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2000年天津高考文科数学真题及答案.doc
2000 年天津高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）
1．（4 分）设集合 { |
x x Z
且 10
A
x
1}
， { |
x x Z
，且|
B
x ，则 A B 中的元
| 5}
素个数是 (
)
A．11
B．10
C．16
D．15
2．（4 分）设 a 、 b
、 c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 (
)
)
a b c
)
c a b
(
① (
0
；
a
②|
|
|
b
|
|
a b
|
；
)
b c a
③ (
(3
a
④
(
不与 c 垂直；
)
a c b
2 ) (3
a
b
2 ) 9 |
b
a
2
|
4 |
b
2
|
．
其中的真命题是 (
)
A．②④
B．③④
C．②③
D．①②
3．（4 分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 ， 3 ， 6 ，这个长方体对角线
的长是 (
)
A． 2 3
B． 3 2
C．6
D． 6
4．（4 分）已知 sin
sin
，那么下列命题成立的是 (
)
A．若、 是第一象限角，则 cos
cos
B．若、 是第二象限角，则 tan
tan
C．若、 是第三象限角，则 cos
cos
D．若、 是第四象限角，则 tan
tan
5．（4 分）函数
y
x
cos
x
的部分图象是 (
)
A．
B．
C．
D．
6．（4 分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元
的部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计
算：
全月应纳税所得额
不超过 500 元的部分
超过 500 元至 2000 元的部分
超过 2000 元至 5000 元的部分
税率
5%
10%
15%
某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于 (
)
A． 800 ~ 900 元
B． 900 ~ 1200 元
C．1200 ~ 1500 元 D．1500 ~ 2800 元
7．（4 分）若
a
b ， P
1
lga lgb
， 1 (
2
Q
lga lgb
)
，
R lg
a b
2
，则 (
)
A． R P Q
B． P Q R
C． Q P R
D． P R Q
8．（4 分）已知两条直线 1 :l
y
x ，2 :
l
ax
y ，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在 (0,
0
12
)
内变动时， a 的取值范围是 (
B． 3(
3
A． (0,1)
)
， 3)
C． 3(
3
，1)
(1 ， 3) D． (1, 3)
9．（4 分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 (
)
A． 1 2
2
B． 1 4
4
C． 1 2
D． 1 4
2
10．（4 分）过原点的直线与圆 2
x
2
y
4
x
相切，若切点在第三象限，则该直线的方
3 0
程是 (
)
A．
y
3
x
B．
y
3
x
C．
y
3
3
x
D．
y
3
3
x
y
11．（4 分）过抛物线
2(
ax a
FQ 的长分别是 p 、 q ，则 1
p
等于 (
1
q
)
的焦点 F 作一直线交抛物线于 P 、Q 两点，若线段 PF 与
0)
A． 2a
B． 1
2a
C． 4a
D． 4
a
12．（4 分）二项式
( 2
3
50
3 )x
的展开式中系数为有理数的项共有 (
)
A．6 项
B．7 项
C．8 项
D．9 项
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．（5 分）从含有 500 个个体的总体中一次性抽取 25 个个体，假定其中每个个体被抽到的
概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是
．
14．（5 分）椭圆
2
y
4
横坐标的取值范围是
2
x
9
1
的焦点 1F 、 2F ，点 P 为其上的动点，当 1
F PF
2
为钝角时，点 P
．
15．（5 分）设{ }na 是首项为 1 的正项数列，且
(
n
1)
2
a
1
n
2
na
n
a a
1
n
n
0(
n
1
，2，3， ) ，
则它的通项公式是 na
．
16．（5 分）如图， E 、 F 分别是正方体的面
ADD A 、面
1 1
BCC B 的中心，则四边形
1 1
BFD E
1
在该正方体的面上的射影可能是
．（要求：把可能的图的序号都填上）
三、解答题（共 7 小题，满分 82 分）
17．（10 分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判
断题 4 个．甲、乙二人依次各抽一题．
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
18．（12 分）如图，直三棱柱
ABC A B C
1 1
1
，底面 ABC
中，
CA CB
，
1
BCA
90
，
棱 1
AA ， M 、 N 分别是 1 1A B 、 1A A 的中点．
2
（1）求 BN
的长；
（2）求
cos(
BA CB
1
1
)
的值；
（3）求证 1
A B C M
1
．
19 ．（ 12 分 ） 如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体
C CB
1
C CD
1
BCD
，
（1）证明： 1C C BD ；
ABCD A B C D
1
1 1
1
的 底 面 ABCD 上 菱 形 ， 且
（2）当
CD
CC
1
的值为多少时，能使 1A C 平面 1C BD ？请给出证明．
20．（12 分）设{ }na 为等差数列， nS 为数列{ }na 的前 n 项和，已知 7
S ， 15
S ， nT 为
75
7
数列 nS
n
的前 n 项和，求 nT ．
21．（12 分）设函数
( )
f x
2
x
（1）解不等式 ( ) 1
f x ；
，其中 0
1
a ，
ax
（2）证明：当 1a
时，函数 ( )
f x 在区间[0 ， ) 上是单调函数．
22．（12 分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一
边比另一边长 0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
23．（12 分）如图，已知梯形 ABCD 中|
AB
| 2 |
CD
|
，点 E 分有向线段 AC 所成的比为 8
11
，
双曲线过 C 、 D 、 E
三点，且以 A 、 B 为焦点．求双曲线的离心率．
2000 年天津市高考数学试卷（文）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）
1．（4 分）设集合 { |
x x Z
且 10
A
x
1}
， { |
x x Z
，且|
B
x ，则 A B 中的元
| 5}
素个数是 (
)
A．11
B．10
C．16
D．15
【解答】解：由集合 A 中的条件可得 A 中的元素有： 10 ， 9 ， 8 ， ， 1 共 10 个；
集合 B 中的不等式|
x 解得 5
| 5
且 x Z ，所以 B 中的元素有： 5 ， 4 ， 3 ， 2 ，
5x
1 ，0，1，2，3，4，5 共 11 个
所以 A B 中的元素有： 10 ， 9 ， 8 ， ， 1 ，0，1，2，3，4，5 共 16 个
故选： C ．
2．（4 分）设 a 、 b
、 c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 (
)
)
a b c
)
c a b
(
① (
0
；
a
②|
|
|
b
|
|
a b
|
；
)
b c a
③ (
(3
a
④
(
不与 c 垂直；
)
a c b
2 ) (3
a
b
2 ) 9 |
b
a
2
|
4 |
b
2
|
．
其中的真命题是 (
)
A．②④
B．③④
是不共线的向量，因此 (
【解答】解：由于 ,b c
不共线，故 ,
a b a b
) ]
)
c a b c
b c a
)(
(
b c a c
c a b c
由于 ,a b
由于[(
,(
)(
)
(
)
(
构成三角形，因此②正确；
C．②③
)a b c
不一定等于 (
D．①②
，故①错误；
)
c a b
) 0
，故③中两向量垂直，故③错误；
根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选 A ．
3．（4 分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 ， 3 ， 6 ，这个长方体对角线
的长是 (
)
A． 2 3
B． 3 2
C．6
D． 6
【解答】解：设长方体三度为 x ， y ， z ，
则
yz
2,
zx
3,
xy
．
6
三式相乘得 2
2 2
x y z
6,
xyz
6,
x
3,
y
2,
z
1,
2
x
2
y
2
z
3 2 1
．
6
故选： D ．
4．（4 分）已知 sin
sin
，那么下列命题成立的是 (
)
A．若、 是第一象限角，则 cos
cos
B．若、 是第二象限角，则 tan
tan
C．若、 是第三象限角，则 cos
cos
D．若、 是第四象限角，则 tan
tan
【解答】解：若、 同属于第一象限，则 0
， cos
2
cos
；故 A 错．
第二象限，则
2
， tan
tan
；故 B 错．
第三象限，则
3
2
， cos
cos
；故 C 错．
第四象限，则 3
2
，
2
tan
tan
．（均假定 0 ， 2 ． ) 故 D 正确．
故选： D ．
5．（4 分）函数
y
x
cos
x
的部分图象是 (
)
A．
C．
B．
D．
【解答】解：设
y
( )
f x
，则 (
f
x
)
x
cos
x
( )
f x
， ( )
f x 为奇函数；
时 ( ) 0
f x ，此时图象应在 x 轴的下方
x
又 0
2
故选： D ．
6．（4 分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元
的部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计
算：
全月应纳税所得额
不超过 500 元的部分
超过 500 元至 2000 元的部分
超过 2000 元至 5000 元的部分
税率
5%
10%
15%
某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于 (
)
A． 800 ~ 900 元
B． 900 ~ 1200 元
C．1200 ~ 1500 元 D．1500 ~ 2800 元
【解答】解：设收入为 S 元，税款为 M 元，则
当 800
S 时，
0M ；
当 [800
S
，1300] 时， 500 5% 25
M
；
当 (1300
S
， 2800] 时， 25 1500 10% 175
M
．
题设
M
26.78
，
故 1300 (26.78 25) 10% 1317.8
S
．
故选： C ．
7．（4 分）若
a
b ， P
1
lga lgb
， 1 (
2
Q
lga lgb
)
，
R lg
a b
2
，则 (
)
A． R P Q
B． P Q R
C． Q P R
D． P R Q
【解答】解：由平均不等式知
ab
a b
2
,
lg ab
lg
(
a b
2
),
Q R
．
同理
lga lgb
lga lgb
2
,
P Q
．
故选： B ．
8．（4 分）已知两条直线 1 :l
y
x ，2 :
l
ax
y ，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在 (0,
0
12
)
内变动时， a 的取值范围是 (
B． 3(
3
A． (0,1)
)
， 3)
C． 3(
3
，1)
(1 ， 3) D． (1, 3)
【解答】解：直线 1 :l
y
x 的倾斜角为
4
，令直线 2 :
l
ax
y 的倾斜角为，则有 tan
0
a
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