2021年天津高考数学真题及答案.doc-资料库

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2021 年天津高考数学真题及答案第 I 卷注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 2，本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分参考公式： •如果事件 A、B互斥，那么 ( P A B   ) ( P A P B ．  ) ( ) •如果事件 A、B相互独立，那么 ( P AB )  ( ( P A P B ) ) ． •球的体积公式 V •圆锥的体积公式 3 ，其中 R表示球的半径． 1 3  R 1 3 V Sh ，其中 S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合    A  1,0,1 B ，    1,3,5 , C    0,2,4 ，则 ( A B    （ C ) ） B. {0,1,3,5} C. {0,1,2,4} D. A.  0 {0,2,3,4} 【参考答案】C 2. 已知 a  R ，则“ 6 a  ”是“ 2 a  ”的（ 36 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件【参考答案】A 3. 函数 y  ln | | x 2 2 x  的图像大致为（） D. 既不允分也不必要条件

A. C. B. D. 【参考答案】B 4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部，统计其评分分数据，将所得 400 个评分数据分为8 组： 66,70 、  70,74 、 、  94,98 ，并整理得到如下的费率分布直  方图，则评分在区间 82,86 内的影视作品数量是（  ） A. 20 B. 40 C. 64 D. 80 【参考答案】D 5. 设 a  log 0.3, 2 b  log 0.4, 1 2 c  0.3 0.4 ，则 a，b，c的大小关系为（）

A. a b c   B. c a b   C. b   c a D. a   c b 【参考答案】D 6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为圆锥的高之比为1:3 ，则这两个圆锥的体积之和为（） 32  3 ，两个 A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 【参考答案】B 7. 若 2 a 5 b  ，则 10 A. 1 1 a   （ 1 b B. lg 7 ） C. 1 D. log 10 7 【参考答案】C 8. 已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的右焦点与抛物线 2 y 0)  2 ( px p  的焦点重 0) 合，抛物线的准线交双曲线于 A，B两点，交双曲线的渐近线于 C、D两点，若 CD  2 | AB | ．则双曲线的离心率为（） A. 2 B. 3 9. 设 a R ，函数 ( ) f x     ). cos(2 x a   2 2( x a a x   2 1)  C. 2 x x   a a 2  5, D. 3 ，若 ( ) f x 在区间 (0, ) 内恰有 6 个零点，则 a的取值范围是（） ,2        7 4 7  4  ,2     5 11 , 2 4 11   4  ,3       A. C. 2, 2,       9 4 9 4               5 11 , 2 4 11 4 ,3       【参考答案】A 注意事项    B. D. 第 II 卷 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共 11 小题，共 105 分．二、填空题，本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10. i 是虚数单位，复数 9 2i  2 i   _____________．【参考答案】 4 i 【解】 9 2i  2 i     9 2i 2 i     2 i 2 i      20 5i  5 4 i   . 的展开式中， 6x 的系数是__________． 11. 在 3 2x    6 1   x  【参考答案】160 【解】 3 2x    6 1   x  的展开式的通项为 rT 1   C r 6  r  2 x 63  r    1 x    6 r   2 C x  r 6 18 4  r ，令18 4 r  ，解得 3 r  ， 6 所以 6x 的系数是 3 2 C  3 6 160 . 12. 若斜率为 3 的直线与 y 轴交于点 A ，与圆 2 x  y  2 1  相切于点 B ，则 1 AB  ____________．【参考答案】 3 【解】设直线 AB 的方程为 y  3  ，则点  x b 0,A b ，由于直线 AB 与圆 2 x  y  2 1  相切，且圆心为  1 0,1C ，半径为1，则 1 b  2  ，解得 1 b   或 3b  ，所以 1 AC  ， 2 因为 BC  ，故 1 AB  2 AC  BC 2  3 . 13. 若 0 , b  a  ，则 0 1 a  a 2 b  的最小值为____________． b 【参考答案】 2 2

【解】 0 , b  a  ， 0   1 a a 2 b   b 2 1 a  b     b 2 b 2 2 b b   2 2 ， a 2 b 2 b 当且仅当所以 1 a  1 a a 2 b b  且  ，即 a 2 b b  的最小值为 2 2 . a b  2 时等号成立， 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 5 6 和 1 5 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为______________．【参考答案】 ①. 2 3 ②. 20 27 【解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为则在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为   ； 2 3 5 6 C     2 3 4 5 2 3 2      1 3 3    2 3     20 27 . 15. 在边长为 1 的等边三角形 ABC中，D为线段 BC上的动点， DE AB 且交 AB于点 E． //DF AB 且交 AC于点 F,则| 2   BE DF | 的值为____________； ( 小值为____________．【参考答案】 ①. 1 ②. 11 20    DE DF DA  )  的最【解】设 BE x ， x    10, 2    ， ABC  为边长为 1 的等边三角形， DE AB ，  BDE  30 ,  BD  2 , x DE  3 , x DC   1 2 x ，     ( 为边长为1 2x 的等边三角形， DE DF ， //DF AB ， DFC  BE 4   ) 2 2 2   4 (2    BE DF DF   BE DF   | 2 BE DF     DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA | 1        ) (  ， 4        )   2 x  ( )  2 4 (1 2 ) cos0 x   x    (1 2 ) x 2  1 ，

 ( 3 ) x 2   (1 2 ) x (1   x ) 5  x 2  3 x 1 5   所以当 x  时， ( 3 10    DE DF DA  )  的最小值为  2  3 10    11 20 ， x   11 20 . 三、解答题，本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 16. 在 ABC  ，角 ,A B C 所对的边分别为 , , ,a b c ，已知 sin :sin :sin A B C  2 :1: 2 ， b  ． 2 （I）求 a的值；（II）求 cosC 的值；  （III）求sin 2   C    6  的值．【参考答案】（I） 2 2 ；（II）（III） 3 21 1  16 【解】（I）因为sin :sin :sin A B C  2 :1: 2 ，由正弦定理可得 : a b c  : 2:1: 2 ， b  2 ，   a 2 2, c  ； 2 （II）由余弦定理可得 cos C  2 a 2 c 2 b   2 ab  8 2 4   2 2 2   3 4  2 ；（III）  cos C  3 4 ，  sin C  1 cos  2 C  7 4 ，  sin 2 C  2sin cos C C 2   7 3 4 4   3 7 8 ， cos 2 C  2cos 2 C 1 2    9 16 1   ， 1 8

 所以sin 2 C      6   sin 2 cos C  6  cos 2 sin C  6  3 7 8  3 1 1 2 8 2    3 21 1  16 . 17. 如图，在棱长为 2 的正方体的中点． ABCD A B C D 1 1 1  1 中，E为棱 BC的中点，F为棱 CD （I）求证： 1 D F 平面 1 / / A EC ； 1 （II）求直线 1AC 与平面 1 A EC 所成角的正弦值． 1 （III）求二面角 A A C E  的正弦值．  1 1 【参考答案】（I）证明见解析；（II） 3 9 ；（III） 1 3 . 【解】（I）以 A 为原点， AB AD AA 分别为 , , , x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， , 1 则  A 0,0,0  ,  1 0,0,2 A  B  , 2,0,0  C ,  2,2,0  , D  0,2,0   1 2,2,2 C  , ,  1 0,2,2 D  ，因为 E为棱 BC的中点，F为棱 CD的中点，所以  E 2,1,0  ，  F 1,2,0  ，  D F  1 所以  1,0, 2   ,  AC  1 1 1 则设平面 1 A EC 的一个法向量为     m A C   1 1     A E m     1   m D F  因为 1 2 x  1 2 x  1 12 y y  1 2 2 0   0  2 z 1   A E  1 ,   2,2,0  , m x y z 1   , 1 1  ，  2,1, 2   , ，令 1 x  ，则 2  m    2, 2,1  ， 0  D F   m ，，所以 1 因为 1D F  平面 1 A EC ，所以 1 D F 平面 1 / / A EC ； 1 1

（II）由（1）得，  AC  1  2,2,2  ，设直线 1AC 与平面 1 A EC 所成角为， 1 则 sin   cos  , m  A C 1   m A   m  C 1   AC 1    2 3 2 3   3 9 ；（III）由正方体的特征可得，平面 1 1 AAC 的一个法向量为  DB   2, 2,0   ， cos 则   DB m ,    DB m   DB m    8 3 2 2   2 2 3 ，所以二面角 A A C E  的正弦值为  1 1 1 cos  2   DB m ,  1 3 .   的右焦点为 F ，上顶点为 B ，离心率为 2 5 b 5 0  ， 18. 已知椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1  a 且 BF  ． 5 （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点 M ，与 y 轴的正半轴交于点 N ，过 N 与 BF 垂直的直线交 x 轴于点 P ．若 //MP BF ，求直线l 的方程．【参考答案】（1） 2 x 5 F c 、  【解】（1）易知点  y ,0 1  2  ；（2） x y  6 0  . 0,B b ，故 BF  2 c  2 b   ， a 5

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