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2009年安徽高考理科数学试题及答案.doc
2009 年安徽高考理科数学试题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3
至 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题
卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规
定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第 I 卷时、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。
3.答第 II 卷时，必须用直径 0.5 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔
迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用 0.5 毫米的黑色墨色签
字笔清楚。必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题
卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P (B)
S 表示底面积，h 表示底面的高
棱柱体积 V Sh
1
3
棱锥体积
Sh
V
第 I 卷 (选择题 共 50 分)
一.选择题：本大题 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1 7
i
2
i
（B）-3
，则乘积 ab 的值是（B）
a bi a b R
（1）i 是虚数单位，若
（A）-15
（D）15
)
( ,
（C）3
1
2
x
3
x
x
（2）若集合
A
x
| 2
x
1| 3 ,
B
0 ,
则 A∩B 是（D）
（A）
x
1
x
1
2
2
或
x
3
(B)
x
2
x
3
(C)
x
x
1
2
2
(D)
x
1
x
1
2
（3）下列曲线中离心率为 6
2
的是（B）
（A）
2
x
2
2
y
4
1
（B）
2
x
4
2
y
2
1
（C）
2
x
4
2
y
6
1
（D）
2
x
4
2
y
10
1
(4)下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是（A）
（A）p: a c ＞b+d ,
q: a ＞b 且 c＞d
的图像不过第二象限
x
a
b
a
(1
0)
q:
q:
q:
( )
f x
2x
x
( )
f x
（B）p:a＞1,b>1，
（C）p: x=1,
0)
（D）p:a＞1,
（5）已知 na 为等差数列， 1a + 3a + 5a =105， 2
a
则使得 nS 达到最大值的 n 是（B）
（A）21
（6）设 a ＜b,函数
（C）19
2
) (
)
x b
的图像可能是（C）
（D） 18
（B）20
x a
log
(1
x
y
(
a
a
) 上为增函数
在 (0,
=99.以 nS 表示 na 的前 n 项和，
a
6
a
4
k 的值是（A） （A）
x
x
3
x
0
3
4
y
4
y
7
3
3 sin
（7）若不等式组
所表示的平面区域被直线
y
kx
分为面积相等的两部分，则
4
3
（8）已知函数 ( )
f x
x
cos
x
(
，
0)
y
( )
f x
y 的两个相邻交
（B）
3
7
（C）
（D）
3
4
4
3
的图像与直线 2
点的距离等于，则 ( )
f x 的单调区间是（C）
[
,
,
k
,
k
k
k
k
k
k
k Z
k Z
k Z
（B）
（A）
（C）[
12
3
5
],
12
],
6
（9）已知函数 ( )
(1,
（A） 2
x
（10）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点
中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（D）
(1))
f 处的切线方程是（A）
y
11
],
12
2
],
3
f x 在 R 上满足
5
12
,
6
x
8
，则曲线
（C） 3
x
（B） y
（D）
（D）
2 (2
( )
f x
( )
f x
k Z
x
在点
[
k
8
x
2
x
1
3
2
)
x
2
y
y
[
f
y
（A）
1
75
（B）
2
75
（C）
3
75
（D）
4
75
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置。
(11）若随机变量 X ～
(
) ，则 (
)
P X
,
2
=________.
解答：
1
2
(12)以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位。已知直线的极坐标方程为
(
，它与曲线
R
)
4
x
y
1 2cos
2 2sin
（为参数）相交
于两点 A 和 B，则|AB|=_______.
解答： 14
(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.
解答：127
（14）给定两个长度为 1 的平面向量OA
和OB
，它们的夹角为120o . 如图
所 示， 点 C 在 以 O 为 圆心 的 圆 弧 上 变动.若
,x y R ,则 x
y 的最大值是=________.
解答：2
OC xOA yOB
,
其 中
（15）对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。
○1 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面；
○2 由顶点 A 作四面体的高，其垂足是 BCD 的三条高线的交点；
○3 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；
○4 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
○5 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
解答：○1 ○4 ○5
三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解
答写在答题卡的指定区域内。
（16）（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，sin(C-A)=1,
sinB=
（I）求 sinA 的值；
1
3
。
(II)设 AC= 6 ，求 ABC 的面积。
（16）本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。
本小题满分 12 分
解：（I）由 sin(
) 1,
知
。
C A
C A
C A
,
2
,0
B
A
.
4
2
3
3
.
sin
sin
A
B
cos
又
,
A B C
所以 2
A B
即 2
A
故
cos 2
A
sin ,1 2sin
B
2
A
,sin
A
,
2
1
3
(II)由（I）得：
所以
S
ABC
1
2
.
cos
A
6
3
BC
sin
A
sin
AC BC
AC
sin
B
1
C
2
又由正弦定理，得：
,
BC
AC
3 2,
AC BC
A
3 2.
（17）（本小题满分 12 分）
某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区．B 肯定是
受 A 感染的。对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感
1
2
1
3
染的概率都是
。同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是
。在这种假定之下，B、C、
D 中直接．．受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量。写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并
求 X 的均值（即数学期望）.
（17）本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布
列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。
体现数学的科学价值。本小题满分 12 分。
解：随机变量 X 的分布列是
1
1
3
2
1
2
3
1
6
X
P
EX 。
3
X 的均值
1
2
附：X 的分布列的一种求法
1
3
1
2
1
6
11
6
共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是
1
6
：
①
②
③
④
⑤
⑥
A－B－C－D
A—B—C
└D
A—B—C
└D
A—B—D
└C
A—C—D
└B
在情形①和②之下，A 直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A 直接感染了两个人；
在情形⑥之下，A 直接感染了三个人。
（18）（本小题满分 13 分）
如图，四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC=2，
BD= 2 ，AE、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE=1，CF=2。
（I）求二面角 B-AF-D 的大小；
（II）求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积。
(18) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位
置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，
考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立
体几何问题的能力。本小题满分 13 分。
解：（I）(综合法)连接 AC、BD 交于菱形的中心 O，过 O 作 OG⊥AF，G 为垂足。
连接 BG、DG。
由 BD⊥AC,BD⊥CF,得：BD⊥平面 ACF，故 BD⊥AF.
于是 AF⊥平面 BGD,所以 BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD 为二面角 B-AF-D 的平面角。
由 FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=
4
,OG=
2
2
.
由 OB⊥OG,OB=OD= 2
2
,得∠BGD=2∠BGO=
2
.
(向量法)以 A 为坐标原点， BD
、 AC
、 AE
方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空
间直角坐标系(如图).于是
B
(
2
2
,1,0),
D
(
2
2
,1,0),
F
(0,2,2).
n
设平面 ABF 的法向量 1
( ,
, )
x y z
n AB
，则由 1
得
n AF
1
0
0
2
y
2
2
x
y
0
。
2
z
0
令 1,
z 得
x
y
1
2
(
n
， 1
2, 1,1)
n
同理，可求得平面 ADF 的法向量 2
( 2, 1,1)
。
n n
2
由 1
0
知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直，
二面角 B-AF-D 的大小等于
。
2
（II）连 EB、EC、ED，设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H，则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD
的公共部分为四棱锥 H-ABCD。
过 H 作 HP⊥平面 ABCD，P 为垂足。
因为 EA⊥平面 ABCD，FC⊥平面 ABCD，，所以平面 ACFE⊥平面 ABCD，
从而
P AC HP AC
,
.
由
HP HP
CF
AE
又因为
S
菱形
ABCD
AP PC
AC AC
1
2
得
1,
HP 。
2
3
AC BD
2,
故四棱锥 H-ABCD 的体积
V
1
3
S
菱形
ABCD
HP
2 2 .
9
（19）（本小题满分 12 分）
a
已知函数
( )
f x
x
2
x
(2 ln ),
x a
，讨论 ( )
f x 的单调性.
0
(19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思
想方法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。
解： ( )
f x 的定义域是(0,+ ),
( ) 1
f x
2
2
x
a
x
2
x
2
.
ax
2
x
设
( )
g x
2
x
ax
,二次方程 ( ) 0
g x 的判别式
2
a
2 8
.
1 当
a
2 8 0,
a
，即 0
0
a
2 2
此时 ( )
f x 在 (0,
) 上是增函数。
时，对一切 0
x 都有 ( ) 0
.
f x
2 当
a
2 8 0,
a
,即 2 2
a
0
时，仅对
x 有 ( ) 0
f x
,对其余的 0
x 都有
2
f x
( ) 0
, 此时 ( )
f x 在 (0,
) 上也是增函数。
3 当
a
2 8 0,
a
，即 2 2
a
0
时，
方程 ( ) 0
g x 有两个不同的实根
x
1
a
2
8
a
2
a
,
x
2
2
8
a
2
,
0
x
1
x
2
.
x
f x
( )
( )
f x
(0,
)x
1
+
1x
0
(
,
x x
1
2
)
_
2x
0
(
x
2
,
)
+
单调递增↑
极大 单调递减↓
极小 单调递增↑
此时 ( )
f x 在
(0,
2 8
a
a
2
)
上单调递增, 在
a
(
2
8
a
,
a
2
2
8
a
2
)
是上单调递减,
2 8
在
(
a
a
2
,
上单调递增.
)
（20）（本小题满分 13 分）
(
P x y 在椭圆
点 0
)
,
0
l
1
:
x
0
2
a
x
2l 与直线
为.
2
2
x
a
y
0
2
b
2
2
y
b
1(
a
x
上， 0
0)
b
a
cos
,
y
0
b
sin ,0
直线
.
2
y
1
垂直，O 为坐标原点，直线 OP 的倾斜角为，直线 2l 的倾斜角
（I）证明: 点 P 是椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
1
与直线 1l 的唯一交点；
（II）证明: tan , tan , tan
构成等比数列。
（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数
列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。
x
解：（I）（方法一）由 0
2
a
x
y
0
2
b
y
得
1
y
2
b
2
a y
0
2
(
a
x x
0
),
代入椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
1
,
得
1(
a
2
2
2
2
b x
0
4
a y
0
2
)
x
2
2
b x
0
2
a y
0
x
(
2
2
b
y
0
1) 0
.
x
将 0
y
0
a
b
cos
sin
代入上式,得 2
x
2 cos
a
x a
2
2
cos
从而
0,
x
cos
.
a
因此,方程组
2
2
x
a
x
0
2
a
y
b
x
2
2
y
0
2
b
1
y
1
有唯一解
x
y
x
0
y
0
,即直线 1l 与椭圆有唯一交点 P.
(方法二)显然 P 是椭圆与 1l 的交点，若 Q
( cos
a
b
1
, sin
1
),0
1
2
是椭圆与 1l 的交点，
代入 1l 的方程
x
cos
a
sin
b
y
，得
1
cos
1
cos
sin sin
1
1,
即
cos(
1
) 1,
,
1
故 P 与 Q 重合。
（方法三）在第一象限内，由
2
2
x
a
2
2
y
b
可得
1
y
b
a
2
a
2
x
,
y
0
b
a
2
a
2
x
0
,
椭圆在点 P 处的切线斜率
k
(
y x
)
0
bx
0
2
a a
2
x
0
2
b x
0
2
a y
0
,
切线方程为
y
2
b x
0
2
a y
0
(
x
x
0
)
x x
即 0
2
a
y
,
0
y y
0
2
b
。
1
因此， 1l 就是椭圆在点 P 处的切线。
根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线 1l 的唯一交点。
（II）
tan
0
y
x
0
b
a
tan ,
1l 的斜率为
2
2
x b
0
y a
0
,
2l 的斜率为
tan
2
2
y a
0
x b
0
a
b
tan ,
由此得
tan tan
tan
2
0,
tan , tan , tan
构成等比数列。
（21）（本小题满分 13 分）
首项为正数的数列 na 满足
a
n
1
2
a
n
3),
n N
.
1 (
4
n
（I）证明：若 1a 为奇数，则对一切 2,
a
都是奇数；
n
n
a
a
，求 1a 的取值范围。
（II）若对一切 n N 都有 1n
（21）本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、
运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分
13 分。
解：（I）已知 1a 是奇数，假设
1
是奇数，其中 m 为正整数，
m
ka
2
则由递推关系得
a
k
1
a
k
3
2
4
m m
(
1) 1
是奇数。
根据数学归纳法，对任何 n N ， na 都是奇数。
（II）（方法一）由 1
n
a
a
n
1 (
a
4
n
1)(
a
n
3)
知， 1n
a
当且仅当
a
n
na 或
1
na 。
3
另一方面，若 0
ka
1,
则
0
ka
1
1 3
4
1
；若
ka ，则
3
ka
1
2
3
3
4
3.
根据数学归纳法，
0
a
1
1,
0
a
n
1,
;
n N a
1
n N
3,
3
a
n
.
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