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2013内蒙古考研数学二真题及答案.doc
2013 内蒙古考研数学二真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
x
x
1
sin ( )
x
（1）设 cos
（A）比 x 高阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价的无穷小
2
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价的无穷小
，其中 ( )
x
，则当
x 时， ( )x 是（
0
）
（2）设函数
y
( )
f x
由方程 cos(
xy
)
ln
y
确定，则
x
1
lim
n
n f
(
2
n
) 1
（
）
（A） 2
（3）设函数
（B）1
sin ,
x
2,
( )=
f x
（C） 1
0
x
x
2
（D） 2
，
( )
F x
x
0
f
( )
t dt
，则（
）
（A） x 是函数 ( )F x 的跳跃间断点
（B） x 是函数 ( )F x 的可去间断点
（C） ( )F x 在 x 处连续但不可导
（D） ( )F x 在 x 处可导
(
x
1
1
1)
1
1
ln
x
x
2
（B）
（4）设函数
( )=
f x
（A）
2
y
x
z
（5）设
(
f xy
)
，其中函数 f 可微，则
（A） 2
yf xy
(
)
（B） 2
（ 6 ） 设 kD 是 圆 域
(
yf xy
)
( ,
x y
D
（C）
, 1
x
e
,
x
e
，若反常积分
1
( )
f x dx
收敛，则（
）
（C） 2
0
（D） 0
2
（
）
)
（D）
2 (
f xy
x
)
z
y
x z
y x
2 (
f xy
x
1
y
2
2
) |
x
在 第 k 象 限 的 部 分 ， 记
(
y
(
)
x dxdy k
1,2,3,4)
，则（
）
I
k
D
k
（A） 1
I
0
（B） 2
I
0
（C） 3
I
0
（D） 4
I
0
（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若
AB C 则 可逆，则
, B
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
（8）矩阵
a
1
1
a b a
1
1
a
与
2 0 0
0 b 0
0 0 0
相似的充分必要条件为
（A） a
0,b
2
（B）
a
,0
b
为任意常数
（C）
a
b
,2
0
（D）
a
,2
b
为任意常数
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9)
lim(2
x
x
)
1
) x
ln(1
x
．
1x
1
(10) 设 函 数
( )
f x
dx
dy
0y
t
e dt
， 则
y
( )
f x
的 反 函 数
x
1( )
y
f
在
y 处 的 导 数
0
．
(11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为 cos3 (
r
6
，则 L 所围成的平面图形的面
)
6
积为
．
(12)曲线
x
y
arctan
t
ln 1
2
t
上对应于 1t 的点处的法线方程为
．
(13)已知
y
1
3
x
e
xe
2
x
，
y
2
x
e
xe
2
x
，
y
3
xe
2
x
是某二阶常系数非齐次线性微分方程
的 3 个解，该方程满足条件
xy
0
0
xy
0
的解为 y
1
．
（14）设
A (a )
ij
是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， ijA 为 ija 的代数余子式，若
a A 0(i, j 1,2,3),
ij
ij
则
A
____
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
当
x 时，1 cos
0
x
cos 2
x
cos3
x
与 nax 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。
（16）（本题满分 10 分）
设 D 是由曲线
y
1
3
x ，直线
x
(
a a
及 x 轴所围成的平面图形， ,x
0)
V V 分别是 D 绕 x
y
轴， y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若
V
10
V
x
y
，求 a 的值。
（17）（本题满分 10 分）
设平面内区域 D 由直线 3 ,
y y
x
（18）（本题满分 10 分）
及
3
x
x
y 围成.计算 2
x dxdy
8
D
。
设奇函数 ( )
f x 在[ 1,1] 上具有二阶导数，且 (1) 1
.证明：
f
（I）存在
（ ），使得 ( ) 1
f
0,1
；（II）存在
0,1（ ），使得 ( )
f
f
( ) 1
。
（19）（本题满分 11 分）
求曲线 3
x
xy
3
y
1(
x
0,
y
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
0)
（20）（本题满分 11 分）
设函数
，
( )
f x
x
ln
1
x
f x 的最小值
（I）求 ( )
（II）设数列{ }nx 满足
ln
x
n
1
x
n
（21）（本题满分 11 分）
1
，证明 lim n
x
n
存在，并求此极限.
设曲线 L 的方程为
y
x
(1
，
x
e
)
21
x
4
1 ln
2
x
及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标。
e
（1）求 L 的弧长；
（2）设 D 是由曲线 L ，直线 1,
x
,
设
B
A
1
a
1 0
（22）（本题满分 11 分）
0 1
1
b
矩阵C 。
（23）（本题满分 11 分）
,
f x x x
3
设 二 次 型
,
1
2
，当 ,a b 为何值时，存在矩阵C 使得 AC CA B
，并求所有
2
a x
1 1
a x
2 2
a x
3 3
2
b x
1 1
b x
2 2
b x
3 3
2
， 记
a
1
a
2
a
3
,
b
1
b
2
b
3
。
（I）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T
T
；
（II）若 , 正交 且均为 单位向 量， 证明二 次型 f 在正 交变化 下的标 准形 为二次 型
2
2y
1
y 。
2
2
参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
x
x
1
sin ( )
x
（1）设 cos
（A）比 x 高阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价的无穷小
【答案】（C）
，其中 ( )
x
，则当
x 时， ( )x 是（
0
）
2
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价的无穷小
【解析】因为
sin ( )
x
lim
0
x
x
x 时， ( )
0
因此当
x ，所以sin ( )
x
0
lim
0
x
cos
x
2
x
，所以
1
1
2
( )
x
，所以
lim
0
x
，
0
limsin ( ) 0
x
x
sin ( )
x
x
lim
0
x
( )
x
x
，
1
2
所以 ( )x 是与 x 同阶但不等价的无穷小。
（2）设函数
y
( )
f x
由方程 cos(
xy
)
ln
y
确定，则
x
1
lim
n
n f
(
2
n
) 1
（
）
（A） 2
【答案】（A）
（B）1
（C） 1
（D） 2
【解析】由于 (0) 1
，所以
f
lim
n
n f
(
2
n
) 1
lim 2
n
对 此 隐 函 数 两 边 求 导 得 (
y
xy
)sin(
xy
)
f
2(
n
)
2
n
f
(0)
2 (0)
f
，
， 所 以 (0) 1
1 0
， 故
f
y
y
lim
n
n f
(
2
n
) 1
2
。
（3）设函数
( )=
f x
sin ,
x
2,
0
x
x
2
，
( )
F x
x
0
f
( )
t dt
，则（
）
（A） x 是函数 ( )F x 的跳跃间断点
（B） x 是函数 ( )F x 的可去间断点
（C） ( )F x 在 x 处连续但不可导
（D） ( )F x 在 x 处可导
【答案】（C）
x
sin
0
sin
0
2
【解析】
( )
F x
x
0
f
( )
t dt
由于 lim ( )
F x
x
( )
F x
x
lim ( )
F x
x
)
(
F
lim
x
lim
x
1 cos
x
所以 ( )F x 在 x 处不可导。
tdt
tdt
1 cos ,
x
x
dt
2
2(
x
0
x
1),
x
，
2
，所以 ( )F x 在 x 处连续；
x
0
，
lim
x
( )
F x
x
(
)
F
lim
x
)
2(
x
x
2
，
(
x
1
1
1)
1
1
ln
x
x
2
（B）
, 1
x
e
,
x
e
，若反常积分
1
( )
f x dx
收敛，则（
）
（C） 2
0
（D） 0
2
（4）设函数
( )=
f x
2
（A）
【答案】（D）
【解析】
( )=
f x
1
1
1)
1
1
ln
x
(
x
x
, 1
x
e
,
x
e
1
( )
f x dx
因为
当
e
1
( )
f x dx
e
1 x
( )
f x dx
，
e
1
( )
f x dx
e
1
1
1
1)
(
x
dx
lim
1
(
x
e
e
时
，
1
1
1)
dx
lim[
1
1
1
1)
(
2
2
]
1
2
(
e
1
1)
2
，
要使
当 x
要使
(
2
1
1
lim[
1)
1
1
1
ln
lim(
)
e 时，
1
x
1
ln
e
]
存在，需满足 2 0 ；
2
dx
e
ln
d
1
ln
x
x
x
1
1
lim(
)
1
ln
。
，
存在，需满足 0 ；所以 0
2
（5）设
z
y
x
(
f xy
)
，其中函数 f 可微，则
（A） 2
yf xy
(
)
（B） 2
yf xy
(
)
【答案】（A）
z
y
x z
y x
2 (
f xy
x
（C）
（
）
)
（D）
2 (
f xy
x
)
【解析】已知
z
y
x
(
f xy
)
，所以
z
x
y
2
x
(
f xy
)
2
y
x
(
f xy
)
，
所以
x z
y x
z
y
[
1
x
(
f xy
)
yf xy
(
)]
(
1
x
(
f xy
)
yf xy
(
))
2
yf xy
(
)
。
（ 6 ） 设 kD 是 圆 域
D
( ,
x y
2
) |
x
2
y
1
在 第 k 象 限 的 部 分 ， 记
(
y
(
)
x dxdy k
1,2,3,4)
，则（
）
I
k
D
k
（A） 1
I
0
（B） 2
I
0
（C） 3
I
0
（D） 4
I
0
【答案】（B）
【解析】令
x
r
cos ,
r
y
sin
，则有
I
k
D
k
(
y
)
x dxdy
1
0
rdr
( sin
r
r
cos )
d
1
(cos
3
sin )
故当 2
k 时，
，此时有 2
I
2
,
2
3
故正确答案选 B。
0.
（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且C 可逆，则（ ）
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
【答案】（B）
【解析】由
C
AB
可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有
A
CB
1
，从而 A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义
可知正确选项为（B）。
（8）矩阵
a
1
1
a b a
1
1
a
与
2 0 0
0 b 0
0 0 0
相似的充分必要条件为
（A） 0,
b
a
2
（B）
a
,0
b
为任意常数
（C）
a
b
,2
0
（D）
a
,2
b
为任意常数
【答案】(B)
【解析】由于
a
1
1
a b a
1
1
a
为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而
a
1
1
a b a
1
1
a
与
2 0 0
0 b 0
0 0 0
相似的充分必要条件为
a
1
1
a b a
1
1
a
的特征值为 0,
,2 b 。
又
E A
1
a
1
a
b
a
1
a
1
[(
)(
b
2
2) 2 ]
a
，从而
a
,0
b
为任意常数
。
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9)
lim(2
x
x
)
1
) x
ln(1
x
【答案】
1
2e
．
lim
e
0
x
ln(1
x
x
)
ln(1 1
x
)
)
ln(1
x
x
)
lim
0
x
1
ln(1
x
x
，
x
)
1 (1
1
2
( ))
x o x
x
1
2
lim
0
x
【解析】原式=
ln(1 1
lim
0
x
x
t
e dt
，则
y
( )
f x
的反函数
x
1( )
y
f
在
y 处的导数
0
．
因此答案为
1
2e .
(10) 设函数
( )
f x
1x
1
dx
dy
0y
【答案】
【解析】
1
1 e
1
dy
dx
1
x
e
,
dx
dy
1
1
x
e
,
dx
dy
|
y
0
1
x
e
|
1
x
1
1
1
e
，则 L 所围成的平面图形的面
)
6
1
6
(11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为 cos3 (
r
积为
【答案】
12
．
【解析】所围图形的面积是
S
1
2
6
6
2
cos 3
d
6
0
1 cos6
d
2
12
上对应于 1t 的点处的法线方程为
．
2
t
【答案】
y
x
ln 2
0
(12)曲线
x
y
【解析】
dy
dx
当 1t 时，
x
arctan
t
ln 1
4
1
1
t
2
1
t
1
4
3
x
t
1
2
t
2
t
，
dy
1|
dx
t
1,
,
y
ln 2
，故法线方程为
y
x
(13)已知
y
1
e
2
x
xe
，
y
2
x
e
xe
2
x
，
y
3
xe
4
2
x
ln 2
0
.
是某二阶常系数非齐次线性微分方
程的 3 个解，该方程满足条件
xy
0
0
xy
0
的解为 y
1
．
【答案】
y
e
3
x
x
e
xe
2
x
【解析】由题意知： 3 ,x
e
e 是对应齐次方程的解， 2xxe
x
是非齐次方程的解，
故非齐次的通解为
y C e
1
3
x
x
C e
2
2
x
xe
C
，将初始条件代入，得到 1
21,
C
1
,
故满足条件的解为
y
e
3
x
x
e
xe
2
x
。
（14）设
A (a )
ij
是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， ijA 为 ija 的代数余子式，若
ij
a A 0(i, j 1,2,3),
ij
【答案】 1
【解析】
则
A
____
由
a
ij
A
ij
0
TA
可知，
*
A
A a A
1
i
1
i
a A
i
i
3
3
a A
1
1
j
j
a A
2
2
j
j
a A
3
3
j
j
2
3
j
1
a A
2
i
i
3
2
a
ij
i
1
2
a
ij
0
从而有
A
T
A
*
A
A
2
,
故
A
=-1.
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
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