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基于TD-SCDMA系统的频偏估计算法研究.pdf
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基于 TD-SCDMA 系统的频偏估计算法研究1
范欣然 1，彭涛 2，王文博 3
1 北京邮电大学信息与通信工程学院，北京(100876)
E-mail：xinran.fan@gmail.com
摘 要： 本文从原理上推导了四种经典的误差估计算法——Kay、Fitz、L&R 以及 Kay&R
算法，通过分析、比较和多方面仿真验证了多种因素对算法性能的影响，如性能评判标准、
待测参量之间的影响、观测序列长度的选取等等，并且这些参数对于频率误差估计影响是不
同的。同时从估计范围、估计精度和运算复杂度等方面对现有的 4 种频偏估计算法进行研究
和仿真，给出了算法的选择依据和详细的分析结果。在此基础上，研究了基于用户数据和训
练序列的联合频偏估计算法，分析了估计范围和运算复杂度，并采用迭代的方法进一步提高
了算法性能。希望这些理论依据对测试仪的误差估计算法起到指导和借鉴作用。
关键词：时分同步码分多址系统， 频偏估计， 性能分析，克拉美-劳下界
中图分类号：TN929.5
1. 引 言
在时分同步码分多址（TD-SCDMA）系统中，由于收发设备间的频率偏差和多普勒频
移，导致接收的基带信号存在一定的频偏，严重影响了信号的接收新能。因此，能否快速正
确地估计和校准频偏是正确接收数据的前提，是移动通信系统中必不可少的步骤[1]。
通常接收机采用锁相环来调整本地载波的频率，获得发送和接收数据之间的载波同步，
但 TD-SCDMA 的短突发通信体制不适合使用跟踪环。因此，本文立足于 TD-SCDMA 系统，
对频偏估计算法进行了详细分析与研究，选出了较好的实现方法来解决精确频偏估计的问
题。
2. TD-SCDMA 系统信号模型
m(t)
Reciprocal
m(t)
AWGN
Channel
r(t)
z(t)
Frequency
Offset
Estimator
图 2-1 系统链路模型
本文所参考的系统链路模型如图 2-1 所示，采用离散时间模型，采样周期等于系统的码
片间隔 cT 。图 2-2 给出了 TD-SCDMA 链路的时隙结构。一个时隙包含两个数据域和一个训
练序列，该训练序列将两个数据域分隔。在 TD-SCDMA 系统中，该训练序列称为 Midamble
1 本课题得到安捷伦公司资助。
- 1 -
序列。发送的训练序列为接收机所知，可以用来进行同步计算，本文利用该训练序列主要进
行频偏的估计。
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图 2-2
TD-SCDMA 系统链路的时隙结构
因此，传输的训练序列可以表示为：
( )
m t
=
j
π
i
(
δ
2
t
m e
i
−
iT
c
)
144
∑
i
1
=
信号 ( )m t 通过加性白高斯噪声信道后，得到的接受信号及其采样序列可以表示为：
( )
r t
=
e
j
(
)
ft
2
Δ +
π θ
j
π
i
(
δ
2
t
m e
i
−
iT
c
)
τ
−
+
( )
n t
144
∑
i
1
=
(2-1)
(2-2)
r
k
(
r kT
c
)
τ
e
(
f kT
2
Δ
π
c
j
⎡
⎣
)
⎤
+ +
τ θ
⎦
=
+
(2-3)
其中 fΔ 表示载波的频率偏移；θ是一个未知的随机相位偏移，其概率密度服从[
)
0,2π 的均
},k sn 是
匀分布；τ是时间偏移； ( )n t 是一个加性白高斯噪声，
相互独立的零均值高斯随机序列，方差都为 2 2σ 。由于训练序列为接收机所知，因此可以
},k cn 和{
，{
n
k c
,
n
k
jn
=
+
k s
,
+
m e
k
n
k
j
π
k
2
通过该训练序列获得有用信号。将 kr 与 (
的信号：
m kT
c
j
π
k
2
)
=
m e
k
相除生成输入载波频率偏移估计器
z
k
=
r
k
m e
k
j
π
k
2
2
Δ
π
(
f kT
c
j
⎡
⎣
)
⎤
+ +
τ θ
⎦
=
e
+
v k
,
k
=
N
1,2,
,
(2-4)
−
j
π
k
2
e
m
k
n
k
，{ }kv 为独立零均值高斯随
其中 N 为观测序列的长度，即为训练序列长度，
v
k
=
机序列。
3. 频偏估计算法介绍
3.1 Kay 算法
根据 Kay 算法[2]，将(2-4)转化为以下形式：
其中
x
k
v e
k
−
j
⎡
⎣
2
π
Δ
(
f kT
c
是：
z
=
k
)
⎤
τ θ
+ +
⎦
j
⎡
⎣
)
⎤
τ θ
+ +
⎦
(
f kT
2
π
Δ
c
e
是一个复白高斯噪声序列，方差为 2σ 。设
(
1
= +
)
⎤
τ θ
+ +
⎦
(
f kT
c
v
k
x
k
2
π
Δ
+
e
)
⎡
⎣
j
x
k
(3-1)
=
x
k I
,
+
jx
k Q
,
，于
- 2 -
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1
+
x
k
=
(
1
⎡
⎣
+
x
k I
,
2
)
+
x
2
k Q
,
1 2
⎤
⎦
×
exp
⎛
⎜
⎜
⎝
j
tan
1
−
x
k Q
,
x
+
k I
,
1
⎞
⎟
⎟
⎠
(3-2)
(
exp
)
τ θ
+ + +
)
j
x
k Q
,
tan
⎤
⎦
−
1
jx
x
k Q
,
exp
≈
(3-3)
。因此，加性噪声被转化为等效的相位噪声 ,k Qx ，
k Q
,
(
)
x σ
2
k
2
。定义
，则有：
k Qxφ =
k
,
(
j
f kT
c
2
π
Δ
⎡
⎣
)
⎤
τ θ
+ +
⎦
≈
e
2
π
Δ
(
f kT
c
)
τ θ φ
+ + +
k
j
⎡
⎣
⎤
⎦
(3-4)
当
SNR 时，
1
通过以上近似，得到
方差为 (
var
x
k Q
,
=
)
=
e
=
kz
0.5var
x
1
≈
+
k
(
j
f kT
2
⎡
e π
Δ
⎣
c
(
)
⎤
τ θ
+ +
⎦
=
)
z
其中 kφ 是一个零均值白高斯噪声，方差为 2 2σ 。
k
+
v
k
(
1
= +
x
k
)
e
2
π
Δ
(
f kT
c
j
⎡
⎣
通过以上计算，可以得到下式：
(3-5)
k
1
+
z
z
}
z
{
{
arg
Δ =
k
arg
=
cfTπΔ 的带噪声分量的均值，通过{ }kz 序列可以获得(
是 2
{ }
z
arg
−
k
}
fT
2
*
π
= Δ
c
φ φ
k
k
k N
≤ ≤
,1
+
−
−
1
1
+
1
+
k
k
k
k
z
z+
1
}*
显然， {
)1N − 个测
arg
量值。由式(3-5)可知，对于频率偏移的估计问题即为对一个有色高斯噪声过程均值的估计。
该过程实际上是一个系数为 1 和-1 的滑动平均。式(3-5)的线性模型的最小方差无偏（MVU）
估计通过最小化下式得到：
(
Δ
J
2
2
π
− Δ
π
=
− Δ
其中 [
， [
= ，C 是一个(
T
N
1,1,
1
矩阵。于是最小方差无偏估计为：
(3-6)
)
1
− 维的 kΔ 的协方差
)
(
1 C Δ
fT
c
]
,1 T
)
1
fT
c
)
(
1
− ×
= Δ Δ
N
Δ
N −
1
Δ
]
,
,
,
T
−
1
1
2
估计值的方差为：
ˆ
f
Δ =
1
Tπ
2
c
×
1 C Δ
T
1
−
1 C 1
T
1
−
(3-7)
var
(
)
ˆ
f
Δ =
1
Tπ
4
2
2
c
(3-8)
ˆfΔ 是一个无偏的高斯随机变量，与观测值呈线性关系。为了计算 1−C ，首先注意 kΔ 是一个
b
实的滑动平均过程，噪声方差为 2 2σ ，系数为 0
= − 。因此，协方差为：
1 C 1
1
T
−
1
×
1
c
( )
0
=
b
2
0
+
b
2
1
b=
11,
)
=
2
σ
(
2
σ
2
)
1
− =
)
=
0
= −
2
σ
2
2
σ
2
b b
0 1
2
≥
k
c
c
=
( )
1
(
(
c k
由此可知，该协方差矩阵为以下形式：
1
−
2
C
=
2
σ
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
0
1
−
2
0
0
1
−
0
0
0
1
−
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
2 N
⎠
(
) (
1
− ×
N
)
1
−
- 3 -
(
N
)
1
− ×
(
N
)
− 维矩阵的(
1
,i
于是得到：
−
1
C
⎡
⎣
⎤ =
⎦
ij
)
j 元素的倒数由下式给出：
2 min ,
(
i
2
σ
ij
N
−
≤
1
)
j
i
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
,
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j N
≤
−
1
(3-9)
1 C Δ
T
1
−
=
其中{ }kγ 是一个窗函数，对称点为
k N=
1 C 1
T
1
−
)
1
2
(
N N
−
=
6
2
σ
(
)
N N
1
−
6
2
σ
。
N
2
2
k
1
−
Δ∑
γ
k
1
=
k
(3-10)
N
最终，得到 fΔ 的估计值为：
γ
k
3
= ⋅
2
N
2
−
1
⎡
1
⎢
⎢
⎣
−
2
k N
−
N
⎛
⎜
⎝
2
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥
⎦
,
k
=
1,2,
,
N
−
1
(3-11)
3.2 Fitz 算法
ˆ
f
Δ =
1
T
2
π
kc
N
1
−
γ
k
∑
1
=
arg
{
z
k
1
+
*
z
k
}
(3-12)
Fitz 算法[3]通过计算 kz 的互相关系数实现，是一个近似的最大似然估计。如式(2-4)所示
的正弦信号频率的最大似然估计由下式给出：
(3-13)
其中 fΔ 是 fΔ 的瞬时值，是通过最大化 fΔ 的最大似然函数得到的。似然函数由周期图得到：
1
=
k
×
arg max
z e
k
=
ˆ
f
Δ
ML
1
T
2
π
c
2
−
j
fT k
2
π
Δ
c
N
∑
L
f
Δ
( )
z
−
j
fT k
2
π
Δ
c
z e
k
2
=
N
∑
k
1
=
由式(3-14)，令互相关系数为 0 得到：
N
N
∑∑
k
1
=
m
1
=
2
z z e π
*
Δ
k m
−
j
fT k m
−
(
c
)
(3-14)
(3-15)
(3-16)
重新整理上式得到：
N
N
∑∑
k
1
=
m
1
=
(
2
k m z z e π−
Δ
*
k m
−
j
)
fT k m
−
(
c
)
=
0
Im
⎧
⎨
⎩
N
1
−
∑
m
1
=
m N m R m e π
fT m
2
Δ
−
−
j
c
(
N
(
)
)
=
0
⎫
⎬
⎭
其中 (
NR m 表示序列 kz 的估计的自相关，定义为：
)
N
1
− ∑
N m
(
)
1
−
≤
≤
i m
1
= +
*
i m
−
m N
R m
N
z z
i
注意到式(3-16)中括号内的部分为估计自相关 (
NR m 的离散傅里叶变换的形式，通过一个
窗函数 (
)
0m = 附近，
相关系数 (
NR m 包含很少的或者根本没有频率偏移信息，这是因为这些值是通过相隔很近
的信号值得到的。另一方面，当 m 接近于 N 时， (
NR m 是一个 kz 自相关的不准确估计，
w m m N m m
进行加权。由加权函数发现，在
−…
N
,1
)
1,2,
),
=
−
=
1
)
)
(
,
(3-17)
- 4 -
因为式(3-17)中求和元素的数量很少。将靠近 m N= 的不可靠自相关值舍弃，并且用一个全
1 的序列替代 (
)w m 之后，得到一个次优的频率偏移估计：
⎫ =
⎬
⎭
R m e π−
fT m
2
Δ
N
∑
Im
⎧
⎨
⎩
(
)
0
1
=
M
m
j
c
由于自相关函数有如下形式：
所以：
当 N 较大时有：
NR m e
=
(
)
j
2
πΔ
fT m
c
+
noise
arg
{
(
E R m
(
N
)
}
)
fT mπ= Δ
2
c
j
−
(
(
Im
fT m
2
Δ
π
)
R m e
N
)
c
≈
≈
sin arg
(
{
arg
{
(
R m
N
}
)
(
R m
N
}
)
2
− Δ
π
2
π
− Δ
fT m
c
fT m
c
于是，式(3-18)当 N 较大时近似为：
{
arg
M
∑
⎡
⎣
m
1
=
对式(3-22)进行代数计算，得到 fΔ 的估计值为：
R m
N
(
}
)
− Δ
fT mπ
2
c
≈
0
⎤
⎦
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(3-18)
(3-19)
(3-20)
(3-21)
(3-22)
)
M
∑
m
1
=
ˆ
f
Δ
ML
≈
3.3 L&R 算法
arg
{
R m
N
(
}
)
T
2
π
c
M
∑
m
1
=
m
=
1
M M
(
π
+
)
1
M
∑
1
=
T
mc
arg
{
R m
N
(
}
)
(3-23)
信道模型如式(2-4)所示，通过寻找式(3-14)给出的似然函数的最大值获得频率偏移的估
计即为该算法。L&R 算法[4]的分析与 Fitz 算法的分析基本相同，不同之处在于对式(3-18)采
用不同的替代形式。
用泰勒级数展开的形式对式(3-18)进行替代，进行计算得到：
R m
N
基于上述假设 (
)
=
mv ，于是：
1
量，
ˆ
f
Δ ≈
1
T
2
π
s
exp
(
j
fmT
2
π
Δ
c
)
M
1
=
m
m
M
∑
∑
m
1
=
v
+
m
(
Im
{
{
1
≈ +
Re
R m
N
}
)
}
)
j m fT
2
Δ
π
c
R m
N
(
(3-24)
+
，其中 mv 是一个噪声分
v
m
M
∑
m
1
=
Im
{
R m
N
(
}
)
≈
M
arg
M
∑
m
1
=
m
Re
{
R m
N
(
}
)
≈
R m
N
(
)
⎫
⎬
⎭
+
)
1
k
M
⎧
∑
⎨
⎩
1
=
(
M M
2
(3-25)
(3-26)
将(3-25)和(3-26)带入式(3-24)中，最终得到 fΔ 的估计为：
- 5 -
3.4 Kay&R 算法
ˆ
f
Δ =
1
+
)
1
T
c
arg
⎧
⎨
⎩
(
π
M
M
∑
m
1
=
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(3-27)
R m
N
(
)
⎫
⎬
⎭
Kay&R 算法[5]通过计算 (
)
z k 的自相关和该自相关值序列的相位增量来实现。将式(3-19)
转化为如下形式：
j
其中 '
φ
m
e
+
1
v
'
m
e
π−
j m fT
2
c
Δ
Δ
e
=
j m fT
2
π
c
R
+
m
。考虑下式：
v
'
m
=
(
j
2
e π
m fT
c
Δ
'
φ
+
m
)
f
Δ <
(
T
1 2 c
)
若
*
{
arg
R R
m
}
m
1
−
， fΔ 的估计表示为：
1
Tπ
2
c
ˆ
f
Δ =
=
fTπ
2
Δ
c
+
'
φ φ
−
'
m
m
1
−
×
arg
{
*
R R
m
m
1
−
}
在平滑噪声的影响之后，可以得到 fΔ 的最终估计为：
{
)
M N M
1
− + −
MN
N
3
+
−
1
×∑
Tπ
2
mc
)(
N m N m
−
M M
6
4
ˆ
f
Δ =
R R
m
arg
w
m
w
m
−
=
3
⎡
⎣
(
(
1
=
1
−
M
m
2
2
*
}
−
)
1
(
(3-28)
(3-29)
(3-30)
(3-31)
(3-32)
)
⎤
⎦
4. Crame-Rao 下界
接收信号为一个样本矢量：
荡器 {
exp
2j
}
ftπΔ 的频率偏移 fΔ 的最大似然估计问题：
=R
[
r r
,
1
2
,...,
r −
N
1
T
]
。由采样信号的观测值开始考虑复数振
(
)
θ
+
j
fkT
2
π
Δ
s
e
=
r
k
k N
(4-1)
， ,k cn 和 ,k sn 是独立高斯噪声采样，
其中 sT 是采样间隔；θ是一个未知相位；
n
k
均值为 0，方差为 2 2σ 。此信号模型与式(2-4)一致，所以，可以使用该 Crame-Rao 下界
（CRLB，Cramer-Rao Lower Bound）[6]作为频偏估计算法性能评判准则。
, 1
≤ ≤
jn
+
n
+
k
n
=
k c
,
k s
,
因此，
其中
(
cos 2
=
fkT
π
Δ
s
r
k i
,
于是，当未知参数矢量α 时，采样矢量 R 的联合概率密度函数（PDF，probability density
+ 。
n
k s
,
+
)
θ
r
k
r
=
k i
,
r
+ ，
k q
,
n
k c
,
k N
jr
, , 1
≤ ≤
+
k q
)
(
fkT
sin 2
θ
=
π
Δ
+
s
(4-2)
function）由下式给出：
f
(
R α
;
)
=
N
exp
1
2
πσ
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
−
⎧
⎨
⎩
1
2
σ
N
1
−
∑
k
=
0
r
k i
,
−
μ
k
2
)
+
(
r
k q
,
ν
−
k
(
⎡
⎢
⎣
2
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
其中，如果 fΔ 和θ均未知，则：
α
[
= Δ
T
]
f θ
,
- 6 -
(4-3)
(4-4)
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=
=
μ
k
ν
k
)
θ
+
)
+
θ
(
cos 2
(
sin 2
fkT
π
Δ
s
fkT
π
Δ
s
(4-5)
(4-6)
在一个估计（或者测量）系统中，有一些参数能够指示利用可用数据（观测值）可以进
行的最优估计是很重要的。均方根（RMS，root mean square）误差就是这样一个重要的参数，
经常被用来作为一个系统准确度的测量标准。Crame-Rao 下界是任何一个以式(2-4)和(4-1)为
信号模型的频率偏移变量估计的理论的下限（也就是，任何估计都不能超过它）。因此，本
文引用 CRLB 作为频偏估计算法性能的评判标准。
无偏估计的 CRLB 是由费舍尔信息矩阵（Fisher information matrix） J 对角线元素的倒
数给出，费舍尔信息矩阵 J 的典型元素由下式给出：
{
E H
{
E H H
α α
j
其中，期望值与采样矢量 R 有关，为：
(4-7)
= −
ijJ
}
}
αα
j
=
i
i
则下界为：
H
∂
α α
∂
i
=
i
log
f
(
)
R α
;
其中， ˆiα是 iα的估计值， iiJ 表示 1−J 的第i 个对角线元素。
i
var
{ }ˆ
Jα ≥
ii
(4-8)
(4-9)
当 (
)
f R α 是由式(4-3)给出时，费舍尔信息矩阵 J 的元素为：
;
J
ij
=
1
−
2 N
∑
2
σ
=
0
k
⎡
⎢
⎢
⎣
k
v
μ μ
∂
∂
k
k
α α α α
∂
∂
j
v
∂
k
∂
∂
∂
+
i
j
i
⎤
⎥
⎥
⎦
(4-10)
式(4-10)中的下标i 和 j 只表示α 中的未知元素。最一般的情况即是α 中的所有元素均未知，
则由式(4-10)得到矩阵 J 为：
其中
于是得到 1−J 如下式所示：
J
=
2
T Q
4
2
2
π
s
T P
2
2
σ π
s
⎡
⎢
⎣
T P
2
π
s
N
⎤
⎥
⎦
P
=
Q
=
N
1
−
2
=∑
k
k
=
0
)
1
N
1
−
=∑
k
(
N N
=
0
k
−
(
N N
2
)(
1 2
6
−
N
−
)
1
3
2
σ
(
T N N
2
2
2
π
s
当相位未知时，频率偏移估计的 CRLB 为：
1
J
=
=
J
J
−
2
1
*
2
⎛
×⎜
⎝
N
T P
2
π
s
−
)
1
−
T P
2
π
−
s
T Q
4
2
2
π
s
⎞
⎟
⎠
var
(
)
ˆ
f
Δ ≥
3
2
σ
(
T N N
2
2
2
π
s
2
)
1
−
- 7 -
(4-11)
(4-12)
(4-13)
(4-14)
(4-15)
http://www.paper.edu.cn
5. 算法改进
考虑到频偏估计的下界近似与观测序列长度的立方成反比，即观测序列的长度越长，观
测结果越精确。
因此，首先使用训练序列（Midamble 码）进行频偏估计，获得一个粗略的频偏估计值，
将这个频偏估计值补偿之后，再使用用户数据和 Midamble 码序列一起进行频偏估计，获得
一个精确的估计值，该值作为粗略的频偏估计值的补充。即：
ˆ
ˆ
f
f
Δ = Δ
mid
+ Δ
ˆ
f
ud
mid
fΔ 为由使用 Midamble 码序列进行估计获得的频偏估计值， ˆ
(5-1)
其中， ˆ
udfΔ 为由使用用户数
据和 Midamble 码序列一起获得的频偏估计值， ˆfΔ 为最终的估计值。图 2-3 给出了 ˆ
fΔ 、
ˆ
udfΔ 和 ˆfΔ 在不同信噪比下的关系，其中两次估计使用的算法均为 Kay 算法，频偏设为 20
KHz。显而易见，使用用户数据使估计值更加精确。图 2-4 给出了频偏估计值的均方根误差
{
}2
⎦ 与信噪比的关系。当信噪比较高时， ˆfΔ 较 ˆ
⎤
fΔ 更为稳定，即此估计算
E
ˆ
f
Δ − Δ
f
mid
mid
⎡
⎣
法更加稳定。
x 104 EstiResult, Midamble: Kay, User Data: Kay, FreqOffset=20KHz
Midamble Only
UserData
Midamble + UserData
FreqOffset
2.5
2
1.5
1
0.5
0
l
e
u
a
v
n
o
i
t
a
m
i
t
s
E
n
a
e
M
-0.5
-30
-25
-20
-15
-10
-5
SNR dB
0
5
10
15
20
图 2-3 估计值的期望,
Midamble 序列使用 Kay 算法，用户数据和 Midamble 序列使用 Kay 算法
（频偏设为 20 KHz）
- 8 -
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