2018年云南昆明理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2018 年云南昆明理工大学数学分析考研真题 A 卷一、计算及判断（每小题 5 分，共 20 分） 1、设函数 2、求极限 y  lim n  3、设函数 ( ) f x   arctan  ( f e 1 3 2 4    x , x     (   x 1 ；  n )x ，求微分 dy ； 2 n 2 1 , 7 7      x    7 1 x 1  1 1)sin x , 1    x ，指出其间断点及类型，并说明理由； 4、求函数 ( ) f x  arctan x 在 0 x  的左、右导数．二、证明下列各题（每小题 5 分，共 20 分） 1、用 X 定义证明 lim sin  x  ； 0 2、叙述函数极限存在的归结原则； x  lim ( ) f x  0 x 3、运用归结原则证明 lim cos  0 x 不存在； 1 x 4、应用拉格朗日中值定理不等式： b a 三、（10 分）证明：若函数 f 在 R 连续，且 ( ) f x ab  b ln   ab  a x   a ，其中 a 0 b ． f ( ) t dt ，则 ( ) 0 f x  ．四、（10 分）证明：若数列 nna 收敛，且级数   ( n a n n 1  a n 1  ) 收敛，则级数五、计算或证明下列各题（每小题 5 分，共 35 分）   收敛． a n n 1  1、求极限 lim n  3、证明瑕积分  5、求函数 ( ) f x i n 1 2 n  i n 1  arctan 3 1 x x  2  0 ； 2、求导数 2 d dx 3 x  2 x 1 t 1 2 dt ； x dx  发散; 4、求极限  在 (0,2 ) 上的傅里叶展开式； lim   00 (cos )x 2  2  dx ； 6、计算第一型曲线积分 7、计算第一型曲面积分 L   S yds ，其中 L 为单位上半圆周 2 x 2 y  ； 1 zdS ，其中 S 为平面 x 1 y z 在第一卦限中的部分.

六、（10 分）证明函数 ( ) f x 1, x  为有理数，   1 x  ，为无理数在 ]1,0[ 上有界但不可积．七、（10 分）求函数 ,( yxf )       3 2 x x ,0   3 2 y y , x 2  2 y  0 2 x  2 y  0 在原点的偏导数 )0,0(xf 与 )0,0(yf , 并证明 ,( yxf ) 在点 )0,0( 是不可微的．八、（10 分）利用适当的坐标变换计算二重积分 ( x  y )sin( x  ) y dxdy D ,   ( , x y ) 0  D    x y ,0     x y   ．九、（10 分）设 f 是一元函数,试问应对 f 提出什么条件,方程 (2 f xy )  )( xf  )( yf 在点 )1,1( 的邻域内就能确定出唯一的 y 为 x 的函数?  十、（10 分）用高斯公式计算第二型曲面积分 S yzdydz  2 ( x  2 z ) ydzdx  xydxdy ，其中 S y : 4 (   x 2 2  ，在 0x z 面右侧部分内侧. z ) 十一、（5 分）请举例说明：在有理数集内，单调有界定理一般都不成立.

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