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2008年福建高考文科数学真题及答案.doc
2008 年福建高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
A
2
|
x x
Ａ．
x
| 0
x
1
0
Ｂ．
，
x
B
x
| 0
，则 A B 等于（
x
3
）
x
| 0
x
3
Ｃ．
x
|1
x
3
Ｄ．
2．a=1”是“直线
x
y 和直线
0
x ay
互相垂直”的（
0
）条件
Ａ．充分而不必要条件
Ｃ．充要条件
Ｂ．必要而不充分条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
3．设{ }na 是等差数列，若 2
a
73,
a
13
，则数列{ }na 前 8 项和为（
）
Ａ．128
Ｂ．80
Ｃ．64
Ｄ．56
4．函数
( )
f x
3
x
sin
x
1(
，若 ( )
x R
f a ，则 (
f
2
)
a 的值为（
)
）
Ａ．3
Ｂ．0
Ｃ．-1
Ｄ．-2
5．某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为
4
5
，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率
是（
）
12
125
Ａ．
6．如图，在长方体
Ｂ．
16
125
ABCD A B C D
1
1 1
1
48
125
AB BC
Ｃ．
中，
Ｄ．
96
125
分别为
2
AA ，则 1AC 与平面 1 1
1 1
A B C D 所成的角的正弦值为（
1
1
）
Ａ．
2 2
3
Ｂ．
2
3
Ｃ．
2
4
Ｄ．
1
3
7．函数 cos (
x x R
的图像向左平移
y
)
2
个单位后，得到函数
y
( )
g x
的图像，则 ( )g x
的解析式为（
）
Ａ． sin x
Ｂ．sin x
Ｃ． cos x
Ｄ． cos x
8．在△ABC 中，角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 2
a
2
c
2
b
3
ac
，则角 B 的值为
（
）
Ａ．
6
Ｂ．
3
Ｃ．
6
或
5
6
Ｄ．
3
或
2
3
9．某班级要从 4 名男生和 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女
生，那么不同的选派方案种数为（
）
Ａ．14
Ｂ．24
Ｃ．28
Ｄ．48
10．若实数 x,y 满足{
0
x
y
0
x
2
y
，则
y
x
的取值范围是（
）
Ａ． (0,2)
Ｂ． (0,2]
Ｃ． (2,
)
Ｄ．[2,
)
11．如果函数
y
( )
f x
的图像如右图,那么导函数
y
f
'( )
x
的图像可能是（
）
12 ． 双 曲 线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的 两 个 焦 点 为 1
0)
,F F ， 若 P 为 其 上 一 点 ， 且
2
|
PF
1
| 2 |
PF
2
|
，则双曲线离心率的取值范围为（
）
Ａ． (1,3)
Ｂ． (1,3]
Ｃ． (3,
)
Ｄ．[3,
)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应位置．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
展开式中 3x 的系数是
（用数字作答）
(
x
13.
91
)
x
14.若直线 3
x
4
y m
与圆 2
x
0
2
y
2
x
4
y
没有公共点，则实数 m 的取值范
4 0
围是
15.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是
16.设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 ,a b P ，都有
数 0
,
b ），则称 P 是一个数域。例如有理数集 Q 是数域，有下列命题：
a b a b ab
,
, a
b
（除
P
①数域必含有 0，1 两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q M ，则数集 M 必为数域；
④数域必为无限域。
其中正确的命题的序号是
（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
m
(sin ,cos
已知向量
A
（1）求 tan A 的值；
（2）求函数 ( )
f x
),
A n
(1, 2),
且
m n
0
。
cos 2
x
tan sin (
x x R
的值域。
A
)
18. （本小题满分 12 分）
三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为
1 1 1
,
,
5 4 3
，且他们是否
破译出密码互不影响。
（1）求恰有二人破译出密码的概率；
（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由。
19. （本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱
PA=PD=
2 ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 其 中 BC ∥ AD,AB ⊥
AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点。
（1）求证：PO⊥平面 ABCD;
（2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值；
（3）求点 A 到平面 PCD 的距离
20. （本小题满分 12 分）
已知{ }na 是正整数组成的数列， 1 1
a ，且点
(
,
a a
n
n
1
)(
n N
*
)
在函数
y
x
2 1
的
图像上：
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）若数列{ }nb 满足 1
b
1,
b
n
1
b
n
，求证：
2 na
b b
n
n
2
2
b
n
1
21. （本小题满分 12 分）
已知函数
( )
f x
3
x mx
2
nx
的图像过点（-1，-6），且函数 ( )
g x
2
f
图像关于 y 轴对称。
（1）求 m,n 的值及函数
y
( )
f x
的单调区间；
（2）若 a>0，求函数
y
( )
f x
在区间 (
a
1,
a
1)
内的极值。
'( ) 6
x
的
x
22. （本小题满分 14 分）
如图，椭圆 C:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a b
的一个
0)
焦点为 F（1，0）且过点（2，0）。
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 AB 为垂直与 x 轴的动弦，直线 l:x=4 与 x 轴交于 N，直线 AF 与 BN 交于点 M.
①求证：点 M 恒在椭圆 C 上；
②求△AMN 面积的最大值。
参考答案
3．C
2．Ｃ
8．A
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分．
1．A
7．A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 4 分，满分 16 分．
13.
6．D
12．B
5．C
11．A
4．B
10．D
9．A
84
14.
(
,0)
(10,
)
9
15.
16. ①④
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变、一元二次
函数的最值等基本知识，考查运算能力。满分 12 分。
解：（1）由题意得
m n
2cos
sin
A
0
A
,
因为 cosA≠0，所以 tanA=2
（2）由（1）知 tanA=2 得
( )
f x
cos 2
x
2sin
x
2(sin
x
21
)
2
3
2
x R
,
sin
x
[ 1,1]
x ， ( )
f x 有最大值
3
2
；
当
sin
当sin
1
2
1
x ， ( )
f x 有最小值 3 。
所以所求函数 ( )
f x 的值域为
[ 3,
3
2
]
18.解：记“第 i个人破译出密码”为事件 (
iA i
1,2,3)
，依题意有
(
P A
1
)
1
5
,
(
P A
2
)
1
4
,
(
P A
3
)
且 A1，A2，A3 相互独立。
1
3
（1） 设“恰好二人破译出密码”为事件 B,则有：
B＝A1·A2· 3A ·A1· 2A ·A3+ 1A ·A2·A3 且 A1·A2· 3A ，A1· 2A ·A3， 1A ·A2·A3
彼此互斥
于是 P(B)=P(A1·A2· 3A )+P（A1· 2A ·A3）+P（ 1A ·A2·A3）
1
5
3
4
1
3
4
5
1
4
1
3
2
3
＝
＝
1
4
.
1
5
3
20
（2）设“密码被破译”为事件 C，“密码未被破译”为事件 D，则有：
D＝ 1A · 2A · 3A ，且 1A ， 2A ， 3A 互相独立，则有
2
5
P（D）＝P（ 1A ）·P（ 2A ）·P（ 3A ）＝
4
5
＝
.
3
4
2
3
而 P（C）＝1-P（D）＝
，故 P（C）＞P（D）.
3
5
所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大
19.解：
解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD中 PA＝PD，O为 AD中点，所以 PO⊥AD.
又侧面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PO 平面 PAD，
所以 PO⊥平面 ABCD.
（Ⅱ）连结 BO，在直角梯形 ABCD中，BC∥AD, AD=2AB=2BC，
有 OD∥BC且 OD＝BC，所以四边形 OBCD是平行四边形，
所以 OB∥DC.
由（Ⅰ）知 PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线 PB与 CD所成的角.
因为 AD＝2AB＝2BC＝2，在 Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以 OB＝ 2 ，
在 Rt△POA中，因为 AP＝ 2 ，AO＝1，所以 OP＝1，
在 Rt△PBO中，PB＝
2
OP
OB
2
3
,
cos∠PBO=
OB
PB
2
3
6
3
,
所以异面直线 PB与 CD所成的角的余弦值为
6
3
.
(Ⅲ)由（Ⅱ）得 CD＝OB＝ 2 ，
在 Rt△POC中，PC＝
2
OC
OP
2
2
，
所以 PC＝CD＝DP，S△PCD=
3
4
·2=
3
2
.
又 S△=
1
2
AD
AB
,1
设点 A到平面 PCD的距离 h，
由 VP-ACD=VA-PCD，
得
即
1
3
1
3
S△ACD·OP＝
×1×1＝
1
3
S△PCD·h，
×
3
2
×h，
1
3
.
解得 h＝
32
3
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以 O为坐标原点，
OC 、、
OD
OP
的方向分别为 x
轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz.
则 A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以CD ＝（-1，1，0）， PB ＝（t，-1，-1），
cos〈 PB 、CD 〉=
CD
PB
PB
CD
＝
11
3
2
＝
6
3
，
所以异面直线 PB与 CD所成的角的余弦值为
6
3
，
（Ⅲ）设平面 PCD的法向量为 n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知 CP =（-1，0，1），CD ＝（-1，1，0），
则 n·CP ＝0，所以
-x0+ z0=0,
n·CD ＝0，
-x0+ y0=0，
即 x0=y0=z0,
取 x0=1，得平面的一个法向量为 n=(1,1,1).
又 AC =(1,1,0).
从而点 A到平面 PCD的距离 d＝
n
AC
n
2
3
32
3
.
20.解：
解法一：
（Ⅰ）由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1，又 a1=1,
所以数列｛an｝是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列.
故 an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而 bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1
＝
n
21
21
=2n-1.
因为 bn·bn+2-b 2
1n =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以 bn·bn+2＜b 2
1n ,
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为 b2=1,
bn·bn+2- b2
1n =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b2
1n
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2
n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以 bn-bn+2得 x>2 或 x<0,
故 f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
由 f′(x)<0 得 0
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