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矩阵论题型总结/研究生.docx

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.49M 资料格式：docx 举报 版权申诉
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    Chap1 线性空间与线性变换
    Chap2 范数
    Chap3 矩阵分析
    Chap4 矩阵分解
    Chap6 广义逆矩阵
    矩阵论题型总结 注意事项： 求逆后要做简单验算；矩阵分解一定要乘回去验算； 看到矩阵要对它的秩有一个基本认识，行看不出来看列； 带分数的矩阵可以提分母到外面； 证明题要考虑 0 和零矩阵的情况； 注意是 R 还是 C，决定了是 T 还是 H； 基（空间） 基础解系（方程组） 极大无关组（向量组） Chap1 线性空间与线性变换 1. 基变换与坐标变换 法一：y=xC (C 为过渡矩阵) 法二：中介基 x=eA y=eB C=A-1B 基下矩阵的求法：Tx=xA + 已知的线性变换关系 （x 是一组基） 2. 求基 法一：性质明确，维数低的情况下可以直接列出一组完备基 法二：已知子空间函数关系，可通过解方程得到最简相关关系，直接写出基 V1+V2 的基：两个空间中所有线性无关的向量的集合 验证 dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)+dim(V1 交 V2) 求得的基必须是线性无关的！记得要验证~ 3. 证明是子空间  满足对加法和数乘的封闭性  子空间维数不大于原空间维数 4. 计算线性变换的特征值和特征向量 Key：T 的特征值与特征向量与 A 等价 但是，T->A 要选标准基 e；否则还要另外求坐标 注意：矩阵 A 的基础解系是一个向量，如（1 0 1），T 的特征向量是方程，如 y1=x1+x3 5. 求相似的三角矩阵 任意 n 阶矩阵都与三角矩阵相似 B=P-1AP Step1 |λI-A|=0 求特征值->特征向量； Step2 若有重根，先取不相关向量补齐P1，再对非三角矩阵部分（低维）单独做同样处理P2 （左上角补成单位矩阵的样子） Step3 P=P1P2 6. 矩阵 A 的特征多项式求解 Key：A 是其特征多项式的矩阵根 Step1 矩阵多项式f(A) => 特征值多项式f(λ) Step2 特征值多项式f(λ) = (特征多项式*q(λ)) + Step3 将特征值分别代入上式，均可使第一项为0，得到两个方程 b0 + λ*b1 + λ*λ*b2
    还可以两边求微分，再找使得第一项为0的λ值，得到第三个方程 =>解出b0 b1 b2 Step4 f(A)= b0 + Ab1 + A2b2 注意; f(A)次数较低的情况下，Step2,3 可以使用长除法直接计算来代替。 7. 求最小多项式 m(λ) 首1，次数最小，以A为根，唯一 是其特征多项式的因式，与特征多项式零点相同，不计重数 m(λ) = 特征多项式 / 特征矩阵λI-A 的全体 n-1 阶子式的最大公因式 8. 求 Jordan 标准型/求初等因子 Step1 计算不变因子 法一：初等变换将λI-A 变为对角标准型（行列均可，或通过行变换先调换再加减化 为上三角后，直接保留对角元素） 法二：di = Di/Di-1 若 i-1 阶有子式与 Di 互质，则 Di-1=1(Di 为 i 阶子式的最大公因式) Step2 将不变因子分解为不可约因式的乘积（对角线上同一位置的相同因式不分开，其余全 分开），求特征矩阵λI-A 的初等因子组 Step3 写出每个初等因子组对应的 Jordan 块；合并 Jordan 块构成 Jordan 标准型 计算 P（P-1AP=J） 由广义特征向量组成：即一部分是 A 的不相关的特征向量（齐次方程组的解），加不唯一的 一组非齐次方程组的解（=-xi-1） 9. 正交单位化一个向量组 Step1 正交化：投影在前面每一个正交化后的向量上（也就是内积求值乘该方向的单位向量） -> 原向量减去投影 Step2 单位化 10. 证明欧式空间（实内积空间） 交换律、分配律、齐次性、非负性 11. 证明正交变换 先证明是线性变换（齐次性），再证正交变换（内积不变） 12. 其他非典型习题 P75 用 Jordan 标准型理论解微分方程组->化矩阵为 Jordan 标准型的实质是选择线性空间的 基或者坐标系，使得在新基下问题的数学形式最为简单。 P106 1（2）写出 Cauchy 不等式 |(x,y)|≤|x||y| （3）度量矩阵的定义 (x,y)=xAyT P106 6 新的内积定义方式 P106 10 具体化 A，坐标与基 Chap2 范数
    1. 证明是范数（实值函数） 向量范数：非负性、齐次性、三角不等式||x+y||≤||x||+||y|| 矩阵范数：非负性、齐次性、三角不等式、相容性||AB||≤||A||·||B|| 注意：考虑 0；注意利用已知条件；这类题都很简单，不要误入歧途；k 作用在哪里看清楚； 给范数设定一个符号。 2. 求矩阵范数（列和范数、行和范数、谱范数） 1 列模和最大值、无穷 行模和最大值、2 AHA 最大特征值的二次根式 AHA 与 AAH 的非零特征值相同，对 A 是实向量可极大减小运算量； 此处是转置共轭!! 3. 其他非典型习题 P132 4 相容性 P132 5 从属向量范数 书 P133 证明 Chap3 矩阵分析 1. 矩阵函数值的求法 法一、待定系数法（见 1.6）3.5 2 题 阶数比最小多项式少一 法二、数项级数求和法 3.5 3 题 法三、对角型法: 矩阵幂级数求和问题转化为变换矩阵的问题 Step1 求特征值、特征向量->构造 P 矩阵 Step2 P-1AP 化 A 为对角矩阵 Step3 f(A)=P[f(λi)]P-1 法四、Jordan 标准型法 Step1 求 Jordan 标准型（见 1.8），若已经是标准型，则 P=I（法五） Step2 求 f(Ji)，拼在一起（公式 P159） 以上是先把纯量函数 f(z)展开为幂级数的形式，然后用矩阵 A 替换纯量 z 法五、如果已经是 Jordan 标准型，直接定义矩阵函数写出 f(Ji) 2. 矩阵幂级数公式证明 从 Taylor 展开入手 注意 e 指数和 sin cos 转换 3. 求函数对矩阵的导数；函数矩阵对矩阵的导数 注意：小心展开，注意转置！ 默认向量是列向量，弄清楚行、列； 复合函数求导遵循链式法则，注意转置； 结果看看可不可以用更简单的方式来表达。 4. 求解一阶线性常系数齐次微分方程组（矩阵方程的应用） Step1 求矩阵函数 etA，通过特征多项式决定用什么方法来做 Step2 列出基础解系
    Step3 根据初始值求解 非齐次->没看 P176 5. 其他非典型习题 P170 5 A-1 的函数是从 I=A A-1 Chap4 矩阵分解 1. 三角分解 -> LU 或 LDU 分解 本质：若干个倍加初等行变换的乘积，消元思想 可分解的充要条件：A 的顺序主子式（1*1 2*2 行列式）不为零（即非奇异） Step1 构造 L1，将第一列化为[1 0 0 0 …]的矩阵，计算 L1 -1·A 得到 A(1) L1 只需计算 ai1/a11,L1 L1 -1·A 不止第一列会改变，后面的也要认真算； -1 只需要把 L1 中非对角元素变号即可，计算 L1 -1A 时可验证正误； Step2 对 A(1)构造 L2 重复上述过程，注意在左上角用单位矩阵补齐，直到把 A 化为上三角矩 阵。 Step3 求 L=L1L2… A 的 LDU 分解为 A= L1L2…A 若不满足 A 前 n-1 阶的顺序主子式不为零，则需要先给 A 左乘置换矩阵。 三角分解 -> Crout 和 Doolittle 分解 Crout：LD 合并 Doolittle：DU 合并 只需要在 LDU 分解的基础上提出主对角元素（每行提主元），乘到相应矩阵里即可。 Crout 和 Doolittle 分解-> Cholesky 分解 实对称正定矩阵的平方根分解 A=GGT 2. QR 分解（正交 Q·三角 R 分解） 法一、Schmidt 正交化法 将 A 的列向量 ai 施密特正交化得到 bi 并单位化 qi，qi 向量组构成 Q；R=|bi|构成的对角矩 阵·正交化过程中产生的上三角矩阵（注意要取反） 注意:此处是相乘的，不是直接写到一起 法二、Givens 变换 原理：非奇异矩阵 A 可通过左连乘初等旋转矩阵化为 R Step1 每一列每个元素都需要做 Givens 变换，T1=T13 T12，注意相乘顺序，T 矩阵作用于整个 A，算出 n-1 维的 A(1)；A(1)用来做第二列的运算，第一列不变（T2 左上角的单位矩阵），以此 类推求出 R Step2 T=T2T1，注意左上角补单位矩阵 Step3 Q=T-1=TT 法三、Householder 变换 原理：非奇异矩阵 A 可通过左连乘 Householder 矩阵化为 R Step1 对 A 的第一列求 u1，求 H1=I-2uuT 消去第一列；以此类推求出 R Step2 H=H2H1，注意左上角补单位矩阵 Step3 Q=H-1=HT 法二法三中的 G、H 是正交的，通过旋转、对称将 A 变成单位向量后，G-1、H-1 构成 Q
    用 Givens 或 Householder 求 Hessenberg 三对角矩阵，主要注意 Hess 矩阵的形式（哪里需 要消），H=QAQT 3. 求满秩分解 A=FG 法一、初等行变换法 对矩阵[A|I]进行初等行变换，当 A 所在的位置成为行阶梯型矩阵 B 时，I 所在位置就是进 行初等行变换对应的初等矩阵 P；A=P-1 的前 r 列·B 的前 r 行 法二、Hermite 标准型法 A 的 Hermite 标准型为 B，F 可取 A 的 j1 j2 …jr 列构成的 m·r 矩阵，G 为 B 的前 r 行构成 的 r·n 矩阵 4. 求奇异值分解 AHA 奇异值的个数为 A 的列数，非零奇异值的个数为 rankA。奇异值为特征值的平方根。 Step1 B=AHA，求 B 的特征值和特征向量写出Σr·r，将特征向量归一化组成正交矩阵 V Step2 U1=AV1Σ-1 补齐不相关的特征向量 U2，U=[U1 U2](V1 是不为零的特征值对应的特征向量组 Step3 A=UΣVT 成的) 注意：U 的列向量是 AAH 的特征向量，V 的列向量是 AHA 的特征向量,但不能各自单独求。 5. 其他非典型习题 P195 2.3. 习题 4.3 2、3、4 证明题 习题 4.4 1、2 Chap6 广义逆矩阵 1. 证明是投影矩阵：P2=P 2. 证明投影算子是线性算子：P(ax+by)=aP(x)+bP(y) 3. 计算投影和正交投影 4. 验证广义逆 A+：由定义（4 条）直接验证 5. 其他非典型证明题 P296 3 看到直和就有分解的想法 P296 6 特征值一定是转化到λ上计算的 P307 9 再看一下
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