6 0.0 1.50 .15 0.0 3808.33 1603.07 / 35 0.0 3866.66 3808.33 1603.07 0.0 1.533 .15 0.0 3866.66 1701.53 / 35 0.0 3925.0 3866.66 1701.53 0.0 1.566 .15 0.0 3925.0 1800.0 / 'A' 0.0 ! BOTOPT SIGMA (m) 3925.0 1800.0 0.0 1.60 .15 0.0 0.0 1504.0 ! CLOW CHIGH (m/s) 300.0 ! RMAX (km) 1 100.0 / ! NSD SD(1:NSD) (m) 1 200.0 / ! NRD RD(1:NRD) (m) 各输入参数的说明如下，以下输入可以在单个环境文件 ENVFIL 中根据需要重复多次。每当遇到以下输入结束时，就会产生一个独立的模式文件 MODFIL。 (1) – 标题句式：TITLE 说明： TITLE：单引号内输入运行程序的标题 (2) – 频率句式：FREQ 说明： (3) – 介质数 FREQ：以 Hz 为单位的频率值。

句式：NMEDIA (<20) 说明： NMEDIA: 介质数目。该行输入介质的层数，同一层内各参数可以认为是缓慢变化的，层与层的界面则是参数发生突变或流体/弹性介质交界面。 (4) – 选项句式：OPTION 说明：选项（1:1）：声速剖面(SSP)插值类型 ‘C’—三次多项式插值， ‘N’—N2 型线性插值（n 是折射率）， ‘S’—三次样条插值， ‘A’—解析形式。用户必须先修正 PROFIL.FOR 文件中的解析式，然后进行编译、连接。如果不能确定合适选项，建议选择'C' 或 'N'。选项（2:2）：衰减系数单位选择 ‘N’：Nepers/m ‘F’：dB/(kmHz) ‘M’：dB/m ‘W’：dB/波长 ‘Q’：品质因数选项（3:3）：顶部边界条件类型。 ‘V’：上半部空间为真空， ‘A’：上半部为弹性半空间，若选择此项，则需在下一行输入半空间参数 ‘R’：绝对硬边界射系数) ‘F’： (只对 KRAKENC 有效)由*.TRC 文件输入上界面反 ‘W’：(只对 KRAKENC 有效)将界面反射系数写入*.IRC 此外，还有’S’、’H’、’T’、’R’、’I’等选项，对于大多数的海洋声学问题，’V’ 文件并作为底面边界条件读入是一般的选择。 (5) – TWERSKY 散射参数句式：BUMDEN ETA XI 说明： BUMDEN：扰动密度 ETA：主轴 1 XI：主轴 2 以上三参数仅当选中顶部边界条件类型 OPT(3:3)为 T 选项时有效 (6) – 介质特性句式：NUMESH SIGMA Z(NSSP) 说明： NUMESH：进行数值计算所分的网格数，网格应取的足够小以保证计算的精确，对于声学介质通常每波长取 10 个点就够了，对

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